精品解析：北京市燕山地区 2024—2025学年上学期九年级期末质量检测

燕山地区2024—2025学年第一学期九年级期末考试数学试卷 考生须知 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 推进美丽中国建设，绿色低碳生产生活方式加快形成．中国超额完成到2020年碳排放强度下降40%至45%的目标，累计减排二氧化碳吨，建成全球规模最大碳市场和清洁发电体系．将用科学记数法表示应为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 《城市公共交通条例》自2024年12月1日起施行，落实城市公共交通优先发展战略，构建安全、便捷、高效、绿色、经济的城市公共交通体系．经过某路口的公交车，只能直行或右转，若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆公交车都右转的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线平移，可以得到抛物线，下列平移的叙述正确的是（　　） A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度 5. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. B. 4 C. D. 6. 如图，在中，C是的中点，点D是上一点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 执行神舟十九号载人飞行任务的航天员乘组由蔡旭哲（男）、宋令东（男）、王浩泽（女）3名航天员组成，北京时间2024年10月29日，3名航天员与中外记者集体见面．如果从2名男航天员1名女航天员中任选2人回答记者问，则恰好选中1名男航天员1名女航天员的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与y轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 抛物线的顶点坐标是________，开口方向是________． 10. 如图，是的直径，C，D是上两点，若，则的度数为_______． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 12. 在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可） 13. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则________，________． 14. 如图，的半径为，是的内接三角形，半径于，当时，的长是________． 15. 草坪上的自动喷水装置的旋转角为，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为平方米，则这个扇形的半径是__米． 16. 二次函数y＝ax²＋bx＋c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … m … y … 0 4 6 6 4 … ﹣6 … 则这个二次函数的对称轴为直线x＝________，m＝________（m＞0）． 三、解答题（本题共68分，第17－19题，每小题5分，第20题6分，第21－24题，每小题5分，第25题6分，第26－28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 18. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 19. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离为，桥拱半径为，求水面宽的长度． 20. 一个大型社区，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． （1）以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （2）求水管的长． 21. 二十四节气是通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系．二十四节气被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，被誉为“中国的第五大发明”．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“立春”，另外一张卡片的正面图案为“立冬”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张． 请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“立春”的概率，（图案为“立春”的两张卡片分别记为，，图案为“立冬”的卡片记为） 22. 已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … （1）求此抛物线的解析式； （2）画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围． 23. 下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图1，⊙及⊙上一点． 求作：直线PN，使得PN与⊙相切． 作法：如图2， ①作射线OP； ②在⊙外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M； ③连接MQ并延长交⊙Q于点N； ④作直线PN． 所以直线PN即为所求作直线． 根据小石设计的尺规作图的过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵是⊙的直径， ∴＝ （ ）（填推理的依据）． ∴． 又∵是⊙的半径， ∴是⊙的切线（ ）（填推理的依据）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； （2）在（1）的条件下， ①点A经过路径的长度为 （结果保留）； ②点的坐标为 ． 25. 如图，是的直径，过点作的切线，点、、分别为的三等分点，连接，，，延长交于点，交于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的面积． 26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2－2ax＋4（a＞0）． （1）抛物线的对称轴为x＝　 ；抛物线与y轴的交点坐标为　 ； （2）若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式； （3）若A（m－1，y1），B（m，y2），C（m＋2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，求m的取值范围． 27. 是等边三角形，点是射线边上一点（不与重合），，，连接． （1）如图1，点是线段上一点（不与，重合） ①判断与的位置关系，并证明； ②过点作，垂足为．直接写出，与之间的数量关系． （2）如图2，点是线段延长线上一点，过点作，垂足为．用等式，与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于两点，对于点P和，给出如下定义：若抛物线经过A，B两点且顶点为P，则称点P为的“图象关联点”． （1）已知，在点E，F，G，H中，的“图象关联点”是 ； （2）已知点P为的“图象关联点”，且， ①判断与的位置关系，并证明； ②直接写出抛物线的顶点坐标． （3）已知，当的“图象关联点”P在外且在四边形内运动时，直接写出抛物线中a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 燕山地区2024—2025学年第一学期九年级期末考试数学试卷 考生须知 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； 故选：C． 2. 推进美丽中国建设，绿色低碳生产生活方式加快形成．中国超额完成到2020年碳排放强度下降40%至45%的目标，累计减排二氧化碳吨，建成全球规模最大碳市场和清洁发电体系．将用科学记数法表示应为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 3. 《城市公共交通条例》自2024年12月1日起施行，落实城市公共交通优先发展战略，构建安全、便捷、高效、绿色、经济的城市公共交通体系．经过某路口的公交车，只能直行或右转，若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆公交车都右转的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单概率的计算，根据题意列出所有等可能的情况是解题的关键．从所有等可能的情况中找出符合条件的情况数，利用概率公式求解． 【详解】解：由题意知，，两辆汽车经过该路口时共有4种等可能的情况， 分别是：直行右转，直行直行，右转右转，右转直行， 因此经过该路口的两辆汽车都右转的概率为． 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线平移，可以得到抛物线，下列平移的叙述正确的是（　　） A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】将转化为顶点式，再根据抛物线的平移规则，进行判断即可． 【详解】解：，它的图象是由的图象向左平移一个单位得到的； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：上加下减，左加右减，是解题的关键． 5. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式等于0，由此可列出关于的等式，求出的值． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根 故选：D． 6. 如图，在中，C是的中点，点D是上一点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、圆心角的关系，先根据圆周角定理求出的度数，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， 故选：C． 7. 执行神舟十九号载人飞行任务的航天员乘组由蔡旭哲（男）、宋令东（男）、王浩泽（女）3名航天员组成，北京时间2024年10月29日，3名航天员与中外记者集体见面．如果从2名男航天员1名女航天员中任选2人回答记者问，则恰好选中1名男航天员1名女航天员的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．画出树状图求概率即可求解． 【详解】解：画树状图如图， 共有种等可能结果，其中选中1名男航天员1名女航天员，有4种， ∴选中1名男航天员1名女航天员的概率． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与y轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形中位线的性质得到当为直径（过圆心M）时，最大；然后延长与圆交于点，连接；再由圆周角定理可得，然后由垂径定理得到、求解、，最后求出线段的中点坐标即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，点M坐标为，点A坐标为， ∴，， ∵点D是的中点， ∴且， ∴最大时，即当为直径（过圆心M）时，最大； 如图：延长与圆交于点，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， ∵的中点，， ∴的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形的中位线、勾股定理、线段的中点等知识，将求线段最大时D的坐标转换成求最大时点D的坐标是解答本题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 抛物线的顶点坐标是________，开口方向是________． 【答案】 ①. ②. 向上 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式，准确分析是解题的关键． 根据二次函数的性质求解即可． 【详解】∵抛物线，二次项系数为， ∴顶点坐标为，开口向上 故答案为：，向上． 10. 如图，是的直径，C，D是上两点，若，则的度数为_______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】先根据邻补角的性质求出，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ， ∴， ∴， 故答案为 【点睛】本题主要考查了圆周角的性质和邻补角的性质，解题的关键是熟知圆周角的性质定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根． 根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 12. 在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则________，________． 【答案】 ①. 5 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查原点对称点的性质，熟记性质并运用解题是关键．关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出、，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，， 解得， 故答案为：5，3． 14. 如图，的半径为，是的内接三角形，半径于，当时，的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，半径于，根据等腰三角形的“三线合一”，即可求解． 【详解】解：的半径为， ∴， ∵是的内接三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形，，，， ∵半径于， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，等腰直角三角形的性质的综合，掌握以上知识的综合运用解题的关键． 15. 草坪上的自动喷水装置的旋转角为，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为平方米，则这个扇形的半径是__米． 【答案】3 【解析】 【分析】根据已知得出自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5平方米，圆心角为200°，利用扇形面积公式S扇形=求出即可． 【详解】解：∵草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5平方米，圆心角为200°， ∴它能喷灌的草坪的面积为：=5． 解得： R=3， 故答案为3． 【点睛】此题主要考查了扇形面积求法. 16. 二次函数y＝ax²＋bx＋c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … m … y … 0 4 6 6 4 … ﹣6 … 则这个二次函数的对称轴为直线x＝________，m＝________（m＞0）． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】根据题意把点（0，6）代入求出c，再把点（-1，4）和（1，6）代入求出a、b，进而分析计算即可求出答案． 【详解】解：由表得，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6）， ∴c=6， ∵抛物线y=ax2+bx+6过点（-1，4）和（1，6）， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为：y=-x2+x+6； ∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6）和（1，6）， ∴抛物线的对称轴方程为直线x=， 当x=m时，y=-6,代入y=-x2+x+6，则有-6=-m2+m+6， 解得：m=-3或m=4， ∵m＞0， ∴m=4， 故答案为：，4． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握并用待定系数法求函数的解析式的应用，能求出二次函数的解析式是解答此题的关键． 三、解答题（本题共68分，第17－19题，每小题5分，第20题6分，第21－24题，每小题5分，第25题6分，第26－28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，将方程转化为一般形式，利用公式法进行求解即可． 【详解】解：由得： ∴ ； ． 18. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 【答案】， 【解析】 【分析】把方程中的x-2看作一个整体，利用因式分解法解此方程． 【详解】解：(x－2）(x+1)=0， ∴x－2=0或x+1=0， ∴x1=2，x2=-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，属于基础题． 19. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离为，桥拱半径为，求水面宽的长度． 【答案】8m 【解析】 【分析】连接OA，根据垂径定理可知AD=BD=AB，在Rt△ADO中，利用勾股定理即可求出AD的长，进而可得出AB的长，此题得解． 【详解】解：连接OA，如图所示． ∵CD⊥AB， ∴AD=BD=AB， 在Rt△ADO中，OA=OC=5m，OD=CD-OC=3m，∠ADO=90°， ∴AD==4m， ∴AB=2AD=8m． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，利用勾股定理求出AD的长度是解题的关键． 20. 一个大型社区，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． （1）以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （2）求水管的长． 【答案】（1） 解：如图，建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系， （2）水管应长 【解析】 【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系； （2）设抛物线的解析式为，将代入求得值，令，得的y值即为水管的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为， 则设抛物线的解析式为：，代入， 解得：． 将值代入得到抛物线的解析式为： ， 令，则． 故水管长为． 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形建立合适的直角坐标系． 21. 二十四节气是通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系．二十四节气被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，被誉为“中国的第五大发明”．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“立春”，另外一张卡片的正面图案为“立冬”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张． 请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“立春”的概率，（图案为“立春”的两张卡片分别记为，，图案为“立冬”的卡片记为） 【答案】 画树状图为： 由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“立春”的结果有4种，所以（两张都是“立春”）． 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率，熟练掌握该知识点是解题的关键．先列出树状图，然后根据概率所求情况数总情况数，求出答案即可． 【详解】略 22. 已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … （1）求此抛物线的解析式； （2）画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，二次函数的图象性质等知识点，解决此题关键是能根据表格里的数据得到对称轴． （1）根据表格里的数据得到对称轴，可设抛物线解析式，再找一个组值代入即可； （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系里描出点，用平滑的曲线连接即可；根据图象的性质，即可得到时，y的范围． 【小问1详解】 解：由表格可知对称轴为，所以可设抛物线的解析式为， ∵时，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：函数图象如图所示 由（1）可知，对称轴为， 所以令时，， 当时， ∴能取到最小值， 即． 23. 下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图1，⊙及⊙上一点． 求作：直线PN，使得PN与⊙相切． 作法：如图2， ①作射线OP； ②在⊙外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M； ③连接MQ并延长交⊙Q于点N； ④作直线PN． 所以直线PN即为所求作直线． 根据小石设计的尺规作图的过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵是⊙的直径， ∴＝ （ ）（填推理的依据）． ∴． 又∵是⊙的半径， ∴是⊙的切线（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1）补全图形如下图； （2），直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据圆周角定理可得∠MPN=90°，根据切线的判定定理即可得结论. 【详解】（1） 略 （2）证明：∵是⊙的直径， ∴＝ 90 （直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）． ∴． 又∵是⊙的半径， ∴是⊙的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）． 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定及圆周角定理，正确作出图形是解题关键. 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； （2）在（1）的条件下， ①点A经过路径的长度为 （结果保留）； ②点的坐标为 ． 【答案】（1） 如图所示， 即为所求； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查旋转变换作图，关键在于先找到旋转后对应的点，也需要牢记弧长公式． （1）利用网格和旋转的性质画出点A、B对应的点和，相连得到所求三角形． （2）①先根据勾股定理求出的长，然后根据弧长公式求解即可；②根据所画图形写出的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， 所以点A经过的路径为； ②由图形可得∶ 点的坐标为∶． 故答案为： 25. 如图，是的直径，过点作的切线，点、、分别为的三等分点，连接，，，延长交于点，交于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵点、、为的三等分点， ∴，内接于， ∴，点是的外心， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴， ∵过点作的切线， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定、三角形的外心、圆切线的性质、平行线的判定，等边三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、勾股定理、含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点推理是解题的关键． （1）根据三等分点，得出，内接于，推出，点是的外心，得出，根据切线的性质，得出，根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”，即可得证； （2）连接，由（1）得，，，得出是等边三角形，，得出，计算出角度，，根据“直径所对的圆周角是直角”，得出，求出，根据“角所对的直角边是斜边的一半”，结合勾股定理，推出，，根据三角形面积公式，计算，得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵由（1）得：，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 又∵在中，， ∴，， ∴在中，． 26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2－2ax＋4（a＞0）． （1）抛物线的对称轴为x＝　 ；抛物线与y轴的交点坐标为　 ； （2）若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式； （3）若A（m－1，y1），B（m，y2），C（m＋2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，求m的取值范围． 【答案】（1）1，（0，4） （2）顶点坐标为（1，0），y＝4x2－8x＋4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数对称轴公式，以及与y轴的交点坐标公式； （2）根据二次函数与x轴交点公式，以及待定系数法求解析式； （3）先求对称点坐标根据函数的增减性解决本题． 【小问1详解】 解：， 当x＝0时，y＝ax2－2ax＋4＝4， 所以抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线与y轴的交点坐标是（0，4）， 故答案为：1，（0，4）． 【小问2详解】 解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上， ∴抛物线的顶点坐标为（1，0）， 把（1，0）代入y＝ax2－2ax＋4得：0＝a×12－2a×1＋4， 解得：a＝4， ∴抛物线的解析式为y＝4x2－8x＋4． 【小问3详解】 解：A（m－1，y1）关于对称轴x＝1的对称点为A′（3－m，y1）， B（m，y2）关于对称轴x＝1的对称点为B′（2－m，y2）， 若要y1＞y3＞y2，则3－m＞m＋2＞2－m，解得：． 【点睛】本题考查二次函数图像求对称轴公式，以及与x轴，y轴的交点公式，以及函数的增减性，掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 27. 是等边三角形，点是射线边上一点（不与重合），，，连接． （1）如图1，点是线段上一点（不与，重合） ①判断与的位置关系，并证明； ②过点作，垂足为．直接写出，与之间的数量关系． （2）如图2，点是线段延长线上一点，过点作，垂足为．用等式，与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） ① 连接，如图所示： ， 是等边三角形 ， 是等边三角形 ， ， 在和中， ② （2）当点在线段上时，；当点在线段延长线上时， 【解析】 【分析】（1）①连接，证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，结合，推出，从而得证；②在线段上截取，连接，先证明是等边三角形，在利用等腰三角形三线合一，得到，再利用30度所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理，得到，结合从而得证； （2）①当点在线段上时，在延长线上截取，连接．先证明是等边三角形，得到，，从而推出，，由勾股定理得，，最后得到；当点在线段长线上时，同上，截取，连接，同理可证． 【小问1详解】 解：①略 ②，理由如下： 在线段上截取，连接，如图所示： 是等边三角形 ， 是等边三角形 ， 【小问2详解】 解：点是线段延长线上一点（不与，重合），过作，垂足为， ①当点在线段上时， 如图，在延长线上截取，连接． 是等边三角形 是等边三角形 ， ，垂足为 由勾股定理得， ， ②当点在线段长线上时， 截取，连接，如图所示： 是等边三角形 是等边三角形 ， ，垂足为 由勾股定理得， ， 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，平行的判定，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，三线合一，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于两点，对于点P和，给出如下定义：若抛物线经过A，B两点且顶点为P，则称点P为的“图象关联点”． （1）已知，在点E，F，G，H中，的“图象关联点”是 ； （2）已知点P为的“图象关联点”，且， ①判断与的位置关系，并证明； ②直接写出抛物线的顶点坐标． （3）已知，当的“图象关联点”P在外且在四边形内运动时，直接写出抛物线中a的取值范围． 【答案】（1）H （2） ①与的位置关系是：相切. ∵为的直径， ∴为的中点. ∵， . ∴. 连接， ∵P为的“图象关联点”， ∴点P为抛物线的顶点. ∴ 点P在抛物线的对称轴上. ∴是的垂直平分线. ∴ 过点M作于N. ∵ ∴ ∴与相切 ②抛物线的顶点坐标是或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合、切线的证明、解直角三角形等知识，解题关键是熟练运用二次函数的性质和切线判定定理进行求解与证明． （1）根据抛物线的对称性求出顶点横坐标，然后判断即可； （2）连接，过点M作于N，证明即可得到结论，由题意可得，，求出，即可得到顶点坐标； （3）求出点Р纵坐标为或2时的函数解析式，再判断a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点且顶点为P， 则顶点P的横坐标为， ∵在点E，F，G，H中，的横坐标为， ∴在点E，F，G，H中，的“图象关联点”是H； 故答案为：H； 【小问2详解】 ①略 ②当抛物线开口向上时， ∵与相切 ∴， ∵，， ∴， ∴ 即点P的坐标为， 同理可得，当抛物线开口向下时，点P的坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为或； 【小问3详解】 由（1）可知，顶点P的横坐标为，由（2）可知的半径为1.5， 已知，，当的“图象关联点”Р在外且在四边形内时， 顶点P的纵坐标范围是大于1.5且小于2， 当抛物线顶点坐标为时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，； 当抛物线顶点坐标为时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，； ∴a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $