精品解析：广东省深圳实验学校初中部2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷

实验数学期末考试 一、选择题（共9小题） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. 3.1415926 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根，立方根，根据无理数的定义，即可求解． 【详解】解：A. 是有理数，故该选项不符合题意； B. 是有理数，故该选项不符合题意； C. 是有理数，故该选项不符合题意； D. 是无理数，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练其运算法则是解决本题的关键． 根据二次根式的加减法对A，B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断，根据二次根式的除法法则对D进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：B． 3. 甲乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为，，那么成绩比较整齐的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班一样整齐 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：，， ， 成绩较为整齐的是乙班． 故选：B． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 4. 某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．正确得出等量关系是解题的关键． 根据题意可得等量关系：①男生人数+女生人数=35；②男生种树的总棵树+女生种树的总棵树=87棵，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】该班男生有人，女生有人， ∵该班共35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵， ∴得． 故选：D． 5. 若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据点所在的象限，求参数的范围，在数轴上表示不等式的解集，先根据第一象限内点的符号特征，列出不等式组，求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：∵点第一象限， ∴，解得：， 数轴表示如图： ； 故选C． 6. 如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的图象及性质． 先用待定系数法求出该函数解析式，把点代入解析式，即可判断①；该函数图象过点，即当时，，即可判断②；由图象可得当时，对应的图象在x轴的下方，即可判断③；由图象可得当时，对应的图象在x轴的上方，即可判断④． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点， ∴，解得， ∴该一次函数为， 把点代入函数，得成立， ∴函数图象经过点．故①正确； ∵该函数图象过点， ∴当时，， ∴关于的方程的解为．故②正确； ∵由图象可得当时，对应的图象在x轴的下方， ∴当时，．故③正确； ∵由图象可得当时，对应的图象在x轴的上方， ∴当时，．故④错误． 综上，正确的是①②③． 故选：A 7. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 小数比小文先出发15秒 B. 小文提速后的速度为 C. D. 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息．根据图像信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图像即可判断D选项． 【详解】解：结合图像可知，小数比小文早出发15秒，故选项A正确，不符合题意； ∵当秒时，，当秒时，厘米， 故小文提速前的速度是厘米/秒， ∵小文发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为30厘米/秒，故选项B正确，不符合题意； 故提速后小文行走所用时间为：秒， ∴秒， ∴， ∴小数的速度为厘米/秒 ∴秒，故选项C错误，符合题意； 设段对应的函数表达式为， 将点代入，可得， 可得， ∴可有， 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米； 当时，设， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， ∴小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 设段对应的函数表达式为， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， 当时，小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米． 综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为150厘米，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等腰三角形性质可得，，，再判断出点四点共圆，在以为直径的圆上，连接，根据圆周角定理可得，，然后根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：是以为腰的等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 点四点共圆，在以为直径的圆上， 如图，连接， 由圆周角定理得：，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确判断出点四点共圆，在以为直径的圆上是解题关键． 二、填空题（共4小题） 9. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴的点的坐标规律．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接写出答案即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为： 10. 某校竞选学生会干部，分学生一日常规知识笔试和演讲比赛两个环节，总分均为100分，并按比例计算平均成绩，小明笔试成绩95分，演讲成绩90分，最终平均成绩为______． 【答案】92分 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数是解题的关键；因此此题可根据加权平均数的算法进行求解即可． 【详解】解：由题意可知小明的最终平均成绩为（分）； 故答案为92分． 11. 如图，已知函数和的图象交于点，则时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是根据函数图象，求不等式的解集，掌握一元一次不等式与函数图象的关系是解决此题的关键． 利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案． 【详解】解：由图象可知：在点右侧图象符合，且点的横坐标为， ∴若不等式，则． 故答案为：． 12. 一个正数的两个不同的平方根分别为和，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的应用；根据题意可得，得出，进而得出的值，即可求解． 【详解】解：由题可知，， 解得， 则． 故答案为：81． 13. 如图，在中，，．D，E，F分别是边上的点，．若，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算．连接，作，截取，连接，作，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求得的长，再证明，推出，得到当共线时，取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：连接，作，截取，连接，作，垂足为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 14. （1）计算：； （2）解方程组：； （3）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2）；（3），解集表示见解析 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式组． （1）根据二次根式的混合运算法则，先算乘法，再算减法即可解答； （2）运用加减消元法求解即可； （3）先求出各个不等式组的解集，它们的公共部分为不等式组的解集，在数轴上表示解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为； （3） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示为： 15. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子的总长度为； （2）滑块向左滑动的距离为． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．解决本题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的未知边的长度． 根据直角三角形中直角边的长度是，的长度是，利用勾股定理求出斜边的长度，绳子的长度就是斜边与直角边的长度之和； 物体升高，则斜边的长度增加，斜边的长度增加为，利用勾股定理求出的长度，用的长度减去的长度，就是滑块向左滑动的距离． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， ， ， 答：绳子的总长度为； 【小问2详解】 解：如下图所示， ： 根据题意得，，，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 16. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1） （2）8.36 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数是8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 17. 在一次函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，结合图象研究函数的性质并对其性质进行应用的过程．小峰对函数的图象和性质进行如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： （1）列出表格，请同学们求出a，b，并在平面直角坐标系中画出该函数图象； … 0 1 2 … … 1 … ______；______． （2）根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有______． ①函数图象关于轴对称； ②此函数无最小值； ③此函数有最大值，且最大值为3； ④当时，y随的增大而增大． （3）若函数与直线的图象始终有两个交点，请你结合所画函数图象，直接写出的取值范围为______． 【答案】（1），，函数图象见解析 （2）②③④ （3） 【解析】 【分析】（1）分别把，代入函数解析式即可得到a，b的值，再利用描点法画图即可； （2）结合函数图象可得答案； （3）当直线经过点， ，结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 画出函数图象如图所示： 【小问2详解】 由图象可知，①函数图象不关于轴对称，原说法错误； ②此函数无最小值,原说法正确； ③此函数有最大值，且最大值为3，原说法正确； ④当时，y随x的增大而增大，原说法正确； 故答案为：②③④． 【小问3详解】 解：当直线经过点， ∴， ∴， ∴如图所示，直线与函数始终有两个交点， 则． 【点睛】本题考查的是画一次函数的图象，，归纳函数的性质，利用图象法判断两个函数的交点情况，熟练的利用图象解题是关键． 18. 【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 （1）在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要_______元；若在乙商店购买，共需要______元；（均用含m的代数式表示） （3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ 【答案】（1）A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元 （2）， （3）购买A款运动盲盒的数量在范围内时，去甲商店更合算 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元，列出二元一次方程组，即可解答； （2）根据题意，列出代数式并化简，即可解答； （3）购买A款运动盲盒去甲商店更合算，即甲店的费用比乙店少，列出一元一次不等式，即可解答． 【小问1详解】 解：设在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元． 小问2详解】 解：小明在甲商店成为会员购买，所需费用为 （元）； 若在乙商店购买，所需费用为（元）； 故答案为：；． 【小问3详解】 解：当， 解得， ， ∴； 答：购买A款运动盲盒的数量m在范围内时，去甲商店更合算． 19. 已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上． （1）如图1，连接． ①请你探究与之间的关系，并证明你的结论； ②求证：． （2）如图2，若，点F是的中点，求的长． 【答案】（1）①，，理由见解析②证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． （1）先得到，再证明即可得出，，因为是等腰直角三角形，所以，则，则可证； 由可得，在等腰直角三角形中，由勾股定理可得，又因为，代入即可得证； （2）过点作于，由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长． 【小问1详解】 解：①，，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ， ， ∴； ②∵， ， ∵， ， ∵是等腰直角三角形， ∴， ； 【小问2详解】 解：过点作于，如图： 由②得，，， ∴ ， ， ∵点是的中点， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 20. 如图，直线和相交于点，、分别在轴的正半轴和负半轴，且，点坐标为． （1）求直线的函数表达式； （2）在线段上找点，使得，求点的坐标； （3）在轴上找点，使得，直接写出点坐标． 【答案】（1）线的解析式为 （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先确定出点B坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （2）想求出三角形的面积，进而求出三角形的面积，再求出直线的解析式，设出点P坐标，利用三角形的面积之差得出，即可得出结论； （3）先求出，， ①当点Q在x轴正半轴上时，以为直角边，点A为直角顶点在下方作等腰直角三角形，则，，进而得出，得出，求出直线的解析式，即可得出结论； ②当点Q在x轴负半轴时，根据对称性得，． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 点的坐标为， ， ， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图1， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入中， 得， ， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， ； 小问3详解】 解：如图2， 在中，，， ， ，， ， ， ①当点在轴正半轴上时， ， ， 以为直角边，点为直角顶点在下方作等腰直角三角形，过点作轴于， 即：，， ，， ， ， ，， ， ， ， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ②当点在轴负半轴时，根据对称性得，， 即：点的坐标为或． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的计算方法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，构造出等腰直角三角形是解本题的关键． 21. 【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 （1）在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要_______元；若在乙商店购买，共需要______元；（均用含m的代数式表示） （3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ 【答案】（1）A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元 （2）， （3）购买A款运动盲盒的数量在范围内时，去甲商店更合算 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元，列出二元一次方程组，即可解答； （2）根据题意，列出代数式并化简，即可解答； （3）购买A款运动盲盒去甲商店更合算，即甲店的费用比乙店少，列出一元一次不等式，即可解答． 【小问1详解】 解：设在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元． 【小问2详解】 解：小明在甲商店成为会员购买，所需费用为 （元）； 若在乙商店购买，所需费用为（元）； 故答案为：；． 【小问3详解】 解：当， 解得， ， ∴； 答：购买A款运动盲盒的数量m在范围内时，去甲商店更合算． 22. 已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上． （1）如图1，连接． ①请你探究与之间的关系，并证明你的结论； ②求证：． （2）如图2，若，点F是的中点，求的长． 【答案】（1）①，，理由见解析②证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． （1）先得到，再证明即可得出，，因为是等腰直角三角形，所以，则，则可证； 由可得，在等腰直角三角形中，由勾股定理可得，又因为，代入即可得证； （2）过点作于，由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长． 【小问1详解】 解：①，，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ， ， ∴； ②∵， ， ∵， ， ∵是等腰直角三角形， ∴， ； 【小问2详解】 解：过点作于，如图： 由②得，，， ∴ ， ， ∵点是的中点， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验数学期末考试 一、选择题（共9小题） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. 3.1415926 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 甲乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为，，那么成绩比较整齐的班级是（ ） A 甲班 B. 乙班 C. 两班一样整齐 D. 无法确定 4. 某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 7. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 小数比小文先出发15秒 B. 小文提速后的速度为 C. D. 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 8. 如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、填空题（共4小题） 9. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 10. 某校竞选学生会干部，分学生一日常规知识笔试和演讲比赛两个环节，总分均为100分，并按比例计算平均成绩，小明笔试成绩95分，演讲成绩90分，最终平均成绩为______． 11. 如图，已知函数和的图象交于点，则时，的取值范围是_____． 12. 一个正数的两个不同的平方根分别为和，则的值为______． 13. 如图，在中，，．D，E，F分别是边上的点，．若，则的最小值是__________． 三、解答题（共8小题） 14. （1）计算：； （2）解方程组：； （3）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 15. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 16. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育时间是的人数约为多少？ 17. 在一次函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，结合图象研究函数的性质并对其性质进行应用的过程．小峰对函数的图象和性质进行如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： （1）列出表格，请同学们求出a，b，并在平面直角坐标系中画出该函数图象； … 0 1 2 … … 1 … ______；______． （2）根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有______． ①函数图象关于轴对称； ②此函数无最小值； ③此函数有最大值，且最大值为3； ④当时，y随的增大而增大． （3）若函数与直线的图象始终有两个交点，请你结合所画函数图象，直接写出的取值范围为______． 18. 【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 （1）在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要_______元；若在乙商店购买，共需要______元；（均用含m代数式表示） （3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ 19. 已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上． （1）如图1，连接． ①请你探究与之间关系，并证明你的结论； ②求证：． （2）如图2，若，点F是的中点，求的长． 20. 如图，直线和相交于点，、分别在轴的正半轴和负半轴，且，点坐标为． （1）求直线的函数表达式； （2）在线段上找点，使得，求点的坐标； （3）在轴上找点，使得，直接写出点坐标． 21. 【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 （1）在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要_______元；若在乙商店购买，共需要______元；（均用含m的代数式表示） （3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ 22. 已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上． （1）如图1，连接． ①请你探究与之间的关系，并证明你的结论； ②求证：． （2）如图2，若，点F是的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $