精品解析：江苏省宿迁市沭阳县2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题

2024～2025学年度第一学期期末质量监测 七年级数学试卷 答题注意事项 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题全部写在答题纸上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题纸上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题纸上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题纸相应位置上） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ） A. 10℃ B. 0℃ C. -10 ℃ D. -20℃ 【答案】C 【解析】 【分析】零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论． 【详解】解：若零上记作，则零下可记作：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 2. 多项式的次数和常数项分别是（ ） A. ， B. 2，1 C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的概念，注意掌握多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．由题意根据几个单项式的和叫做多项式，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项进行分析，即可解题． 【详解】解：多项式有三项，分别是： ，次数为2， ，次数为1， ，次数为0，是常数项， 所以多项式的次数和常数项分别是，， 故选：A． 3. 下列各数：，其中负有理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的分类，根据负理数的定义逐项分析判断，即可． 【详解】解：在中，其中负有理数有，共2个， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项的定义和合并同类项的法则解答． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B．，故本选项符合题意； C．与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了合并同类项．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 5. 一个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是( ) A. 正方体 B. 三棱锥 C. 四棱锥 D. 圆柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的展开图把它利用空间思维复原即可得到答案. 【详解】仔细观查几何体的展开图，根据地面正方形的形状可以确定它是四棱锥. 故选C 【点睛】此题重点考查学生对空间立体图形的认识，把握四棱锥的特点是解题的关键. 6. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际优应用，设物价是x钱，根据每人出8钱多出3钱可知有人，根据每人出7钱，还差4钱可知有人，根据人数不变建立方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 7. 小涵在2020年某月的月历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为30，则这三个数在月历中的排位位置不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由月历表数字之间的特点可依次排除选项即可． 【详解】解：由A选项可得：，∴， 解得，故不符合题意； 由B选项可得：，∴， 解得，故不符合题意； 由C选项得，∴， 解得，故不符合题意； 由D选项得，∴， 解得，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 8. 在生活中，密码的应用很广泛，电子支付，密码认证等，小丽编制了一种密码规则：将26个英文字母A，B，C，．．．，Z依次对应自然数，对于密文，给出密文与明文之间的关系如下：当密文中的数（为正整数）满足，明文对应相应英文字母，当密文中的数满足时，按照以下计算程序输出： 若小丽设置的明文是“”，则密文不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，先得出明文“”对应的数，将选项中的数分别代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：A.明文是“”，对应的数分别为，，， 则密文可以是，故A选项不符合题意； B.若密文 ，则明文为，故符合题意； C. 若密文 ，其中， 30偶数，则，对应的明文为 为偶数，则输出，对应的明文为 则密文 对应的明文是“”，故C不符合题意， D. 对应密文 ，，43都大于且都是奇数， ∴，输入，则，对应的明文为 ，输入，则输出，对应的明文为 则密文 对应的明文是“”，故D不符合题意， 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 中国空间站“天宫”的建设引起了全世界的瞩目，其重量为180000千克，把180000用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：把180000用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10. 的倒数是____________. 【答案】-4 【解析】 【分析】根据倒数的概念：乘积是1的两数互为倒数可得的倒数是-4， 【详解】解：的倒数是-4， 故答案：-4. 【点睛】此题主要考查了倒数的概念，熟记概念是解题的关键． 11. 比较大小：_____（填“<”、“=”、“>”号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，分数的通分，关键在于熟练掌握负数的大小关系． 先通分，再根据两个负数相比较，绝对值大的负数反而小，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若，则的余角为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是余角的概念：若两个角的和等于90°，则这两个角互余．根据余角的定义进行计算可得答案． 【详解】解：，则的余角为 故答案为：． 13. 若与是同类项，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由同类项的概念可得：，，求出，的值，从而即可求解． 【详解】解：与是同类项， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查同类项的概念，关键是掌握：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 14. 已知是关于的一元一次方程的解，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解及代数式的化简求值，根据题意将代入得出，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 直线上有A，B，C，三点，已知，则的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了线段之间的和差关系，解题的关键是画出图形，分情况讨论．根据点C在射线与射线两种情况讨论即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当点C在射线上时， ， ； ②当点C在射线上时， ， ； 故答案为：或． 16. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，新定义，根据新定义可得，据此计算求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 17. 将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，那么应剪去___________．（填一个字母即可） 【答案】E或F或G 【解析】 【分析】根据正方体的展开图中每一个面都有唯一的一个对面，可得答案． 【详解】解：F的对面可能是A，G的对面可能是A，E的对面可能是C，G的对面可能是C， 将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去E或F或G． 故答案为：E或F或G． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何题，利用正方体的展开图中每一个面都有唯一的一个对面是解题的关键． 18. 绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为______秒时，两束光线平行． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程，正确计算相应的旋转角度数是解题的关键； 分旋转小于时和大于两种情况，根据平行线的性质表示出数据，列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解设光速灯A旋转时间为t秒，则C旋转时间为秒， 当旋转小于时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ∵按每秒的速度顺时针旋转，以每秒的速度顺时针旋转， ∴，， ∴， 解得：； 当旋转大于回转时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ，， 解得：； 综上所述：旋转时间为3秒或秒， 故答案为：3或． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，画图或作图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运，解一元一次方程； （1）按照有理数的混合运算法则以及运算顺序进行计算即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减计算中的化简求值，正确计算是解题的关键．先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，，是的平分线，， （1）图中共有______个角； （2）求，的度数． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查了角的数量问题，角平分线的定义，几何图形中角度的计算； （1）根据图形数出角的个数，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，根据已知得出，结合得出的度数，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：图中有共6个角， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，线段，是的中点． （1）点在线段上，且，请在图中标出点的位置； （2）求线段的长． 【答案】（1）画图见解析 （2）或 【解析】 【分析】（）根据题意标出点的位置即可； （）分点在点的左侧和右侧两种情况解答即可； 本题考查了线段的中点，线段的和差，根据题意正确标出点的位置是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，点即为点位置； 【小问2详解】 解：当点在点的左侧时， ∵线段，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在点的右侧时， ∵线段，是的中点， ∴， ∴； 综上，线段的长为或． 23. 在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点，点、、均在格点上．按下述要求画图（仅用无刻度直尺）： （1）过点画的平行线； （2）在线段上画一点，使得； （3）线段、这两条线段大小关系是_______（用“<”号连接），理由是______． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3），垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了画平行线，画垂线，垂线段最短等知识点，熟练掌握利用网格画垂线、平行线是解题关键． （1）按照画平行线的方法作图即可； （2）按照画垂线的方法作图即可； （3）根据垂线段最短即可解答． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求作； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求作； 【小问3详解】 解：线段、这两条线段大小关系是：，理由是：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 24. 如图，长方形中，，E为边上一点，将长方形沿折叠（为折痕），使点B与点F重合，平分交于点G，过点G作交于点H． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得，根据角平分线定义及垂直的定义得，最后由平行的判定可得结论； （2）由余角的性质得，然后根据平行线的性质可得答案． 【小问1详解】 证明：∵长方形沿折叠， ∴， ∵平分交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵长方形中，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了折叠问题及平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 25. 在数学中，数与形之间可以互相转化．观察下列图形和对应表达式的变化规律： （1）探究：第5个图形对应的表达式为______； （2）发现：第个图形对应的表达式为______； （3）应用：利用上面发现的规律计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查图形与式子的规律，代数式表示式，有理数的乘方运算；通过观察所给的式子，找到规律，并用规律进行变形应用是解题的关键． （1）根据题干中的规律写出第5个图形对应的表达式即可； （2）总结题干中的规律写出第个图形对应的表达式即可； （3）结合题意将变形为，再结合题干所总结的规律求解，即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，第5个图形对应表达式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：第个图形对应的表达式为， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 26. 一种蔬菜在某市场上的销售价格如下： 购买数量 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上 价格 5元/千克 4元/千克 3元/千克 已知小明两次购买了此种蔬菜共70千克（第二次购买数量多于第一次）． （1）若第一次购买15千克，则两次的总费用为________元； （2）若两次购买蔬菜的总费用为236元，求第一次、第二次分别购买此种蔬菜多少千克？ 【答案】（1） （2）第一次购买13千克，第二次购买57千克或第一次购买26千克，第二次购买44千克． 【解析】 【分析】（1）先求出第二次购买的数量，再根据所给的价格与数量的关系进行求解即可； （2）设第一次购买千克，则第二次购买千克，然后分第一次购买不超过20千克，第二次购买40千克以上，第一次购买20千克以上但不超过40千克，第二次购买也为20千克以上但不超过40千克．第一次20千克以上但不超过40千克，第二次购买40千克以上，三种情况根据价格与数量的关系建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵第一次购买15千克， ∴第二次购买千克， ∴两次的总费用为元， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设第一次购买千克，则第二次购买千克， ①若第一次购买不超过20千克，第二次购买40千克以上， ∴， 解得， ∴； ②若第一次购买20千克以上但不超过40千克，第二次购买也为20千克以上但不超过40千克． ∴，此时方程无解； ③若第一次20千克以上但不超过40千克，第二次购买40千克以上， ∴， 解得， ∴ 答：第一次购买13千克，第二次购买57千克或第一次购买26千克，第二次购买44千克． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意理清价格与数量之间的关系是解题的关键． 27. 定义：如果两个一元一次方程的解的绝对值相同，我们就称这两个方程为互为“友好方程”．例如：方程和为互为“友好方程”． （1）若关于的方程与方程互为“友好方程”，求的值； （2）若互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10，其中一个解为，求的值； （3）若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与关于的方程都互为“友好方程”，求的值． 【答案】（1）或 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是根据“友好方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）分别求出表示出方程与方程的解，再结合“友好方程”的定义得到，进而求解，即可解题； （2）结合“友好方程”的定义，得到互为“友好方程”的两个方程的两个解互为相反数，且一个为，另一个为，再根据情况建立等式求解，即可解题． （3）先解出的解，再根据“友好方程”的定义可得或，结合题意进而得到，的值，即可列式求解和的值． 【小问1详解】 解：因为关于的方程与方程互为“友好方程”， 且方程的解为，方程的解为， 所以， 所以有或， 解得或， 所以的值为或； 【小问2详解】 解：因为互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10， 又互为“友好方程”的两个方程的两个解的绝对值相同， 所以互为“友好方程”的两个方程的两个解互为相反数，且一个为，另一个为， 因为其中一个解为， 所以有或， 解得或， 综上所述，的值为或； 【小问3详解】 解：方程解得， 因为关于的方程（、为常数）与关于的方程都互为“友好方程”， 所以当时，有， 整理得， 因为取任何有理数， 所以，， 解得，， 所以； 当时，有， 整理得， 因为取任何有理数， 所以，， 解得，， 所以； 综上所述，的值为或． 28. （1）如图1，，顶点在直线上，边、分别与直线交于点、，且．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下分别作与的平分线、交于点，求的度数； （3）如图3，在（1）的条件下作的角平分线，过点作一条射线，交直线于点，当时，请直接写出与的关系式． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义可得，根据已知条件，等量代换可得，根据同位角相等两直线平行，即可得证； （2）设，根据角平分线的定义得出，，进而根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）①当在的上方时，②当在的下方时，过点作，设，分别表示出与，进而得出与的关系式． 【详解】（1）证明：∵，顶点在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：设， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是一个外角 ∴， （3）①当在的上方时，如图所示，过点作 设 ， ∵平分， ∴，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ②当在的下方时，如图所示， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期末质量监测 七年级数学试卷 答题注意事项 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题全部写在答题纸上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题纸上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题纸上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题纸相应位置上） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ） A. 10℃ B. 0℃ C. -10 ℃ D. -20℃ 2. 多项式的次数和常数项分别是（ ） A. ， B. 2，1 C. ， D. ， 3. 下列各数：，其中负有理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 一个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是( ) A 正方体 B. 三棱锥 C. 四棱锥 D. 圆柱 6. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 小涵在2020年某月的月历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为30，则这三个数在月历中的排位位置不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 在生活中，密码的应用很广泛，电子支付，密码认证等，小丽编制了一种密码规则：将26个英文字母A，B，C，．．．，Z依次对应自然数，对于密文，给出密文与明文之间的关系如下：当密文中的数（为正整数）满足，明文对应相应英文字母，当密文中的数满足时，按照以下计算程序输出： 若小丽设置的明文是“”，则密文不可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 中国空间站“天宫”的建设引起了全世界的瞩目，其重量为180000千克，把180000用科学记数法表示为____________． 10. 的倒数是____________. 11. 比较大小：_____（填“<”、“=”、“>”号）． 12. 若，则的余角为______． 13. 若与是同类项，则________. 14. 已知是关于的一元一次方程的解，则代数式的值为______． 15. 直线上有A，B，C，三点，已知，则的长是______． 16 若，则______． 17. 将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，那么应剪去___________．（填一个字母即可） 18. 绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为______秒时，两束光线平行． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，画图或作图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，，是的平分线，， （1）图中共有______个角； （2）求，的度数． 22. 如图，线段，是的中点． （1）点在线段上，且，请在图中标出点的位置； （2）求线段的长． 23. 在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点，点、、均在格点上．按下述要求画图（仅用无刻度直尺）： （1）过点画的平行线； （2）在线段上画一点，使得； （3）线段、这两条线段大小关系_______（用“<”号连接），理由是______． 24. 如图，长方形中，，E为边上一点，将长方形沿折叠（为折痕），使点B与点F重合，平分交于点G，过点G作交于点H． （1）求证：； （2）若，求的度数． 25. 在数学中，数与形之间可以互相转化．观察下列图形和对应表达式的变化规律： （1）探究：第5个图形对应的表达式为______； （2）发现：第个图形对应的表达式为______； （3）应用：利用上面发现的规律计算：． 26. 一种蔬菜在某市场上的销售价格如下： 购买数量 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上 价格 5元/千克 4元/千克 3元/千克 已知小明两次购买了此种蔬菜共70千克（第二次购买数量多于第一次）． （1）若第一次购买15千克，则两次的总费用为________元； （2）若两次购买蔬菜的总费用为236元，求第一次、第二次分别购买此种蔬菜多少千克？ 27. 定义：如果两个一元一次方程的解的绝对值相同，我们就称这两个方程为互为“友好方程”．例如：方程和为互为“友好方程”． （1）若关于的方程与方程互为“友好方程”，求的值； （2）若互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10，其中一个解为，求的值； （3）若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与关于的方程都互为“友好方程”，求的值． 28. （1）如图1，，顶点在直线上，边、分别与直线交于点、，且．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下分别作与的平分线、交于点，求的度数； （3）如图3，在（1）条件下作的角平分线，过点作一条射线，交直线于点，当时，请直接写出与的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $