精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

衡阳县四中2024-2025学年上学期高二期末考试 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知是空间两条不同的直线，是空间两个不重合的平面，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 2. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 4. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的图象与直线有两个交点，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 一动点在圆上移动时，它与定点连线的中点轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若，则的最小值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 8. 椭圆与，且的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线，的交点在定圆上 D. 若为中点，则的最小值为 10. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 离心率为 C. 的面积为12 D. 的外接圆面积为 11. 已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则（ ） A. 、、、四点共面 B. 直线与所成角的正切值为 C. 二面角的大小为 D. 三棱锥的体积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左､右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为__________. 13. 函数的最小值为______． 14. 过点且和原点距离是2的直线方程是__________. 四、解答题（本题共6小题，共70分） 15. 已知圆及直线.直线被圆截得的弦长为. （1）求的值； （2）求过点并与圆相切的切线的一般式方程. 16. 如图，将边长为2的正方形沿对角线折成一个直二面角，且平面，. （1）若， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求实数的值，使得二面角的大小为60°. 17. 已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 18. 已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点、. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 19. 已知双曲线过点，一条渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若点为双曲线右支上一点，，求的最小值； （3）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县四中2024-2025学年上学期高二期末考试 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知是空间两条不同的直线，是空间两个不重合的平面，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中点、线、面位置关系判断各选项的结论． 【详解】若，，，则直线有可能平行，也可能异面，A错误； 若，，，则可能有或，B错误； 若，，，则可能有或，C错误； 由，可得分别可作为平面的法向量， 由，可得，即得，D正确． 故选：D. 2. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量定义并根据向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】易知向量在向量上的投影向量为. 故选：A 3. 如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 【答案】C 【解析】 【分析】对A：根据正方体易知，利用线面垂直的判断、性质定理可得，又，故与不垂直；对B：若是交点，连接，则所成角，即为所成角，余弦定理求夹角余弦值，进而求向量在向量上的投影向量；对C：令放在桌面上的顶点为，根据正方体的结构特征，要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大，并确定最大截面的形状，求其面积即可；对D：通过直观想象，有第一层小球为个，第二层小球为，且奇数层均为个，偶数层均为，结合上下两层相邻5球的球心构成几何体为正四棱锥并求高，再确定层数，最后求小球个数. 【详解】对A：由正方体性质知：，， 且、面， 所以面，又面，则， 由，故与不垂直，故A错误； 对B：由题意且，若是交点，连接， 所以， 故为平行四边形，则，， 所以所成角，即为所成角， 由题设，易知， 在中， 即夹角为，所以夹角为， 故向量在向量上的投影向量为： ，故B错误； 对C：令放在桌面上的顶点为， 若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等， 此时要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大， 根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大， 此时，截面是边长为的正六边形， 故最大面积为，故C正确； 对D：由题意，第一层小球为个，第二层小球为， 且奇数层均为个，偶数层均为， 而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为， 假设共有n层小球，则总高度为，且为正整数， 令，则，而，故小球总共有10层， 由上，相邻的两层小球共有个， 所以正方体一共可以放个小球，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：D选项中，注意分析各层小球最多可放入的个数，结合两层相邻的5个球的球心所成几何体的高，结合正方体棱长求总层数为关键. 4. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线垂直求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为直线和直线， 若，则，解得或， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 5. 已知函数的图象与直线有两个交点，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】易知的对称中心为，且直线过定点，故两个交点关于点对称，利用中点坐标公式即可求解. 【详解】，所以的对称中心为， 直线可化为，所以直线经过定点， 所以点和点关于点对称， 所以 所以， 故选：C 6. 一动点在圆上移动时，它与定点连线的中点轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出动点坐标并根据中点坐标公式代入可得轨迹方程. 【详解】设动点坐标为，中点坐标为； 易知满足， 可得，因此， 代入可得. 故选：A 7. 已知，若，则的最小值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点分别为，连接，由题意可得，建立平面直角坐标系，设，求得，所以，进而可求的最小值，进而可求的最小值. 【详解】取的中点分别为，连接， 设，因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 以为轴，在平面内过作的垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设，所以，， 所以，所以， 所以，又，当且仅当共线，且在之间取等号， 所以的最小值为1，从而的最小值为2. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：重点在于得到，进而求得，结合三角形三边关系定理求得取小值. 8. 椭圆与，且的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，结合选项计算即可求解. 【详解】对应椭圆，，所以， 所以该椭圆的长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为； 对于且），则， 该方程表示的是焦点在轴上的椭圆， ，所以， 长轴为，短轴为， 所以该椭圆的焦距为，离心率为， 所以两个圆锥曲线的的焦距为，故C正确. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线，的交点在定圆上 D. 若为中点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直线过定点即可判断A，由直线过定点以及点与圆的位置关系即可判断B，联立直线方程，然后消去即可得到点的轨迹方程，即可判断C，先求得点的轨迹方程，再由点的轨迹方程，即可得到的最小值，即可判断D. 【详解】对于选项A，因为直线，即， 令，解得，则直线恒过定点，故A正确； 对于选项B，因为直线，即， 令，解得，所以直线恒过定点， 将点代入圆可得， 即点在圆外，所以直线与圆不一定相交，故B错误； 对于选项C，联立两直线方程可得，解得， 消去可得，即，故C正确； 对于选项D，设，因为，且为中点，所以， 而圆的圆心，半径为， 则圆心到弦的距离为，即， 即点的轨迹方程为，圆心，半径为， 由选项C可知，点的轨迹方程为，圆心，半径为， 两圆圆心距为， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD 10. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 离心率为 C. 的面积为12 D. 的外接圆面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，结合椭圆定义求解判断A；利用离心率定义判断B；确定三角形形状求解判断CD . 【详解】由，得椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距， 由是椭圆上的点，得，而， 对于A，，，A正确； 对于B，离心率为，B正确； 对于C，，得为直角三角形，， ，C错误； 对于D，由选项C知，的外接圆直径为线段，则该圆半径为，面积为，D正确. 故选：ABD 11. 已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则（ ） A. 、、、四点共面 B. 直线与所成角的正切值为 C. 二面角的大小为 D. 三棱锥的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A、B、C，可用空间向量解决空间中四点共面、异面直线所成角和二面角的大小逐条分析求解；对于D，可用等体积转化分析求解. 【详解】在正方体中，以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于A，，，， 所以，所以、、、四点共面，选项A正确. 对于B，，， 设异面直线与所成角为， 因为，所以，， 所以， 即， 则， 所以，选项B正确. 对于C，因为平面与轴和轴所确定的平面重合， 故可取平面的一个法向量， 在平面中，，， 设平面的一个法向量， 由得， 令，得，，即 ， 观察图形可知，二面角为锐角，所以符合题意， 又因为， 所以二面角的大小不是，选项C错误. 对于D，三棱锥可看作以为顶点，以为底面的锥体， 即， 其中，底面的面积可由正方形的面积减去、和的面积得到， 因为正方体的棱长为，所以， 又因为、分别为棱、的中点，所以 则， 由正方体的性质知，平面，即平面， 即三棱锥的高为， ， 即三棱锥的体积为，选项D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左､右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由椭圆定义结合题意可得，即而利用余弦定理推出，即可求得答案. 【详解】由椭圆的定义可得：，结合， 得， 又，则在中，， 即，化简得， 故， 故答案为： 13. 函数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得表示与、的距离之和，求出C关于x的轴对称点，数形结合，求解即可. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图， 所以， 所以． 故答案为： 14. 过点且和原点距离是2的直线方程是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】通过斜率存在、不存在两类情况讨论即可. 【详解】依题意，当斜率不存在时，直线方程为：，此时原点到直线的距离为2，满足题意， 当斜率存在时， 所以设直线方程为，即，又原点到直线的距离等于2， 所以，解得． 所以直线方程为或． 故答案为：或． 四、解答题（本题共6小题，共70分） 15. 已知圆及直线.直线被圆截得的弦长为. （1）求的值； （2）求过点并与圆相切的切线的一般式方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆心到直线的距离，结合垂径定理可得解； （2）易知点在圆外，当切线斜率存在时，设切线方程为，根据直线与圆相切，可得，又当斜率不存在时，直线与圆相切成立. 【小问1详解】 由已知圆， 即圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 所以弦长为， 解得或（舍）； 【小问2详解】 由（1）得， 则圆，圆心，半径， 则点在圆外， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 此时，解得， 则直线方程为，即； 当切线斜率不存在时，直线方程为，此时满足直线与圆相切， 综上所述，切线方程为或. 16. 如图，将边长为2的正方形沿对角线折成一个直二面角，且平面，. （1）若， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求实数的值，使得二面角的大小为60°. 【答案】（1） （i）证明：如图建立空间直角坐标系， 设正方形的对角线相交于， 由于 则， 所以 设平面的一个法向量为， 取时，， 由于，故， 又不在平面内，所以平面； （ii） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，确定平面的一个法向量，利用数量积为0，即可证得平面；利用向量的夹角即可求解正弦值. （2）确定平面的一个法向量，平面的一个法向量为，利用二面角的大小为60°，结合向量的夹角公式，即可求求实数的值． 【小问1详解】 （i）略 （ii）平面的一个法向量为，， 设直线与平面所成角为， 则. 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，， 设平面的一个法向量为，则有 取时，， ， 设平面的一个法向量为， 则有 取时，， 由于二面角的大小为60°，故， 即，解得， 又，所以． 17. 已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 【答案】（1） （2）或． （3）证明:设，则， 直线方程是，令，得， 直线方程是，令得， 所以 ． 即为定值． 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，，由向量的坐标运算可得的坐标，代入计算，表示出点的坐标，然后代入圆的方程，计算化简，即可得到轨迹方程； （2）根据题意，分直线的斜率存在于不存在讨论，然后结合圆的弦长公式代入计算，即可得到结果； （3）分别由直线的方程得到点的坐标，代入计算，即可证明. 【小问1详解】 根据题意，，． 设，，则，， 由于，所以， 得 将其代入，得， 故点的轨迹方程为． 【小问2详解】 根据垂径定理可得． ①当斜率不存在时，直线的方程为：， 直线截点轨迹所得弦长弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为，解得． 直线的方程为或． 【小问3详解】 略 18. 已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点、. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式结合韦达定理求出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 因此，椭圆的方程为. 【小问2详解】 若直线与轴重合，则，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，所以，， 由韦达定理可得，， 所以， ，解得， 所以，直线的方程为或，即或. 19. 已知双曲线过点，一条渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若点为双曲线右支上一点，，求的最小值； （3）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 【答案】（1） （2）当时，最小值为，当时，最小值为； （3）证明：当过点的直线斜率不存在时，方程为， 此时不妨取,则； 当当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 不妨令， 联立，得， 由于直线过双曲线的右焦点，必有， 直线与双曲线的右支交于，两点，需满足或， 则， 则 ， 综合以上可知为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案； （2）设，表示出，结合二次函数性质，讨论即可得答案； （3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出的表达式，化简即可证明结论. 【小问1详解】 由题意知双曲线过点，一条渐近线方程为， 则，解得， 故双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 点为双曲线右支上一点，设，， 则 ， 当，即时，最小值为， 当，即时，最小值为； 【小问3详解】 略 【点睛】难点点睛：本题考查了直线和双曲线位置关系的综合应用，综合性强，计算量大，难点在于证明定值问题，解答时要注意计算的准确性，基本都是字母参数的运算，需要十分细心. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $