2024-2025学年浙教版数学九年级上册期末专项突破《第5讲 圆中的相似问题》课件

让天下学子共享优质教育！ 第5讲 圆中的相似问题 期末专项突破 浙教版 九年级上册 一、选择题 1.如图，已知△ABC是⊙O的内接等边三角形，取上异于点A，B的点M.设直线CA与BM相交于点K，直线CB与AM相交于点N.若AK＝2，BN＝3，则AB的长为 (　　) A. 1 B. 2.5 C. ＋ D. 【提示】 证△ABK∽△BNA. 【答案】 D 2.如图，AB是⊙O的弦(非直径)，C是弦AB上的动点(不与点A，B重合)，过点C作垂直于OC的弦DE.设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，＝m，则弦DE的长 (　　) A. 与r，a，m的值均有关　　　　　 B. 只与r，a的值有关 C. 只与r，m的值有关　　　　　 D. 只与a，m的值有关 【解析】 连结AD，BE.∵OC⊥DE，∴CE＝CD＝DE. ∵＝m，AB＝a，∴AC＝，BC＝. ∵∠D＝∠B，∠A＝∠E，∴△ADC∽△EBC， ∴CD∶CB＝AC∶EC，∴CD2＝AC·BC， ∴DE2＝·，∴DE2＝， ∴弦DE的长只与a，m的值有关. 【答案】 D 3.(2023秋·嘉兴市平湖市期末)如图，⊙O的弦AB与直径CD垂直，垂足为E，连结AC，BF⊥AC于点F，交CD于点G，下面的结论中，错误的是 (　　) A. AC·FG＝BG·CF B. AF·AC＝BG·BF C. AC·CG＝CD·CF D. BG2＝DG·GC 【解析】 如解图，连结AD，BD，AG.∵CD是⊙O的直径，BF⊥AC于点F，∴∠CAD＝∠CFB＝90°，∴AD∥BF，∴∠ADG＝∠BGD.∵AB⊥CD，∴AE＝BE，∴CD垂直平分AB，∴AD＝BD，AG＝BG，∴∠BDG＝∠ADG＝∠BGD，∴BD＝BG，∴AD＝BD＝AG＝BG，∴四边形ADBG是菱形.∵FG∥AD，∴△CFG∽△CAD，∴＝＝，∴CA·FG＝AD·CF＝BG·CF，CA·CG＝CD·CF，故A，C正确，但不符合题意； ∵∠BFA＝∠CAD＝∠AED＝90°，∴∠FAB＝∠ADC＝90°－∠DAE， ∴△BFA∽△CAD，∴＝，∴AF·CA＝AD·BF＝BG·BF，故B正确， 但不符合题意；∵∠DEA＝∠DAC＝90°，∠EDA＝∠ADC，∴△EDA∽ △ADC，∴＝，∴AD2＝ED·CD，∴BG2＝ED·CD.假设BG2＝DG·GC成立，则ED·CD＝DG·GC.∵四边形ADBG是菱形，∴ED＝EG＝DG， ∴DG·(DG＋GC)＝DG·GC，∴DG2＝DG·GC，∴DG＝CG，则点G与圆心O重合，∴AB垂直平分半径OD，显然与已知条件不符，∴BG2＝DG·GC不成立，故D错误，符合题意. 【答案】 D 4.(2023秋·杭州市萧山区期末)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连结DB，DC，且DB交AC于点F.若DA＝DF，∠ABC＝α，∠DFC＝β，则下列结论中，正确的是 (　　) A. α＋4β＝540° B. α＋4β＝450° C. α＋2β＝360° D. α＋2β＝270° 【解析】 ∵∠DAE＋∠DAB＝180°，∠DCB＋∠DAB＝180°，∴∠DAE＝∠DCB. ∵AD平分∠EAC，∴∠DAE＝∠DAC＝∠DBC，∴∠DAC＝∠DBC＝∠DCB. ∵DA＝DF，∴∠BFC＝∠DFA＝∠DAC＝∠DBC＝∠DCB.∵∠DAC＝∠DBC，∠DFA＝∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴∠ADB＝∠BDC.∵∠ADB＝∠ACB，∠BDC＝∠BAC， ∴∠ACB＝∠BAC.∵∠ABC＝α，∠DFC＝β，∴∠BDC＝∠BAC＝(180°－∠ABC) ＝(180°－α)，∴∠DBC＝∠DCB＝(180°－∠BDC)＝90°－×(180°－α)＝ 45°＋α.∵∠DFC＝180°－∠BFC＝180°－∠DBC＝180°－＝135°－α，∴β＝135°－α，∴α＋4β＝540°. 【答案】 A 5.(2023秋·金华市永康市期末)如图，平行线l1，l2分别经过⊙O的直径AB的两个端点，C为⊙O上一点，过点C作l3∥l1交AB于点D.若l1，l2之间的距离为16，＝，BC＝20，则AB的长为 (　　) A. 4 B. 21 C. 5 D. 7 【解析】 如解图，过点C作CM⊥l1于点M，延长MC交l2于点N.∵l1∥l2，∴MN⊥l2，∴MN＝16.∵l3∥l1∥l2，∴＝＝，∴＝， ∴MC＝MN＝×16＝4，∴CN＝MN－MC＝12.在Rt△BCN中，BN＝＝＝16.∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.∵∠ACM＋∠CAM＝90°，∠ACM＋∠BCN＝90°，∴∠CAM＝∠BCN.∵∠CMA＝∠BNC，∴△ACM∽△CBN，∴＝，即＝，解得AC＝5.在Rt△ACB中，AB＝＝＝5. 【答案】 C 二、填空题 6.如图，线段AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，M是上任意一点(不与点B，C重合)，AH＝1，CH＝2.连结OC，延长线段BM交DC的延长线于点E，直线MH交⊙O于点N，连结BN交CE于点F，则HE·HF＝________. 【解析】 ∵CD⊥AB，∴∠CHO＝90°.设OC＝r，则OH＝r－1.在Rt△COH中，∵CH＝2，∴r2＝22＋(r－1)2，∴r＝2.5，即OC＝2.5.连结AM.∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∴∠MAB＋∠ABM＝90°.又∵∠E＋∠ABM＝ 90°，∴∠E＝∠MAB，∴∠MNB＝∠MAB＝∠E.又∵∠EHM＝∠NHF， ∴△EHM∽△NHF，∴＝，∴HE·HF＝HM·HN.又∵∠AMH＝ ∠NBH，∠AHM＝∠NHB，∴△AMH∽△NBH，∴＝，∴HM·HN＝AH·HB，∴HE·HF＝AH·HB＝AH·(2r－AH)＝1×(2.5×2－1)＝4. 【答案】 4 7.(2023秋·宁波市奉化区期末)如图，在⊙O中，AB＝AC，F为直径AD上一点，连结CF并延长交AB于点G，交⊙O于点E.若AG＝AF，BG＝4，GF＝6，则AB的长为________. 【解析】 设AG＝AF＝x，则AB＝AG＋BG＝x＋4.连结BF.∵AD是⊙O的直径，AB＝AC，∴＝，＝，∴＝，∴∠BAD＝∠CAD. 在△ABF与△ACF中，∵∴△ABF≌△ACF(SAS)， ∴∠AFB＝∠AFC.∵AG＝AF，∴∠AGF＝∠AFG，∴∠BGF＝∠AFC， ∴∠BGF＝∠AFB.∵∠ABF＝∠FBG，∴△ABF∽△FBG，∴＝＝，∴＝＝，解得x＝12(负值已舍去)，∴AB＝12＋4＝16. 【答案】 16 8.(2022秋·嘉兴市期末)如图，在⊙O中，将沿弦AC对折，交直径AB于点D，连结CD并延长与⊙O相交于点E.若D是OB的中点，则的值为________. 【解析】 如解图，连结BE，BC，过点C作CH⊥BD于点H.设AO＝BO＝4a，则AB＝8a.∵D是OB的中点，∴BD＝OD＝2a.∵∠BAC＝∠CAD，∴＝，∴BC＝CD.∵CH⊥BD，∴BH＝DH＝a.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BHC＝90°.∵∠ABC＝∠CBH，∴△CBH∽△ABC， ∴＝，∴BC2＝AB·BH＝8a·a＝8a2，∴BC＝2a，∴CD＝BC＝2a.∵∠ACE＝∠ABE，∠BAC＝∠BEC， ∴△ACD∽△EBD，∴＝，∴＝，∴DE＝3a，∴＝. 【答案】 9.(2023秋·金华市义乌市期末)如图，学校劳动社团的同学利用数学知识绘制了社团团徽的草图，设计过程如下：作等腰三角形ABC内接于⊙O，过点A作AD⊥BC交BC于点E，交⊙O于点D，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，连结DF，DG，测得DE＝2 cm，BC＝8 cm，则四边形AFDG的面积为________cm2. 【解析】 连结FG，CD.∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，∴AE平分∠BAC，BE＝CE＝4 cm.∵EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG.∵AE＝AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEG(HL)，∴AF＝AG.∵∠FAD＝∠GAD，AD＝AD，∴△AFD≌△AGD(SAS)，∴DF＝DG， ∴点A，D在FG的垂直平分线上，∴AD⊥FG.∵AD是直径，AD⊥BC，∴∠AEC＝ ∠DEC＝90°，∠DCE＝∠DAC，∴△AEC∽△CED，∴＝，即＝， ∴AE＝8 cm，∴AD＝AE＋DE＝10 cm，AC＝＝4 cm.∵∠AGE＝∠ACD＝90°，∴EG∥CD，∴＝＝＝.∵AE⊥BC，AE⊥FG，∴FG∥BC， ∴△AFG∽△ABC，∴＝＝，∴FG＝ cm，∴四边形AFDG的面积为FG·AD＝××10＝32(cm2). 【答案】 32 10.(2023秋·宁波市余姚市期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AB，DC相交于点E，DE＝DA. (1)求证：△BCE是等腰三角形. (2)若C是的中点，AB＝11，BC＝4，求AD的长. 三、解答题 【解析】 (1)∵DE＝DA，∴∠E＝∠A.∵∠A＋∠BCD＝180°， ∠BCE＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠BCE，∴∠E＝∠BCE，∴BE＝CB， ∴△BCE是等腰三角形. (2)∵C是的中点，∴DC＝BC＝4.∵BE＝CB，AB＝11， ∴AE＝15.设AD＝ED＝m，则CE＝m－4.由(1)得，∠A＝∠BCE，∠AED＝∠CEB，∴△BCE∽△DAE，∴＝， 即＝，解得m＝10(负值已舍去)，∴AD的长为10. 11.(2023秋·杭州市萧山区期末)如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，P是△ABC内的一个动点，且∠BPC＝135°. (1)试找出与∠ACP相等的角，并说明理由. (2)如图②，连结AP并延长，交△BPC的外接圆⊙O于点Q，交BC于点D，连结CQ. ①求证：△ACP∽△AQC；②求的最小值. (3)在如图②所示的条件下，已知BP＝PC，求证：CQ2＝(2＋)AC2. 【解析】 (1)∠ACP＝∠PBC. 理由如下： ∵∠BPC＝135°， ∴∠PBC＋∠PCB＝45°. ∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠ACB＝∠ACP＋∠BCP＝45°， ∴∠ACP＝∠PBC. (2)①∵＝，∴∠Q＝∠PBC.由(1)可得，∠ACP＝∠PBC， ∴∠Q＝∠ACP.又∵∠QAC＝∠CAP，∴△ACP∽△AQC. ②连结OB，CO.∵∠BPC＝135°，∴∠BOC＝90°.∵△ACP∽ △AQC，∴＝，∴ ＝，∴当CQ经过圆心O时，的值最小.连结AO，交BC于点M.∵AB＝AC，OB＝OC， ∴AO是BC的垂直平分线，∴AM＝BM＝OM，∴CO＝AC， ∴CQ＝2CO＝2AC，∴的最小值为. (3)∵BP＝PC，∴点P在AM上，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ACP. 过点P作PH⊥AC交于点H，∴PH＝PM. 设PM＝x，则PH＝x.∵∠PAH＝45°，∴AP＝x， ∴AM＝(1＋)x，AC＝(1＋)x，PC2＝(4＋2)x2. ∵＝，＝＝， ∴CQ2＝(2＋)AC2. $$