精品解析：安徽省淮北市五校联考2024—2025学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学（沪科版）卷四 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 某城市形象标识的图案如图所示，该图案由4个不同的图形构成，其中中心对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( ) A. 158° B. 58° C. 64° D. 116° 3. 在中，，，则(　　) A. B. C. D. 4. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，以，为腰的等腰交于点，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕直角顶点按顺时针方向旋转，得到，点落在的延长线上．若，，点，是，的中点，则的长是（ ） A. B. 4 C. 3 D. 5 7. 如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（ ） A. 5 B. C. D. 6 8. 若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形是相似扇形，且半径（为不等于0的常数）．那么下面四个结论： ①∠AOB＝∠； ②△AOB∽△； ③； ④扇形AOB与扇形的面积之比为． 成立的个数为：（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 10. 如图，为外一点，过点分别作的割线和切线（割线和切线不重合），为切点，则下列说法中错误的是（ ） A. B. 当弦最长时， C. D. 当时， 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，点是平行四边形的对称中心，是边上的点，，是边上的点，且．若分别表示和的面积，则______． 12. 从抛物线y=2x2﹣3的图象上可以看出，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是_____． 13. 如图，的三个顶点A，B，C在上，，分别交于点F，E．若，的半径为3，则的长为________． 14. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． （1）一次函数的表达式为________． （2）点在x轴的负半轴上，连接，过点B作，交的图像于点Q，连接．当时，n的值为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：2sin30°+4cos30°·tan60°-cos245° 16. 在如图所示的网格中画图． （1）画出关于原点O对称的中心对称图形． （2）将绕点A按顺时针方向旋转后得到，画出． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM于点H，延长DH与AC的延长线交于点E，与BC交于点F 求证：（1） AED∽CBM； （2）AE·CM＝AC·CD 18. 如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且． （1）求的半径； （2）求的正切值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） （1）求入射角的度数； （2）若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 20. 如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线． （2）当，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 如图，已知一次函数的图像经过点，且与x轴交于点M，反比例函数的图象经过点． （1）若，求一次函数表达式； （2）若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是__________； （3）若，求的面积． 七、（本题满分12分） 22. 阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心． （1）特例感知：如图（1），已知边长为2的等边的重心为点，则的面积为______； （2）性质探究：如图（2），已知的重心为点，对于任意形状的，是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由； （3）性质应用：如图（3），在任意矩形中，点是的中点，连接交对角线于点，的值是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 如图，二次函数的图像与x轴交于点A（2，0）和点B（4，0），与y轴交于点E，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点M是x轴上一动点，连接CM，过点M作MN⊥MC，与AD边交于点N，与y轴交于点F． （1）求该抛物线的表达式； （2）在第一象限的抛物线上任取一点P，连接EP、PB，请问：△EPB的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点M在线段OB（点M不与O、B重合）上运动至何处时，线段OF的长有最大值？并求出这个最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（沪科版）卷四 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 某城市形象标识的图案如图所示，该图案由4个不同的图形构成，其中中心对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：左上角图形是中心对称图形； 右上角图形不是中心对称图形； 左下角图形不是中心对称图形； 右下角图形不是中心对称图形． 综上可得中心对称图形有1个． 故选：A． 2. 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( ) A. 158° B. 58° C. 64° D. 116° 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理可求得∠BOC的度数，再根据邻补角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠D=32°， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的度数的一半是解答此题的关键． 3. 在中，，，则(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据已知和锐角三角函数表示出三角形各边,进而得出答案． 【详解】如图所示：∵，， ∴设，则， 故， 则． 故选C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，正确表示出各边长是解题关键． 4. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 先将二次函数解析式化为顶点式，再利用二次函数的平移规律，即可得到答案． 【详解】∵， ∴抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式为：，即：． 故选A． 5. 如图，为的直径，以，为腰的等腰交于点，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平角的定义，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质用表示出和，再根据即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 6. 如图，将绕直角顶点按顺时针方向旋转，得到，点落在的延长线上．若，，点，是，的中点，则的长是（ ） A. B. 4 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理；先利用勾股定理求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出，然后连接、，再根据旋转的性质求出，，再利用勾股定理列式求解即可． 【详解】连接，， ，， ， 是的中点，点是的中点， ， 绕点顺时针旋转得到，点，是，的中点， ∴ 又， 是等腰直角三角形， 故选：A． 7. 如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理得，，由平分，平分，可得，由，可得，即，如图，，，设，则，，，由，可知，即，可求，，进而可求． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，即， 如图， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，即， 解得，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质等知识．熟练掌握勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质是解题的关键． 8. 若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形是相似扇形，且半径（为不等于0的常数）．那么下面四个结论： ①∠AOB＝∠； ②△AOB∽△； ③； ④扇形AOB与扇形的面积之比为． 成立的个数为：（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：这是一个阅读题，根据扇形相似的意义，可知①②正确，由边长的比等于相似比可知③正确，由扇形面积的比等于相似比的平方，可得到④正确. 故选D 考点：弧长，扇形面积公式 9. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，， 的大小情况，即可解题． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为， 当时，， 当时，， ， 当时，， ， 故A、B错误，不符合题意； 当时，， 由二次函数对称性可知，， 当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于， 故C正确符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，为外一点，过点分别作的割线和切线（割线和切线不重合），为切点，则下列说法中错误的是（ ） A. B. 当弦最长时， C. D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，对四个选项的说法依次进行判断即可． 【详解】解：A．∵为的切线，是的割线， ∴， ∵和所对的弧是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，原说法正确，故此选项不符合题意； B．当弦最长时，即为的直径，如图， ∴， ∴ 由A知：， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； C．∵为的切线，是的割线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； D．延长交于点，连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴，原说法错误，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等边对等角，相似三角形的判定与性质等知识点．能根据选项中的描述，画出相应的图形是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，点是平行四边形的对称中心，是边上的点，，是边上的点，且．若分别表示和的面积，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，连接，根据点是平行四边形的对称中心得到点是线段的中点，且，再由，进而可求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 点是平行四边形的对称中心， 点是线段的中点，且， 令 ， ，， ， 故答案为：． 12. 从抛物线y=2x2﹣3的图象上可以看出，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是_____． 【答案】﹣3≤y≤5 【解析】 【详解】试题分析：可先求得二次函数的对称轴为x=0，在对称轴两侧分别求其最值，可求得答案． 解： ∵y=2x2﹣3， ∴抛物线开口向上，对称轴为x=0， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x=0时，y有最小值，最小值为﹣3， 当﹣1≤x＜0时，可知当x=﹣1时，y有最大值，最大值为﹣1， 当0≤x≤2时，可知当x=2时，y有最大值，最大值为5， ∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是﹣3≤y≤5， 故答案为﹣3≤y≤5． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 13. 如图，的三个顶点A，B，C在上，，分别交于点F，E．若，的半径为3，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，圆周角定理以及弧长公式的应用，通过这些知识点的综合运用来求解弧长． 连接，由四边形是的内接四边形，得到，再由四边形是平行四边形性质，求出,再根据外角的性质，得到再根据圆周角定理即可求解. 【详解】连接，如下图所示， 四边形是的内接四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ∵ ， ， ， 根据弧长公式（其中为弧长，为圆心角度数，为半径）， 的长为：． 故答案为：． 14. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． （1）一次函数的表达式为________． （2）点在x轴的负半轴上，连接，过点B作，交的图像于点Q，连接．当时，n的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数解析式求出，再求出的坐标，由待定系数法，即可求解； （2）由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，由点的平移规律求出点的坐标，即可求解． 【详解】解：（1）将代入反比例函数得， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 一次函数的表达式为； 故答案为：； （2），， 四边形是平行四边形， ，， 点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， 点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， ， ，， ， 在反比例函数图像上， ， 解得：， 经检验：是此方程的根， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法，平行四边形的判定及性质，点的平移规律等；平行四边形的判定及性质得到平移的方式是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：2sin30°+4cos30°·tan60°-cos245° 【答案】 【解析】 【分析】将sin30°=，cos30°=，tan60°=，cos45°=代入运算，即可得出答案． 【详解】解： 原式=2×＋4×·－ =1＋6－ =． 【点睛】考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，牢记特殊三角函数值是解题的关键． 16. 在如图所示的网格中画图． （1）画出关于原点O对称的中心对称图形． （2）将绕点A按顺时针方向旋转后得到，画出． 【答案】（1） 解：如图， 为所求作图形； （2） 解：如图， 为所求作图形. 【解析】 【分析】本题考查了中心对称作图和旋转作图； （1）作出关于原点O对称的中心对称图形，即可求解； （2）作出绕点A按顺时针方向旋转的图形，即可求解； 掌握作法是解题的关键. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM于点H，延长DH与AC的延长线交于点E，与BC交于点F 求证：（1） AED∽CBM； （2）AE·CM＝AC·CD 【答案】 （1）证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高， ∴∠ACB＝∠ADC＝90°， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCM＋∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCM.同理可得∠MDH＝∠MBD. ∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD， ∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH， ∴∠ADE＝∠CMB.又∵∠A＝∠BCM， ∴△AED∽△CBM. （2）证明：由（1）可知△AED∽△CBM， ∴，即AE·CM＝AD·CB. ∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB， ∴△ACD∽△ABC， ∴， 即AD·BC＝AC·CD， ∴AE·CM＝AC·CD． 【解析】 【分析】（1）由CD是Rt△ABC斜边AB上的高，得到∠ACB＝∠ADC＝90°，等量代换得∠A＝∠BCM，同理可得∠MDH＝∠MBD，再代换得到∠ADE＝∠CMB，即可证得△AED∽△CBM； （2）由（1）可得对应边成比例，再由△ACD∽△ABC，得，等量代换得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定、性质，利用角进行等量代换是关键． 18. 如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且． （1）求的半径； （2）求的正切值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）延长，交于点，连接，先根据圆周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得； （2）过点作于点，先解直角三角形可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据正切的定义即可得． 【小问1详解】 解：如图，延长，交于点，连接， 由圆周角定理得：， 弦的长为8，且， ， 解得， 的半径为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 的半径为5， ， ， ， ， ，即， 解得， ，， 则的正切值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） （1）求入射角的度数； （2）若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【答案】（1）入射角约为； （2）光斑移动的距离为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角； （2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于的方程式，求得的值，进而求得答案． 【小问1详解】 如图，设法线为，则， ， ，， ， ， 入射角约为， ． 【小问2详解】 ，， ， ， 作， ， 设，，则， ， 解得：， ， ， 答：光斑移动的距离是． 20. 如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线． （2）当，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 为的直径， ， 的平分线交于点D， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定及性质等； （1）连接，由圆的基本性质得，由圆周角定理得，由平行线的性质得，由切线的判定方法即可得证； （2）过作交于，过作交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得 ，由三角形的面积求出，再由勾股定理求出，由矩形的判定及性质得，即可求解； 掌握圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定及性质，能熟练利用“连半径，证垂直”证明切线和构建直角三角形由勾股定理求解是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作交于，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ． 六、（本题满分12分） 21. 如图，已知一次函数的图像经过点，且与x轴交于点M，反比例函数的图象经过点． （1）若，求一次函数表达式； （2）若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是__________； （3）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）时，当由题意可知，求得，由在，代入法求解即可； （2）依题意得，由在上可得，由一次函数y的值随x值的增大而增大得即或，解不等式组即可； （3）如图，可知在线段上，可得，，作轴于A，作轴于B，作轴于C，则，，则有，求得和即可求解． 【小问1详解】 解：当时，由题意可知， 在上， ， ， 在， 则有， 解得：， ； 【小问2详解】 依题意得：， ， ， ， 由一次函数y的值随x值的增大而增大， ， 即， 反比例函数的图象在第一象限， ， ， 即或， 或无解， 故答案为：； 【小问3详解】 如图，， 在线段上， ，， 作轴于A，作轴于B，作轴于C， 则，， ，， ， ， ， ， 当时， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数综合，一次函数图象和性质坐标与图形，代入法求解，相似三角形的判定和性质的应用；解题的关键是熟练掌握坐标与图形的关系． 七、（本题满分12分） 22. 阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心． （1）特例感知：如图（1），已知边长为2的等边的重心为点，则的面积为______； （2）性质探究：如图（2），已知的重心为点，对于任意形状的，是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由； （3）性质应用：如图（3），在任意矩形中，点是的中点，连接交对角线于点，的值是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是， （3）是，12 【解析】 【分析】（1）连接，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出的长，运用三角形面积公式求解即可； （2）根据（1）的证明可求解； （3）由得到，即可求得答案． 【小问1详解】 解：连接，如图一， 点是的重心， ，是，边上的中线， ，为，边上的中点， 为的中位线， ，， ， ， ，，， ，， ，； 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）同理可得，，是定值； 【小问3详解】 矩形，点是的中点， ， ， ， ， ， 定值为12． 【点睛】本题是一道相似形综合题目，主要考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 八、（本题满分14分） 23. 如图，二次函数的图像与x轴交于点A（2，0）和点B（4，0），与y轴交于点E，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点M是x轴上一动点，连接CM，过点M作MN⊥MC，与AD边交于点N，与y轴交于点F． （1）求该抛物线的表达式； （2）在第一象限的抛物线上任取一点P，连接EP、PB，请问：△EPB的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点M在线段OB（点M不与O、B重合）上运动至何处时，线段OF的长有最大值？并求出这个最大值． 【答案】（1） （2）△EPB的面积有最大值4，此时点P的坐标为（2，4） （3）OF有最大值，最大值为，此时点M在（2，0）处 【解析】 【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）过点P作PQ⊥AB于Q，交BE于点H，过点E作EG⊥PQ于点G，设点P（m，-m2+m+4），根据S△PBE=S△PBH+S△PHE=•PH•OB=-（m-2）2+4，运用二次函数最值得到答案； （3）设点M的坐标为（x，0），运用正方形性质可证得△MFO∽△CMB，再利用相似三角形性质可得OF=（-x2+4x）=-（x-2）2+，运用二次函数最值得到答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（-2，0）和点B（4，0）， ∴解得， ∴该抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 如图，过点P作PQ⊥AB于Q，交BE于点H，过点E作EG⊥PQ于点G， ∵PQ⊥AB， ∴∠PQB=∠EOB=90°， ∴PQ∥EO， 设点P（m，-m2+m+4），则Q（m，0）， ∴OQ=m， 在y=-x2+x+4中，令x=0，则y=4， ∴E（0，4）， ∴OB=OE=4， ∴△OBE是等腰直角三角形， ∴∠EBO=45°， ∴BQ=HQ=4-m， ∴PH=-m2+m+4-（4-m）=-m2+2m， ∴S△PBE=S△PBH+S△PHE =•PH•BQ+•PH•OQ =•PH•OB =×（-m2+2m）×4 =-m2+4m =-（m-2）2+4， ∵-1＜0， ∴当m=2时，S△PBE=有最大值4，此时，点P的坐标为（2，4）； 【小问3详解】 解：设点M的坐标为（x，0）， ∴OM=x，BM=4-x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=4+2=6，∠BAD=∠CBA=∠MOF=90°， ∵MN⊥MC， ∴∠CMN=90°， ∴∠FMO+∠CMB=∠CMB+∠BCM=90°， ∴∠FMO=∠BCM， ∴△MFO∽△CMB， ∴，即：， ∴OF=（-x2+4x）=-（x-2）2+， ∵点M在线段OB上，且点M不与O、B重合， ∴0＜x＜4， ∵-＜0， ∴当x=2时，即点M为线段OB中点时，OF的长度最大，最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，等腰直角三角形判定和性质，正方形性质，相似三角形的判定与性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式，灵活运用数形结合的思想、方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $