精品解析：天津市西青区2024-2025学年高三上学期期末学业质量检测数学试卷

2024~2025学年度第一学期学业质量检测 高三数学试卷 说明：本套试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间：120分钟. 参考公式： 柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高. 锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高. 球的体积公式；球的表面积公式，其中表示球的半径. 第I卷（选择题，共45分） 一､选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.将正确答案填在下面的表格内. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出,再求解交集即可. 【详解】,则， 故选：A 2. 已知x，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过特例，结合充分必要条件的判定方法即可判断. 【详解】，而 同样，而，所以充分性、必要性都不成立. 故选：D 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性判断AB，根据指数函数的性质判断C，由正弦函数的性质判断D. 【详解】对于A，由幂函数的性质知在区间上单调递增，故在区间上单调递减，故A错误； 对于B，由幂函数性质知在上单调递减，故B错误； 对于C，令，则，又，所以函数为奇函数， 由指数函数的单调性知，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，符合题意，故C正确； 对于D，由正弦函数性质可知为奇函数，但在区间上不单调，故D错误. 故选：C 4. 树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先依据题意列等量关系式求出，再依据百分位数的定义以及求解步骤直接求解即可得解. 【详解】由题可得极差是，该组数据的中位数是极差的， 列出等式，解得， 因为， 故该组数据的第40百分位数为从小到大第4个数据和第5个数据的平均值，即， 所以该组数据的第40百分位数是. 故选：A. 5. 设，，，则，，的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】由指数函数的性质，可得， 根据对数函数的性质，可得， 所以. 故选：B. 6. 设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A. 若∥，∥，则∥ B. 若∥，，则 C 若，则 D. 若，∥，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，与相交或平行；对于B，由面面垂直的判定定理得；对于C，与平行或；对于D，与相交、平行或． 【详解】设是直线，，是两个不同的平面， 对于A，若，，则与相交或平行，故A错误； 对于B，若，则内存在直线，因为， 所以，由面面垂直的判定定理得，故B正确； 对于C，若，，则与平行或，故C错误； 对于D，若，，则与相交、平行或，故D错误． 故选：B． 7. 已知函数的最小正周期为，把函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据辅助角公式，把函数化为正弦型函数，利用周期计算公式，和偶函数性质计算即可. 【详解】由题意可知， 又因为最小正周期为，所以，即， 将的图象上所有点向右平移个单位长度， 可得，由于是偶函数，其图象关于轴对称， 因此，，解得， 由于，则的最小值是. 故选：B. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义求得（用表示），再由勾股定理求得关系得离心率． 【详解】因为，设，， 又，所以， 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 再由得，即，所以离心率为， 故选：A． 9. 如图，一个圆柱形容器中装有某种液体，固定容器在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点到容器底部的距离分别是10和22，则容器内液体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件通过作垂线，求得底面圆的半径，将液体的体积看作等于一个底面半径为 ，高为32的圆柱体积的一半，即可求得答案. 【详解】如图为圆柱的截面图，过作容器壁的垂线，垂足为， 因为平行于地面，故， 椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是10和22， 故， 在中，，即圆柱的底面半径为， 所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为(22+10)的圆柱体积的一半， 即为. 故选：C 二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.把答案填在题中横线上. 10. 是虚数单位，复数的虚部为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】对复数进行化简，从而得到复数的虚部，得到答案. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故答案为：. 11. 在的展开式中，的系数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项展开式的通项求解项的系数即可. 【详解】在二项展开式的通项公式：， .令，，所以的系数为. 故答案为：. 12. 已知圆，直线是抛物线的准线，则圆关于直线对称的圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知圆方程确定圆心和半径，利用对称性求对称圆的圆心和半径，即可得结果. 【详解】由题设圆，即， 故圆心坐标为，半径为，因为抛物线，所以准线方程为：， 设圆心关于直线对称点为，则，解得， 所以圆关于直线对称的圆的标准方程为：. 故答案为： 13. 袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是__________；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】分别利用古典概型的概率和条件概率求解. 【详解】根据题意从3个红球和2个白球任取3个球，由种取法， 其中恰有一个白球的取法有种，其中恰有一个白球的概率是； 由题可知，“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件， 则，，所以. 故答案为：；. 14. 如图，在中，为上一点，且满足，则实数值为__________；若的面积为，则的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由平面向量共线定理求解m，可得，两边平方由数量积的运算律，结合三角形面积公式与基本不等式求解， 【详解】由得， 则， 而三点共线，得，， 则，因为 所以 而，得， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 故，即的最小值为， 故答案为：； 15. 已知且，设函数，在上是单调函数，若函数恰有两个不等实数根，则实数的取值范围是__________________________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析得是减函数，再结合分段函数的单调性得出，然后利用的图象与直线恰有两个交点得出的范围． 【详解】， ，的图象如下图： 因为函数在上是单调函数， 故只能是减函数，且，即，∴， 又时，，结合， 解得， 函数恰有两个不等实数根， 即函数的图象与直线恰有两个交点， 作出函数的图象及直线，如下图， 可得 ，解得， 综上有. 故答案为：． 【点睛】方法点睛：由非常实数根的个数求参数范围问题，通常把问题转化为函数图象与一条直线的交点个数问题，然后通过作出函数图象及直线，观察得出条件，求得参数范围． 三､解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由余弦定理计算求出即可； (2)由正弦定理计算求出即可； (3)由二倍角公式算出和，再用两角差的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 因为，由余弦定理得， 在中，， 所以； 【小问2详解】 由(1)可知，且，由正弦定理， 得； 【小问3详解】 由，可得，故有，所以为锐角， 因为，所以， 所以， ， . 17. 如图，在三棱锥中，平面，点在棱上，且为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存，. 【解析】 【分析】（1）以为原点，以所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法证明线面垂直； （2）用空间向量法求二面角； （3）假设点存在，设，由求线面角的空间向量法求得值． 