精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

高一数学期末试题 一、选择题 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角θ满足：，且，则角θ的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 某地通讯公司推出了两种手机资费套餐，如下表所示： 套餐 套餐使用 费（元/ 月） 套餐内包含 国内主叫通 话时长(分 钟） 套餐外国内 主叫通话单 价（元/分 钟） 国内 被叫 套餐内包含 国内数据流 量（兆） 套餐外国 内数据流 量单价（元 /兆） 套餐1： 58 150 免费 30 套餐2： 88 350 免费 30 已知小明某月国内主叫通话总时长为分钟，使用国内数据流量为兆，则在两种套餐下分别需要支付的费用为（ ）和（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列选项中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上值域为 10. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若一个半径为2的圆剪去一个圆心角为的扇形，则剩余部分的周长是_________ 13. 已知函数， （1）__________； （2）若，则__________． 14. 当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形，其中宽度米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度为_________米（结果精确到0.1米）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）求； （2）若定义集合，求中元素的个数. 16. （1）求函数的最小值； （2）若，，求的最大值． 17. 已知定义在上的奇函数，当时的解析式为. （1）求在上的解析式； （2）求在上的最大值． 18. 已知函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数的最小正周期T及的解析式； （2）求函数的对称轴方程及单调递增区间； （3）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围. 19. 已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且. （1）求函数和的解析式； （2）若，求范围； （3）若关于的方程有实根，求正实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期末试题 一、选择题 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合并集和补集概念求解. 【详解】因为,所以， 故选:A. 2. 已知角θ满足：，且，则角θ的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限三角函数的符号特征判断即可. 【详解】由，得角的终边在轴下方，由，得角的终边在第二或第四象限， 所以当且时，角的终边在第四象限． 故选：D 3. 设，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由对数的性质，可得， 又由指数函数的性质，可得，即，且， 所以. 故选：C. 4. 某地通讯公司推出了两种手机资费套餐，如下表所示： 套餐 套餐使用 费（元/ 月） 套餐内包含 国内主叫通 话时长(分 钟） 套餐外国内 主叫通话单 价（元/分 钟） 国内 被叫 套餐内包含 国内数据流 量（兆） 套餐外国 内数据流 量单价（元 /兆） 套餐1： 58 150 免费 30 套餐2： 88 350 免费 30 已知小明某月国内主叫通话总时长为分钟，使用国内数据流量为兆，则在两种套餐下分别需要支付的费用为（ ）和（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】计算出两种套餐下，小明需要支付的费用，可得出合适的选项. 【详解】在套餐1下，小明需要支付的费用为（元）， 在套餐2下，小明需要支付的费用为（元）， 故选：B. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性，可排除BD，根据当时，即可排除C得出答案. 【详解】因为， 所以， 所以为偶函数，故排除BD； 当时，，，则，故排除C. 故选：A． 6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】将条件等式通过基本不等式转化为关于的一元二次不等式的形式，由此可求结果. 【详解】因为，所以， 所以，所以，且， 所以或（舍去），当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 故选：B. 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分,,,，讨论的正负号，排除A,C，比较的大小，排除D. 【详解】函数的定义域为， 当时，，当时，，故选项C错误， 当时，，当时，，故选项A错误， 且，， 因为，所以，故选项D错误. 只有B中图象符合题意， 故选：B. 8. 已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，结合二倍角公式可求得；根据无零点但有极值点可求得的范围，结合可求得的范围及的值域，由此可得结果. 【详解】，其中，，， ，，， 当时，， 在区间内没有零点，但有极值点，， ， ， 又，， ，， ， 则，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数零点、极值点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方法确定所处的范围，进而将所求函数值化为关于的函数的形式，结合三角函数值域可求得结果. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列选项中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐项判断即可． 【详解】当，即时，取最小值，故A错误； 当时，，故在上单调递增，故B正确； 当时，，， 则的图象关于点中心对称，故C错误； 当时，， 则当或，即或时，取最小值； 当，即时，取最大值3， 故在上值域为，故D正确． 故选：BD． 10. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性的定义与零点的定义逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，由于导致，故不是偶函数，故A错误； 对于B，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称. 又，所以是偶函数. 而，所以是偶函数又存在零点，故B正确； 对于C，由，解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以是偶函数. 而，所以存在零点. 所以是偶函数又存在零点，故C正确； 对于D，由，解得，所以的定义域为. 所以定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故D错误. 故选：BC. 11. 函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于对称 【答案】BC 【解析】 【分析】利用特殊值法，结合函数的奇偶性即可求解. 【详解】由题可知 令，，则， 即，可得，故A错； 令，则，即， 又因为，，可得，故B正确； 令，可得，故C正确； 若的图象关于对称，则函数满足， 而，，显然，故D错， 令，可得， 的图象关于对称. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若一个半径为2的圆剪去一个圆心角为的扇形，则剩余部分的周长是_________ 【答案】 【解析】 【分析】 剩余部分是一个大的扇形，圆心角为，由此可求得周长． 【详解】由题意剩余部分仍是一个扇形，圆心角为，即，∴周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查求扇形的周长，确定扇形的圆心角，由弧长公式求得弧长后再加上两个半径即得． 13. 已知函数， （1）__________； （2）若，则__________． 【答案】 ①. 3 ②. 或12 【解析】 【分析】根据分段函数性质代入计算可得的值，再分别对的取值进行分类讨论并解方程可得的值. 【详解】由题意知， 因此； 当时，，解得或（舍）； 当时，，解得； 因此可得或12. 故答案为：（1）3；（2）或12. 14. 当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形，其中宽度米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度为_________米（结果精确到0.1米）. 【答案】 【解析】 【分析】延长与直角过道的边相交于、，由表示出，设进行换元，利用单调性即可求解. 【详解】依题意设，，延长与直角过道的边相交于、，则， 所以，，， 又， 则，． 设， 因为，所以，所以， 则 ， 再令，， 则， 因为在上单调递增，且， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 故当，即，时，取得最小值， 由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的家具的高度的最大值为米． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）求； （2）若定义集合，求中元素的个数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列举法表示出，然后根据交集的概念求解出； （2）先分析和的可能取值，然后分析取值时对应的取值个数，由此可确定出中元素的个数. 【小问1详解】 由题意可知，， ， 所以. 【小问2详解】 由，，可得，共种结果， 由，，可得，共种结果， 当或时，此时或， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同的元素； 当时，对于中的任意一个值， 都可以选择，此时取与对应的值，可取中的一个值， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同元素， 所以中一共有个元素. 16. （1）求函数的最小值； （2）若，，求的最大值． 【答案】（1）23（2） 【解析】 【分析】利用不等式的性质与基本不等式，即可求出最值． 【详解】（1）因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故函数的最小值为23． （2）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，取得最小值，且最小值为8． 故的最大值为． 17. 已知定义在上的奇函数，当时的解析式为. （1）求在上的解析式； （2）求在上的最大值． 【答案】（1）； （2）0. 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后根据函数的奇偶性即得； （2）利用换元法，然后根据二次函数的性质即得. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 所以，时，， 设，则， ， 又， ， 所以，在上的解析式为； 【小问2详解】 当，， 令，由，可得， 所以，在上单调递减， 当，即时，， 所以，函数在上的最大值为0. 18. 已知函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数的最小正周期T及的解析式； （2）求函数的对称轴方程及单调递增区间； （3）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围. 【答案】（1）， （2）对称轴为：（），增区间为：（） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象以及三角函数对称性可求得周期，再由经过的点坐标可得解析式； （2）利用整体代入法根据正弦函数的对称轴方程以及单调区间即可求解； （3）由平移规则得出的解析式并画出图象，再由数形结合可得结果. 【小问1详解】 由题意，， 则，所以， 又因为图象过点，所以，可得； 而，则， 于是. 【小问2详解】 结合图象可知，函数的对称轴为（）， 令，，解得，， 即函数的增区间为（）. 【小问3详解】 的图象向右平移个单位长度得到：，于是，如图所示： 因为在上有两个解，所以，即； 即a的取值范围为. 19. 已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且. （1）求函数和的解析式； （2）若，求范围； （3）若关于的方程有实根，求正实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造函数方程，利用奇偶性可解得结果； （2）可化为可解得结果； （3）转化为有实根，令，则转化为即有正根，令设，则，则转化为有大于的实根，讨论，根据对勾函数的单调性可得结果. 【小问1详解】 因为是奇函数，是偶函数， 所以，， 则，解得. 【小问2详解】 不等式可化为，即， 所以，则，得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 关于x的方程有实根，即有实根， 所以有实根， 令，则有正根， 所以有正根， 因为， 设，则，， 当时，， 当且时，， 所以或，且， 所以或， 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $