1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）第 1 课时课件2024-2025学年湘教版数学八年级下册

第1章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 第1课时 直角三角形的性质和判定 湘教版八年级下册 【知识与技能】 1.体验直角三角形应用的广泛性，理解直角三角形的定义，进一步认识直角三角形. 2.学会用符号和字母表示直角三角形. 3.经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨，掌握直角三角形两个锐角互余的性质. 4.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形. 5.理解和掌握直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”. 【过程与方法】通过动手，猜想发现直角三角形的性质，引导逆向思维，探索性质的推导方法——同一法. 【教学重点】直角三角形性质和判定的探索及应用. 【教学难点】直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”的判定探索过程. 学习目标 三角形定义 三 角 形 三角形性质 按边分类 按角分类 全等三角形 三角形分类 任意两边之和大于第三边 内角和定理及其推论 性质 判定（SAS、ASA、AAS、SSS） 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 性质 判定 等边三角形、等腰三角形 普通三角形 定义：有一个角是直角的三角形. 复习导入 如图1-1，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ A B C 图1-1 解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°， 由三角形内角和定理， 可得：∠A+∠B=90°. 由此得到： 直角三角形的两个锐角互余. 新课引入 （1）如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，则∠BCD=______. （2）如图（2）在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，则∠AHC=______. 40° 130° A C D B （1） A C B D H E （2） 练一练 有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？ A B C 图1-2 如图1-2，在△ABC中，∠A+∠B=90°， 那么△ABC是直角三角形吗？ 解：在△ABC中，∵ ∠A+∠B +∠C=180°， 又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形. 由此得到： 有两个角互余的三角形是直角三角形. （3）如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？ A B C D H 解：∵AB// CD， ∴∠ CAB+∠ACD=180°. 又∠CAH= ∠CAB，∠ACH= ∠ACD， ∴∠CAH+∠ACH= (∠CAB+∠ACD)=90°. ∴△AHC是直角三角形. 练一练 我测量后发现 A B C 图1-3 如图1-3，画一个Rt△ABC，并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD与线段AB之间的数量关系，你能得出什么结论？ D AB＝ ； CD＝ ； 度量AB、CD的长度： 6cm 3cm CD＝ AB. 探究新知 由此得到： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 是否对于任意一个Rt△ABC，都有 ？ CD＝ AB A B 图1-4 D C E F 证明：如图1-4，过点D作DE⊥AC，交AC于点E；作DF⊥BC，交BC于点F. ∵∠ACB= ∠AED=∠DFB = 90°， ∴DE// BC，DF//AC. ∴∠A=∠FDB，∠ADE=∠B. 又D为AB的中点，即AD=DB, ∴△AED≌△DFB (ASA). ∴AE=DF， DE= BF. 同理可证△CDE≌△DCF， 从而DE=CF，CE= DF. ∴AE=CE，BF= CF. 故DE, DF分别垂直平分边AC, BC. AD=CD=BD (为什么?) . 由此得到:CD= AB 探究新知 9 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形性质定理： 直角三角形判定定理： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 互为逆命题 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形性质定理： 知识归纳 方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D. 方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠D. 例1（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？ 图 例 题 解：∠A=∠C.理由如下： ∵∠B=∠D=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠C. （2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与 ∠C有什么关系？请说明理由. 图 与图有哪些共同点与不同点？ 例 题 例2 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三 角形吗？为什么？ A C B D E ( ( 1 2 解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2, ∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形. 例 题 如图1-5，已知CD是△ABC的AB边上的中线，且CD= AB.求证：△ABC是直角三角形. A B 图1-5 D C 1 2 证明：∵CD= AB=AD=BD， ∴∠1=∠A，∠2=∠B. ∵∠A＋∠B＋∠ACB=180°， ∠ACB＝∠1＋∠2 ∴∠A＋∠B ＋∠1＋∠2 ＝180°. ∴2（ ∠A＋∠B ）＝180°. ∴∠A＋∠B＝90°. ∴△ABC是直角三角形. （等边对等角） （三角形内角和的性质） （有两个角互余的三角形是直角三角形） 由此得到： 三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形. 例3 例 题 例4 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点． (1)若AB＝10，AC＝8， 求四边形AEDF的周长； 解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点， ∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4， ∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18； 例 题 (2)求证：EF垂直平分AD. 证明：∵DE＝AE，DF＝AF， ∴E、F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD. 例 题 知识点1　直角三角形的两个锐角互余 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B的度数为（　B　） A. 5° B. 25° C. 35° D. 45° B 随堂练习 2. 在Rt△ABC中，∠C为直角，∠B的度数是∠A度数的2倍，则∠A 的度数是（　A　） A. 30° B. 50° C. 70° D. 90° A 3. （教材P8习题T7变式）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一 起，则∠BAD的度数为（　D　） A. 35° B. 25° C. 20° D. 15° D 4. 如图，已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E. 若∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是 ⁠. 50°　 5. （2024·邵阳期末）如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A ＝70°，∠BCE＝30°，则∠FBC的度数为 ⁠. 40°　 知识点2　有两个角互余的三角形是直角三角形 6. 在△ABC中，已知∠A＝38°，∠B＝52°，则△ABC为（　C　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都有可能 C 7. 如图，E是△ABC的边AC上的一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D. 若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？ 解：△ABC是直角三角形.理由如下： ∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠1＋∠A＝90°. 又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90°，∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形. 知识点3　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 8. 一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB＝90°，D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1，7，则CD＝（　B　） A. 3.5 cm B. 3 cm C. 4.5 cm D. 6 cm 第8题图 B 9. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝35°，则 ∠BCD＝（　D　） A. 35° B. 45° C. 60° D. 55° 第9题图 D 10. 若直角三角形斜边上的高和中线的长分别是5和6，则它的面积 是 ⁠. 30　 易错点　直角不确定导致漏解 11. （2023·永州期中）如图，已知∠AON＝56°，OA＝6，P是射线 ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A的度数为 ⁠ ⁠. 90°或 34° 12. 如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是 （　C　） A. ∠A＝∠2 B. ∠1和∠B都是∠A的余角 C. ∠1＝∠2 D. 图中有3个直角三角形 第12题图 C 13. 下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的有　（　D　） ①∠A＋∠B＝∠C； ②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3； ③∠A＝90°－∠B； ④∠A＝∠B＝ ∠C. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 14. （教材P8习题T6变式）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是 AC的垂直平分线，且交AC于点D，交BC于点E，连接AE. 已知∠C ＝7∠BAE，则∠C的度数为（　B　） A. 41° B. 42° C. 43° D. 44° 第14题图 B 15. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A'B'C，A'B'交AC于点D. 若∠A'DC＝90°，则∠A＝ ⁠°. 第15题图 55　 16. （2024·长沙浏阳期中改编）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB ＝10，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6. 若M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为 ⁠. 第16题图 2　 17. 如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，E，F 分别是AC，BD的中点，EF＝7，求AC的长. 解：如图，连接AF. ∵AD＝AB， ∴△ABD是等腰三角形. ∵F是BD的中点， ∴AF是△ABD的中线和高， ∴∠AFC＝90°. 又∵E是AC的中点，∴EF是 Rt△AFC的中线， ∴EF＝ AC. ∵EF＝7，∴AC＝2EF＝2×7＝14. 18. 如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是边AB，AC上的高， M，N分别是线段DE，BC的中点，连接MN，DN，EN. （1）求证：MN⊥DE； 解：（1）证明：∵CD，BE分别是边AB，AC上的高，N是BC的中 点， ∴DN＝ BC，EN＝ BC， ∴DN＝EN. 又∵M是DE的中点，∴MN⊥DE. （2）猜想∠A与∠DNE之间的关系，并说明理由. （2）∠DNE＝180°－2∠A. 理由如下： 在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A. ∵DN＝EN＝BN＝NC， ∴∠BND＋∠CNE＝（180°－2∠ABC）＋（180°－2∠ACB）＝ 360°－2（∠ABC＋∠ACB）＝360°－2（180°－∠A）＝2∠A， ∴∠DNE＝180°－2∠A. 性质 判定 直角三角形两锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形. 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形 是直角三角形. 直角三角形 课堂小结 $$