2024-2025学年浙教版数学九年级上册期末专项突破《第4讲 圆的综合问题》课件

让天下学子共享优质教育！ 第4讲 圆的综合问题 期末专项突破 浙教版 九年级上册 一、选择题 1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，连结AD，AG，GD，BC.下列结论中，错误的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. ∠ADC＝∠AGD B. 若∠ADC＝∠GAD，则＝2 C. 若＝，则△ADG是等腰三角形 D. 若＝，则△AGF是等腰三角形 【答案】 D 2.(2023秋·宁波市奉化区期末)如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为 (　　) A. B. 2 C. 2 D. 4 【解析】 连结OD.∵AB是⊙O的直径，弦CD ⊥AB，AB＝4，∴OD＝2，CE＝DE＝CD.∵∠ACD＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，∴△DOE为等腰直角三角形， ∴DE＝OD＝，∴CD＝2DE＝2. 【答案】 C 3.(2023秋·金华市永康市期末)如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AB∥OC，OA∥BC，则 ∠BDC的度数为 (　　) A. 20° B. 25° C. 30° D. 60° 【答案】 C 4.(2023秋·杭州市西湖区期末)已知线段AB的长为4，C为平面内一点.若∠ACB＝30°，则线段AC长的最大值是 (　　) A. 4 B. 4 C. 8 D. 2＋2 【解析】 如解图，以AB为边作等边三角形OAB，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O.∵△OAB为等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4，∠AOB＝60°.∵∠ACB＝30°，∴点C在优弧AB上.当AC为⊙O的直径时，AC的长最大，且最大值为8. 【答案】 C 5.(2022秋·温州市期末)如图，点P在⊙O的直径AB上，作正方形PCDE和正方形PFGH，其中点D，G在直径所在的直线上，点C，E，F，H都在⊙O上.若两个正方形的面积之和为16，OP＝，则DG的长是 (　　) A. 6 B. 2 C. 7 D. 4 【解析】 设正方形PCDE的边长为a，正方形PFGH的边长为b，a＞b＞0.∵两个正方形的面积之和为16，∴a2＋b2＝16.作OK⊥CF于点K，∴CK＝FK＝，∴KP＝FK－FP＝－b＝.易得∠CPD＝∠EPD＝45°，∴△OKP是等腰直角三角形，∴＝，即·＝，∴a－b＝2，∴(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝4.∵a2＋b2＝16， ∴2ab＝a2＋b2－4＝12，∴a＋b＝＝＝2， ∴DG＝DP＋PG＝(a＋b)＝×2＝2. 【答案】 B 二、填空题 6.(2023秋·杭州市萧山区期末)如图，BD是△ABC的外角∠ABE的平分线，△ABC的外接圆的圆心O为AB的中点，延长DB，AC交于点F.若∠BAC＝30°，BF＝6，则△ABC的周长为________.　　 【解析】 ∵BD是△ABC的外角∠ABE的平分线，∴∠EBD＝ ∠ABD.∵△ABC的外接圆的圆心O为AB的中点，∴AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCF＝90°.∵∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝60°，∴∠ABE＝120°，∴∠ABD＝∠DBE＝60°，∴∠CBF＝∠DBE＝60°，∴∠F＝∠A＝30°，∴AB＝BF＝6，∴BC＝AB＝3，AC＝AB＝3，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝6＋3＋3＝9＋3. 【答案】 9＋3 7.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB上，四边形ACFE是平行四边形，点E，F在⊙O上，且OC＝CF，则∠FOC的度数为________. 【解析】 如解图，连结OE.设∠FOC＝α，∠EAO＝β. ∵AO＝OE，∴∠AEO＝∠EAO＝β.∵四边形ACFE是平行四边形，∴CF∥AE，EF∥AC，∴∠FCB＝∠EAO＝β， ∠EFO＝∠FOC＝α.又∵OC＝CF，EO＝FO， ∴∠OEF＝∠EFO＝∠FOC＝∠CFO＝α， ∴解得即∠FOC＝36°. 【答案】 36° 8.(2022秋·宁波市镇海区期末)如图，在5×4的网格中，每个小正方形的边长均为1.设经过格点A，B，E的圆弧与线段BC相交于点D，则的长为________. 【解析】 连结AC，AD.∵AC＝AB＝＝， BC＝＝，∴AC2＋AB2＝BC2，∴∠CAB＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，∴所对的圆心角度数为90°. ∵∠AEB＝90°，∴AB是圆的直径，∴l＝·＝π. 【答案】 π 9.如图，AB是半圆O的直径，以弦BC(非直径)为对称轴，将折叠，D是折叠后的与AB的交点.若AB＝8，OD＝BD，则BC＝________. 【解析】 如解图，连结AC，CD，CO，作点D关于直线 BC的对称点T，易知点T在半圆O上，连结CT，BT，AT，AT交OC于点J.∵AB是半圆O的直径，AB＝8，∴∠ATB＝∠ACB＝90°，OA＝OB＝OC＝AB＝4.由对称的性质可知，BD＝BT，∠CBT＝∠CBD，∴BT＝BD＝OD＝OB ＝2，＝，∴AT＝＝＝2，OC⊥AT，∴AJ＝JT＝AT＝.又∵AO＝OB，∴OJ是△ABT的中位线，∴OJ＝BT＝1，∴CJ＝OC－OJ＝3，∴AC＝＝＝2，∴BC＝＝＝2. 【答案】 2 10.(2023秋·嘉兴市平湖市期末)如图，已知M(a，b)(b＜0)为抛物线y＝x2－2x－3上的动点，N是以点M为圆心、1为半径的圆上的动点，点A(1，0)，则线段AN长的最小值为________. 【解析】 如解图，连结AM，MN.∵点M(a，b)在抛物 线y＝x2－2x－3上，∴b＝a2－2a－3，∴b＋3＝a2－2a. ∵ 在△AMN中，AN＋MN≥AM，点A(1，0)，∴AM2＝(a－1)2＋b2，∴AM2＝a2－2a＋1＋b2＝b2＋b＋4＝＋.∵b＜0，∴AM2的最小值为，∴AM≥， ∴当点N在线段AM上，且AM＝时，AN的长最小. ∵N是以点M为圆心、1为半径的圆上的动点， ∴MN＝1，∴AN长的最小值为AM－MN＝－1. 【答案】 －1 11.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连结AD，BC. 求证： (1)＝. (2)AE＝CE. 三、解答题 【解析】 (1)∵AB＝CD，∴＝，即＋＝＋，∴＝. (2)∵＝，∴AD＝BC. 又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝ ∠BCE，∴△ADE≌△CBE(ASA)，∴AE＝CE. 12.(2023秋·杭州市萧山区期末)如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，AB是直径，AD＝4. (1)设⊙O的半径为r，用含r的代数式表示线段BD的长. (2)若BC＝CD＝，求⊙O的半径. 【解析】 (1)连结BD.∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝.∵AD＝4，AB＝2r， ∴BD＝＝2. (2)连结BD，OC相交于点E.∵BC＝CD，∴OC⊥BD，DE＝BE.∵OA＝OB，∴OE是△ABD的中位线，∴OE＝AD＝2. 设⊙O的半径为r，由(1)知，BD＝2，∴BE＝. 在Rt△CBE中，BC2＝CE2＋BE2，BC＝，∴()2＝(r－2)2＋()2，∴r＝5或－3(不合题意，舍去)，∴⊙O的半径为5. $$