精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第四十一中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

乌鲁木齐市第41中学2024-2025学年高一上学期期末考试 数 学 试 题 总分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列每组集合是相等集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 2. 若，则，那么一定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】若，则， 当，则，即，所以有. 故选：B 3. 已知函数是定义在内的连续函数，若对于任意，都有恒成立，则称在内是“上凸函数”．则在①，②，③这三个函数中，当时，“上凸函数”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】运用“上凸函数”的定义，结合特殊值判断即可. 【详解】对于， 当时，取，故①②不是“上凸函数”； 对于，任取，则， 要证，只需， 即证， 又成立， 则恒成立， 故在内是“上凸函数”． 故选：B. 4. 已知函数是偶函数，点在的图象上，则必过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的对称性得结论即可. 【详解】由于函数是偶函数，则图象上的点关于轴对称， 所以关于轴对称的点为， 即则函数图象必过点． 故选：B. 5. 下列说法正确的个数为（ ） ①命题“”的否定是“” ②函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时 ③若的定义域为R，则实数a的取值范围 ④已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是 ⑤已知幂函数对于， 都有，则 A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，由存在量词命题的否定即可判断；对于②，由奇偶性结合题设计算求解时解析式即可判断；对于③，由题设得恒成立，分和两种情况分析，当时列出关于a的不等式组计算即可得解；对于④，由题设列出关于a的不等式组计算即可得解；对于⑤，先由幂函数得，求出m即可得，再由函数奇偶性即可得解. 【详解】对于①，命题“”的否定是“”，故①错误； 对于②，因为函数是定义在R上的奇函数，所以且， 又因为当时，， 所以当时，，故，故②正确； 对于③，的定义域为R，所以恒成立， 当时，得恒成立，符合； 当时，则， 所以满足题意的实数a的取值范围，故③错误； 对于④，由题设，将代入得， 因为函数在R上单调递增， 所以， 所以满足题意的实数a的取值范围是，故④正确； 对于⑤，因为幂函数， 所以或，所以或， 又即函数为偶函数，所以函数，故，故⑤正确； 故选：C. 6 （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数运算法则计算可求值. 【详解】． 故选：B. 7. 函数的简图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法分析判断即可 【详解】因为当时，， 所以排除B，C，D， 故选：A． 8. 如图，在匀强磁场中，一不计重力的带电粒子在磁场作用下逆时针做匀速圆周运动，以运动轨迹的中心为圆心，建立坐标系，已知轨迹半径为3cm，粒子旋转一周需要的时间为2s．若从点处开始计时，则该带电粒子运动的过程中与轴所在平面的距离与时间的函数关系式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据表示距离为非负数排除AC,根据函数的单调性可判断BD. 【详解】由题意知，表示距离为非负数，A，C错误； 粒子从起始位置开始运动，到轴的距离逐步增加，达到最大值后开始减小， 中，当时，，函数单调递增，满足题意，B正确； 中，当时，，函数单调递减，D错误． 故选；B 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得零分. 9. 下列命题为真命题是（ ） A. 是的必要不充分条件； B. 已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围为； C. 若集合有且仅有一个元素，则实数； D. 已知，则的取值范围是． 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于B，根据充分不必要条件的定义求解判断，对于C，分和两种情况求解判断，根据不等式的性质分析判断. 【详解】对于A，若，则满足，而不成立，所以不能推出， 而当时，因为在上为增函数，所以，所以， 所以是的必要不充分条件，所以A正确， 对于B，因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，即的取值范围为，所以B正确， 对于C，当时，，得，则集合中只有一个元素， 当时，因为有且仅有一个元素，所以，得， 综上，或，所以C错误， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确. 故选：ABD 10. (多选)下列说法不正确的是（ ） A. 函数的单调递减区间为 B. C. “”是“”的充分不必要条件 D. 函数没有最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据定义域即可判断A；根据指数幂的运算可判断B；根据必要条件的定义可判断C；使用反证法即可判断D. 【详解】对于A，当时，有，所以的定义域不包含，从而不可能是单调递减区间，故A错误； 对于B，有，故B正确； 对于C，因为当时，一定有，从而. 所以“”是“”的必要条件，故C错误； 对于D，假设有最小值，则恒成立，但，矛盾，所以函数没有最小值，故D正确. 故选：AC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 小于的角是锐角 B. 与终边相同的角可表达为， C. 钝角是第二象限角 D. 经过4小时，时针转了 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据任意角与锐角的定义判断即可；对B，根据弧度与角的关系判断即可；对C，根据钝角的定义判断即可；对D，根据4小时时钟的旋转角度占时钟一周角的比例，结合角度的定义判断即可. 【详解】对A，小于的角还包括和负角度的角，故A错误； 对B，，其终边与角相同，又，也为终边与角相同的角，故B正确； 对C，钝角是第二象限角，故C正确； 对D，时钟旋转为顺时针，故经过4小时，时针转了，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 若用替换命题“对于任意实数，有，且等号当且仅当时成立”中的，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则__________. 【答案】（答案不唯一，可以为或其它字母表示的表达式） 【解析】 【分析】根据给定的信息，取正数，作差变形推导即可得解. 【详解】取正数，则，当且仅当时取等号， 因此，即， 于是“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”. 显然，取. 故答案为： 13. 表示函数当自变量时的最大值，表示函数当自变量时的最小值，已知函数，则 =_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可得，再结合分段函数性质分析求解. 【详解】由题意得 ， 所以 ， 由于当时，最小值为， 当时，， 故， 故答案为： 14. 定义域为的函数，若，使得成立，则称函数为“局部奇函数”．假设函数（其中e为自然对数的底数）为定义域为的“局部奇函数”，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“局部奇函数”的定义可知，有实数解；通过换元法可求的取值范围. 【详解】由“局部奇函数”的定义得，使得方程成立， 即有实数解； 方程变形为， 令则， 故方程在区间上有解， 令， 则或 ； 解得或． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效. 15. 已知集合（）对于，，定义A与B的差为；A与B之间的距离为． （1）当时，设，，求，； （2）证明：，有，且； （3）证明：，，，三个数中至少有一个是偶数． 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据定义直接代入公式计算即可； （2）对和分类讨论，分别求得均成立，即可得出结论； （3）根据（2）中的结论，分别求得中1的个数，设是使成立的的个数，则，由此可得三个数不可能都是奇数. 【小问1详解】 由题意可知； ； 【小问2详解】 证明：设，， 由题意知，所以； 从而， 由题意可知， 当时，， 当时，， 所以； 【小问3详解】 证明：设，， 记，，，记； 由（2）可知； ， ， 因为，， 所以中1的个数为；中1的个数为； 设是使成立的的个数，则， 由此可得三个数不可能都是奇数， 即，，三个数中至少有一个是偶数． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解的定义，并结合元素性质即进行结论证明. 16. 已知关于y的二次方程的两根为， （1）计算和； （2）若，化简T并求其最大值． 【答案】（1）， （2）化简见解析，最大值为3 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理即可求解， （2）根据韦达定理，结合对勾函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 的两根为 故 【小问2详解】 由于，且对勾函数在单调递增，故 故,当取等号， 则的最大值为3. 17. 已知函数的定义域为，若存在区间，满足，则称是函数的“保值区间”． （1）已知，若是函数的“保值区间”，求实数的值； （2）证明：函数在其定义域上是严格减函数，且该函数不存在“保值区间”； （3）已知，设，若存在使得均为函数的“保值区间”，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用题中的概念求参数即可； （2）先判断奇偶性，然后再利用复合函数的单调性判断单调性，然后假设存在“保值区间”存在来求保值区间，最后发现无解，就证得结果； （3）利用二次函数的单调性和开口方向讨论两个函数在的最值，然后根据题中的概念求解即可. 【小问1详解】 由题可知函数开口向上，且对称轴为， 所以在单调递减， 根据题意可知， 【小问2详解】 设， 所以为奇函数， 当时， 显然此时单调递减， 利用奇函数的性质可知，在定义域内严格单调递减； 假设存在“保值区间”为 则 又因为，故， 所以有解得， 显然与已知矛盾，故不存在“保值区间”. 【小问3详解】 ①当时，此时， 若，因为存在使得为函数的“保值区间”， 所以有， 此时， 显然，此时是的“保值区间”， 故满足题意； ②当时，函数的图像开口向上，且对称轴为 若，即，函数在上单调递增， 所以有， 因为，得， 此时的图像开口向下，对称轴为， 所以在单调递减， 所以有，故是的“保值区间”； 若，此时的“保值区间”为， 所以有，且， 由易知， 因为均为函数的“保值区间”， 所以有，， 所以有， 不满足，故此时无解； 若， 易知， 同上可知，， 不满足条件，故此时无解； 若，此时函数在上单调递减， 得， 此时的图像开口向下，对称轴为， 所以在单调递增， 此时得 ， 因为， 此时均为函数的“保值区间”； 所以满足题意. 综上所述，若存在使得均为函数的“保值区间”，则. 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，解决此类题的策略是： 1. 准确理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论等； 2. 重视“举例”，利用例子可以检验是否理解和懂得正确运用，归纳例子提供的解题思路和方法； 3. 运用新定义去解决问题时，根据新定义交代的性质或运算规则去运用即可，解决问题的过程中还需要将“新定义”的知识与已有知识联系起来，利用已有知识经验来解决问题. 18. 临近新年，车厘子、榴梿等高档水果受到人们青睐.老张水果店瞄准商机，准备新进一大批车厘子来满足市场需求，同时为提高销售量，老张水果店特准备举办一场车厘子促销活动.据市场调查发现，当每斤车厘子的售价定为元时，销售量为斤.现批发商为配合老张水果店的活动，将供货价格分为固定价格与浮动价格两部分，即：供货价格＝固定价格＋浮动价格，其中固定价格为50元/斤，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：斤）成反比，比例系数为20. （1）试将总利润表示成关于的函数； （2）当每斤车厘子售价定多少时，总利润最大，为多少？ 【答案】（1）（）. （2）100元，1980元. 【解析】 【分析】（1）由每斤车厘子售价定为元时，销售量为斤和供货价格＝固定价格＋浮动价格求解； （2）由（1）的结论，利用二次函数的性质求解. 【小问1详解】 解：设每斤车厘子的售价定为元时，总利润为， 由得， （）. 【小问2详解】 总利润， ， 所以当售价元时，总利润达到最大； 总利润元， 即每斤车厘子售价定为100元时，车厘子总利润最大，为1980元. 19. 某公园内有一块半径为15m的扇形空地如图所示，其中一侧靠墙，，公园准备在扇形空地上靠墙修建一个矩形广场，记． （1）写出矩形广场的面积与之间的函数关系式； （2）求矩形广场面积的最大值，并求出此时的大小． 【答案】（1） （2）面积最大值为，此时. 【解析】 【分析】（1）先把矩形的各个边长用角表示出来，进而表示出矩形的面积，即可得到答案； （2）利用角的范围，结合正弦函数的性质可求矩形面积的最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以， 则 所以． 【小问2详解】 ，因为， 所以，所以当，即时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 乌鲁木齐市第41中学2024-2025学年高一上学期期末考试 数 学 试 题 总分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列每组集合是相等集合的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 2. 若，则，那么一定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在内的连续函数，若对于任意，都有恒成立，则称在内是“上凸函数”．则在①，②，③这三个函数中，当时，“上凸函数”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知函数是偶函数，点在的图象上，则必过点（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的个数为（ ） ①命题“”的否定是“” ②函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时 ③若的定义域为R，则实数a的取值范围 ④已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是 ⑤已知幂函数对于， 都有，则 A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 6. （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 函数的简图为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在匀强磁场中，一不计重力带电粒子在磁场作用下逆时针做匀速圆周运动，以运动轨迹的中心为圆心，建立坐标系，已知轨迹半径为3cm，粒子旋转一周需要的时间为2s．若从点处开始计时，则该带电粒子运动的过程中与轴所在平面的距离与时间的函数关系式可以为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得零分. 9. 下列命题为真命题是（ ） A. 是的必要不充分条件； B. 已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围为； C. 若集合有且仅有一个元素，则实数； D. 已知，则的取值范围是． 10. (多选)下列说法不正确的是（ ） A. 函数单调递减区间为 B. C. “”是“”的充分不必要条件 D. 函数没有最小值 11. 下列说法正确的是（ ） A. 小于的角是锐角 B. 与终边相同的角可表达为， C. 钝角是第二象限角 D. 经过4小时，时针转了 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 若用替换命题“对于任意实数，有，且等号当且仅当时成立”中的，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则__________. 13. 表示函数当自变量时的最大值，表示函数当自变量时的最小值，已知函数，则 =_________. 14. 定义域为的函数，若，使得成立，则称函数为“局部奇函数”．假设函数（其中e为自然对数的底数）为定义域为的“局部奇函数”，则实数的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效. 15. 已知集合（）对于，，定义A与B差为；A与B之间的距离为． （1）当时，设，，求，； （2）证明：，有，且； （3）证明：，，，三个数中至少有一个是偶数． 16. 已知关于y的二次方程的两根为， （1）计算和； （2）若，化简T并求其最大值． 17. 已知函数的定义域为，若存在区间，满足，则称是函数的“保值区间”． （1）已知，若是函数的“保值区间”，求实数的值； （2）证明：函数在其定义域上是严格减函数，且该函数不存在“保值区间”； （3）已知，设，若存在使得均为函数的“保值区间”，求的取值范围． 18. 临近新年，车厘子、榴梿等高档水果受到人们青睐.老张水果店瞄准商机，准备新进一大批车厘子来满足市场需求，同时为提高销售量，老张水果店特准备举办一场车厘子促销活动.据市场调查发现，当每斤车厘子的售价定为元时，销售量为斤.现批发商为配合老张水果店的活动，将供货价格分为固定价格与浮动价格两部分，即：供货价格＝固定价格＋浮动价格，其中固定价格为50元/斤，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：斤）成反比，比例系数为20. （1）试将总利润表示成关于的函数； （2）当每斤车厘子售价定为多少时，总利润最大，为多少？ 19. 某公园内有一块半径为15m的扇形空地如图所示，其中一侧靠墙，，公园准备在扇形空地上靠墙修建一个矩形广场，记． （1）写出矩形广场的面积与之间的函数关系式； （2）求矩形广场面积的最大值，并求出此时的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$