【小问1详解】 以为原点，以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则 方法一： . . 平面 平面. （证明中两组均可） 方法二：设是平面的一个法向量 取，得. ，即， 平面. 【小问2详解】 设为平面的一个法向量， ，令，则， . 由（1）可知是平面的一个法向量.（用均可） 设平面与平面的夹角为 平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在点满足题意，设， 设直线与平面所成角为，则 解得. 又，得，所以值为. 所以存在点满足题意且． 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，的面积为，求直线的斜率之积的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率，焦点坐标及关系列方程组求得，得椭圆标准方程； （2）直线斜率不存在时直接求得斜率之积，斜率存在时，设直线的方程为，设，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，由弦长公式求得，计算原点在的距离，得三角形面积，从而得出关系，此关系式代入斜率之积的表达式化简可得结论． 【小问1详解】 由题意可得 ，解得 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设 ①当直线的斜率不存在时，根据陏圆的对称性不妨设点在第一象限，则 因为，所以 又因为，解得 所以 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由联立，得 得 点到直线的距离为， 则 解得 综上所得，求直线的斜率之积的值. 【点睛】方法点睛：椭圆中定值问题，一般设交点坐标为，设出直线方程为（或），代入椭圆方程应用韦达定理得（或）然后用两交点坐标表示出要求值的量，如本题中斜率之积，代入韦达定理的结论化简后可得定值． 19. 已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，，. （1）求和的通项公式； （2）设数列满足，对任意的，将数列中落入区间内的项的个数记为. （i）求的通项公式及和的值； （ii）记数列的前项和为，请问是否存在，使得，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）. （2）（i），，；（ii）存在 【解析】 【分析】（1）根据等差、等比数列的定义和通项公式计算即可求解； （2）（i）利用累加法求得，根据求得，即可求解； (ii)利用错位相减法计算从第2项到第项的和为，进而求出，结合题意建立关于的方程，列举的值即可求解. 【小问1详解】 为等差数列，设公差为为公比大于0的等比数列， 设为公比为，且，因为，所以， 又因为，得， 所以 因为，所以， 所以， 故和通项公式分别为. 【小问2详解】 由题意，得， 因为当时， ， 当时，也满足上式， 所以的通项公式为. ①因为，所以， 当时，，此时， 令，则， 当时，， 此时 ② 令从第2项到第项的和为，则 ， ， ， ， 当时，； 当时，， 当时也满足上式， 所以， 由，得， 即， 当时，左边，舍去， 当时，经检验符合； 当时，先证，即证, 令，则， 所以单调递减，有， 又， 所以 即当时，方程无解， 综上所得，存在使得. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求证：有唯一极值点； （3）若有唯一零点，求证：. 【答案】（1）. （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数在某点处的导数的几何意义求得切线的斜率，再利用点斜式求切线方程即可； （2）利用二次求导判断导函数在上单调递增，再构造函数判断，结合即可得存在唯一的，使得，从而证得有唯一极值点； （3）由（2）知函数有唯一极小值点，结合有唯一零点，可得，利用，得，进一步得，利用导函数判断函数的单调性，结合区间端点处的函数值的符号即可证得. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为，所以， 则， 所以斜率，又， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，， 所以，， 令，， 则，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 构造函数，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以，即， 所以， 又，所以存在唯一的，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以函数有唯一极值点. 【小问3详解】 由（2）得， 因为函数有唯一零点，所以，所以， 即，所以， 设，所以， 所以在单调递减， 因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期学业质量检测 高三数学试卷 说明：本套试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间：120分钟. 参考公式： 柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高. 锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高. 球的体积公式；球的表面积公式，其中表示球的半径. 第I卷（选择题，共45分） 一､选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.将正确答案填在下面的表格内. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知x，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. 设，，，则，，的大小关系为( ) A. B. C. D. 6. 设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A. 若∥，∥，则∥ B. 若∥，，则 C. 若，则 D. 若，∥，则 7. 已知函数的最小正周期为，把函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则的最小值是( ) A B. C. D. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一个圆柱形容器中装有某种液体，固定容器在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点到容器底部的距离分别是10和22，则容器内液体的体积是（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.把答案填在题中横线上. 10. 是虚数单位，复数的虚部为__________. 11. 在的展开式中，的系数是__________. 12. 已知圆，直线是抛物线的准线，则圆关于直线对称的圆的标准方程为__________. 13. 袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是__________；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则__________. 14. 如图，在中，为上一点，且满足，则实数的值为__________；若的面积为，则的最小值为__________. 15. 已知且，设函数，在上是单调函数，若函数恰有两个不等实数根，则实数的取值范围是__________________________． 三､解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角，，所对边分别为，，，已知，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，在三棱锥中，平面，点在棱上，且为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点满足直线与平面所成角正弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，的面积为，求直线的斜率之积的值. 19. 已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，，. （1）求和的通项公式； （2）设数列满足，对任意的，将数列中落入区间内的项的个数记为. （i）求的通项公式及和的值； （ii）记数列的前项和为，请问是否存在，使得，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求证：有唯一极值点； （3）若有唯一零点，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $