精品解析：江苏省苏州市振华、景范、叶圣陶2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷

2024~2025学年第一学期振华、景范、叶圣陶初一期末数学试卷 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分100分，调研时间120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式变形中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 为贯彻落实党中央国务院关于促消费和惠民生有关要求，进一步提振消费，江苏省有关部门发布了相关数码产品补贴专项活动．从年月日至月日，凡购买手机、平板电脑、智能手表等数码产品，可享受补贴，即优惠．若标价为元的某品牌手机参与本次补贴专项活动，则顾客购买一部此品牌手机实际支付的费用为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 5. 如图，，，则的度数为(　　) A. B. C. D. 6. 如图，O是直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处（点M，N分别在异侧），射线平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问凡何日相逢？“其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安．若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲经过x天后与乙相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 方胜纹是以几个菱形压角相叠而构成几何图形（注：四条边都相等的四边形是菱形），是中国传统吉祥装饰纹样中一种独具特色的几何纹样．苏州拙政园远香堂方形窗棂上就装饰有这种纹样．如图，第一个图案中有3个菱形，第二个图案中有7个菱形，第三个图案中有11个菱形，…，按照这样的方法排列下去，若第n个图案中有43个菱形，则n的值是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．） 9. 苏州地铁7号线于2024年12月1日正式开通运营，全长40500米，途径相城区、工业园区、吴中区，是古城东侧重要的客流通道．数据40500用科学记数法可表示为__________． 10. 已知∠α＝75°，则∠α的补角的度数为_____． 11. 如图，若，则__________． 12. 如图，点C，D是线段上两点，且．若，则__________． 13. 若，则代数式的值为__________． 14. 一个正方体的表面展开图如图所示，将其折叠成正方体后，相对两个面上的数字之和均为5，则__________． 15. 如图，将长方形纸片沿折叠，点D落在点的位置．与交于点F．若，则__________． 16. 小明通过画直线分割正方形，正方形内画1条直线，该直线将正方形分成2个区域（图①）；在正方形内画2条直线，最少可以分成3个区域（图②），最多可以分成4个区域且2条直线在正方形内（不含边界）有1个交点（图③）；在正方形内画3条直线，最多可以分成7个区域且3条直线在正方形内（不含边界）有3个交点（图④） 小明又进行了多次试验，其中1次他在正方形内画a条直线，将正方形分成b个区域且a条直线在正方形内（不含边界）有c个交点，则a，b，c之间的数量关系为__________． 三、解答题（本大题共11小题，共68分．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解方程：． 20 如图，． （1）填空： 因为， 所以（____________________） 因为， 所以__________．（等量代换）． 所以（____________________） （2）若，求的度数． 21. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长为1，点A，B，C均为格点（方格纸中小正方形的顶点） （1）按下列要求画图： ①标出格点D，使，并画出直线； ②标出格点E，使，并画出直线． （2）计算面积． 22. 已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 23. 如图，直线交于点O，，垂足为O，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 24. 已知线段，B是射线上一点，C是线段的中点．若，求线段的长． 25. 某市对居民生活用水实行阶梯水价，每年收费标准如下表： 阶梯 家庭每年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 不超过x立方米的部分 a 第二阶梯 超过x立方米但不超过300立方米的部分 4.4 第三阶梯 超过300立方米的部分 7.1 已知小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元；小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元． （1）填空：__________，__________； （2）2024年小慧家共交水费1246元，求小慧家2024年的用水量． 26. 【数学魔术】（1）魔术师请观众在心中想好一个数，然后将这个数按以下步骤计算，最后将计算结果告诉魔术师，魔术师能立刻说出观众想的那个数． 如果小明想的数是，那么他告诉魔术师的数是__________； 如果小明告诉魔术师的数是a，那么他想的数是__________． 【魔术创新】（2）小明对数学魔术很感兴趣，他对小丽说：“请你任意想一个两位数，把这个两位数的十位数字先乘2，再加3，然后把所得的和乘5，最后加上个位数字，所得的结果告诉我，我就能准确说出你想的那个数．“请用代数式的有关知识解释此魔术的奥秘 27. 【原理探究】如图①，根据光的反射原理，反射角等于入射角，即反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（法线为经过入射点A且与平面镜l垂直的直线），由此可得，理由为__________． 【实际应用】 请用【原理探究】获得的结论解决以下问题： 如图②，平面镜相对放置，光线经过两次反射，为反射光线． （1）若平面镜互相平行，那么入射光线与反射光线平行吗？为什么？ （2）若，调整平面镜的位置，使得，请在备用图中画出相应的平面镜和反射光线，并求此时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期振华、景范、叶圣陶初一期末数学试卷 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分100分，调研时间120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：的倒数为， 故选：D． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的计算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，不是同类项，不能合并，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意， 故选：D． 3. 下列等式变形中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．若，等式两边同时减去4，则，即，故选项A正确，不符合题意； B．若，等式两边同时乘以，的，故选项B正确，不符合题意； C．若，等式两边同时除以，则，故选项C错误，符合题意； D．若，等式两边同时除以2，得，故选项D正确，不符合题意． 故选：C 4. 为贯彻落实党中央国务院关于促消费和惠民生有关要求，进一步提振消费，江苏省有关部门发布了相关数码产品补贴专项活动．从年月日至月日，凡购买手机、平板电脑、智能手表等数码产品，可享受的补贴，即优惠．若标价为元的某品牌手机参与本次补贴专项活动，则顾客购买一部此品牌手机实际支付的费用为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，标价为元的某品牌手机享受的补贴，所以实际支付的费用为原价的，所以实际支付费用为元． 【详解】解：标价为元的某品牌手机实际支付的费用为元． 故选：B． 5. 如图，，，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角性质和平行线性质（两直线平行，同旁内角互补）可得． 【详解】如图，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线性质．理解平行线性质：两直线平行，同旁内角互补是本题的关键． 6. 如图，O是直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处（点M，N分别在异侧），射线平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线定义，余角和补角，熟知如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角是解题的关键．设，则，，，，最后根据，列方程即可得到结论． 【详解】解：设，则，，，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 故选：D． 7. 《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问凡何日相逢？“其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安．若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲经过x天后与乙相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程和实际应用，设甲经过x天后与乙相遇，根据题意列出方程即可，解题关键是读懂题意，根据数量关系列出方程． 【详解】解：设甲经过x天后与乙相遇， 根据题意得：， 故选D． 8. 方胜纹是以几个菱形压角相叠而构成的几何图形（注：四条边都相等的四边形是菱形），是中国传统吉祥装饰纹样中一种独具特色的几何纹样．苏州拙政园远香堂方形窗棂上就装饰有这种纹样．如图，第一个图案中有3个菱形，第二个图案中有7个菱形，第三个图案中有11个菱形，…，按照这样的方法排列下去，若第n个图案中有43个菱形，则n的值是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律．根据所给图形，依次求出图形中菱形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中菱形的个数为：； 第2个图案中菱形的个数为：； 第3个图案中菱形的个数为：； …， 所以第n个图案中菱形的个数为个． 令， 解得， 即第11个图案中菱形的个数为43个． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．） 9. 苏州地铁7号线于2024年12月1日正式开通运营，全长40500米，途径相城区、工业园区、吴中区，是古城东侧重要的客流通道．数据40500用科学记数法可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据40500用科学记数法可表示为， 故答案为：． 10. 已知∠α＝75°，则∠α的补角的度数为_____． 【答案】105° 【解析】 【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解． 【详解】解：∵∠α＝75°， ∴∠α的补角＝180°﹣75°＝105°． 故答案为：105°． 【点睛】本题考查了补角，是基础题，熟记互为补角的两个角的和等于180°是解题的关键． 11. 如图，若，则__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，点C，D是线段上两点，且．若，则__________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查两点间的距离，理解线段之间的比例关系是正确解答的关键．根据线段的比例关系求出AC的长即可． 【详解】解：∵．若， ， 故答案为：14． 13. 若，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值．根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14. 一个正方体表面展开图如图所示，将其折叠成正方体后，相对两个面上的数字之和均为5，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查正方形相对两个面上的文字．根据正方体表面展开图的特征判断出对面，再根据相对两个面上的数字之和均为5，求出x、y、z，代入计算即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “2”与“z”，“”与“y”，“4”与“x”是对面． ∵相对两个面上的数字之和均为5， ∴，，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，将长方形纸片沿折叠，点D落在点的位置．与交于点F．若，则__________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，折叠问题，由长方形的性质得到，由折叠的性质得到，求出，由对顶角的性质得到，由平行线的性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， 由折叠的性质得到：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 小明通过画直线分割正方形，在正方形内画1条直线，该直线将正方形分成2个区域（图①）；在正方形内画2条直线，最少可以分成3个区域（图②），最多可以分成4个区域且2条直线在正方形内（不含边界）有1个交点（图③）；在正方形内画3条直线，最多可以分成7个区域且3条直线在正方形内（不含边界）有3个交点（图④） 小明又进行了多次试验，其中1次他在正方形内画a条直线，将正方形分成b个区域且a条直线在正方形内（不含边界）有c个交点，则a，b，c之间的数量关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现并总结出一般规律是解题关键． 由图形总结出画条直线，条直线，条直线，，条直线时最多的区域数和交点数，据此即可得出结论． 【详解】解：由图可知： 当画条直线时：直线数1，最多区域数为，交点数为， 当画条直线时：直线数为2，最多区域数为，交点数为， 当画条直线时：直线数为3，最多区域数为，交点数为， ， 当画条直线时：直线数为a，最多区域数为，交点数为， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共68分．） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，化简绝对值等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先计算乘方并化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简、代数式的求值．首先根据去括号的法则去括号，再根据合并同类项的法则合并同类项，然后再把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． 【详解】解： ， 当其中，时， 原式． 19. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【点睛】本题考查了解一元一次方程．根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项， 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 20. 如图，． （1）填空： 因为， 所以（____________________） 因为， 所以__________．（等量代换）． 所以（____________________） （2）若，求的度数． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：（1）因为， 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为， 所以（等量代换）． 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长为1，点A，B，C均为格点（方格纸中小正方形的顶点） （1）按下列要求画图： ①标出格点D，使，并画出直线； ②标出格点E，使，并画出直线． （2）计算的面积． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线、垂线的做法、三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）①直接利用网格得出的平行线即可；②直接利用网格结合垂线的作法即可解答； （2）割补法以及三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：①如图：直线即为所求； ②如图：直线即所求． 【小问2详解】 解：的面积为：． 22. 已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同解方程，一元一次方程的求解，正确计算是解题的关键．先求出方程的解，再代入，求出a的值即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 将代入， 得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 23. 如图，直线交于点O，，垂足为O，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义、角平分线的定义． （1）根据邻补角的定义求得，然后根据垂直的定义即可求解； （2）根据角平分线的定义以及对顶角的性质求得，然后根据求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线交于点O，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 24. 已知线段，B是射线上一点，C是线段的中点．若，求线段的长． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键．分两种情况进行解答，即点B在点D的左侧或右侧，分别画出图形，由线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：当点B在点D的左侧时，如图1 是线段的中点．若， ， ； 当点B在点D的右侧时，如图2， 是线段的中点．若， ， ； 综上所述或． 25. 某市对居民生活用水实行阶梯水价，每年收费标准如下表： 阶梯 家庭每年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 不超过x立方米的部分 a 第二阶梯 超过x立方米但不超过300立方米的部分 4.4 第三阶梯 超过300立方米的部分 7.1 已知小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元；小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元． （1）填空：__________，__________； （2）2024年小慧家共交水费1246元，求小慧家2024年的用水量． 【答案】（1），216 （2）小慧家2024年的用水量为320立方米． 【解析】 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示用水190立方米应付的水费并且求出a的值是解题的关键． （1）由用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元，得，求得；而用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元，据此列方程，求得，于是得到问题的答案； （2）设小慧家2024年的用水量为y立方米，由算式求得用水300立方米时的水费为1104元，可知小慧家2024年的用水量超过300立方米，则列方程，解方程求出y的值即可． 【小问1详解】 解：∵小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元， ∴， 解得， ∴第一阶梯的水价为元/立方米， ∵小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元， ∴， 解得， 故答案为：，216； 【小问2详解】 解：设小慧家2024年的用水量为y立方米， ∵（元）， ∴用水300立方米时，水费为1104元， ∵2024年小慧家共交水费1246元，且1246元>1104元， ∴小慧家2024年的用水量超过300立方米， 根据题意得， 解得， 答：小慧家2024年的用水量为320立方米． 26. 【数学魔术】（1）魔术师请观众在心中想好一个数，然后将这个数按以下步骤计算，最后将计算结果告诉魔术师，魔术师能立刻说出观众想的那个数． 如果小明想的数是，那么他告诉魔术师的数是__________； 如果小明告诉魔术师的数是a，那么他想的数是__________． 【魔术创新】（2）小明对数学魔术很感兴趣，他对小丽说：“请你任意想一个两位数，把这个两位数的十位数字先乘2，再加3，然后把所得的和乘5，最后加上个位数字，所得的结果告诉我，我就能准确说出你想的那个数．“请用代数式的有关知识解释此魔术的奥秘 【答案】（1）；；（2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式，整式加减的应用，并对整式的相应的运算法则的掌握． （1）根据程序框图列出算式计算即可； （2）设这个两位数为，由题意知结果为，化简即可得出答案． 【详解】解：（1）如果小明想的数是， 那么他告诉魔术师的数是 ； 如果小明告诉魔术师的数是a， 那么他想的数是 ； 故答案为：、； （2）设这个两位数为， 由题意知，， 即将所得结果减去15即为原数． 27. 【原理探究】如图①，根据光的反射原理，反射角等于入射角，即反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（法线为经过入射点A且与平面镜l垂直的直线），由此可得，理由为__________． 【实际应用】 请用【原理探究】获得的结论解决以下问题： 如图②，平面镜相对放置，光线经过两次反射，为反射光线． （1）若平面镜互相平行，那么入射光线与反射光线平行吗？为什么？ （2）若，调整平面镜的位置，使得，请在备用图中画出相应的平面镜和反射光线，并求此时的度数． 【答案】原理探究：等角的余角相等；实际应用：（1）入射光线与反射光线平行，理由见解答；（2）平面镜和反射光线见解答；或或或 【解析】 【分析】本题考查了作图的应用和设计，平行线的性质，掌握平面镜原理和平行线的性质是解题的关键． 原理探究：根据互余的性质求解； 实际应用：（1）根据平面镜原理和平行线的判定定理求解；（2）根据平面镜原理和平行线的性质定理求解． 【详解】解：原理探究：∵反射角等于入射角，， （等角的余角相等）， 故答案为：等角的余角相等； 实际应用：（1）入射光线与反射光线平行， 理由：由平面镜原理得：， ， ， ， ， ； （2）平面镜和反射光线如下图③和图④所示： 当反射光线向右时：延长到F， ， 由平面镜原理得：， ， ， ， 当M和N互换位置时，； 当反射光线向左时：如下图④所示： ， ， 由平面镜原理得：，平分，， ， ， 当M和N互换位置时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $