福建省三明市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

三明市2024一2025学年第一学期普通高中期末质量检测 高二数学参考答案及评分细则 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一 半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.C2.C3.D4.A5.A6.B7.B8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，有选错的得0分， 部分选对的得部分分。 9.BD 10.ACD 11.ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。 13 12.√2 13.-2 14. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：(1)设等差数列{a.}的公差为d 由题意得，a=a,2,…1分 即(1+d)2=1+3d,，即d2-d=0, 解得d=0或d=1, ……2分 因为d≠0， 所以d=1, …3分 所以a。=n.…… …5分 (2)因为Sn=21-2, 当n=1时，b=S,=2, …6分 当22时，bn=Sn-S=2”，… …8分 高二数学参考答案第1页（共10页） 又因为b=2符合上式， 所以b,=2"(n∈N^) …以9分 1 111 令Cn= an·log2bn ,即e,n:lg,27=n+)nn+1' 故Tn=G+C2+.+Cn …13分 n+1n+1 16.解：(1)由题知，设点M(x,y), 则 2+少 1 MAx-3列+y2 …2分 所以品中 1 即4x2+4y2=(x-3)2+y2, 整理得x2+y2+2x-3=0,… …4分 所以曲线C的标准方程为(x+1)+y2=4.…………5分 (2)若直线1的斜率不存在，则直线的方程为：x=-2,…6分 与C的交点坐标为(-2，-√5)，(-2，√5)，此时弦长等于25，符合题意.…7分 若直线1的斜率存在，设直线1的方程为：y-2=k(x+2),…8分 设曲线C的圆心到直线1的距离为d, 由(1)知曲线C的圆心为(-1,0) 所以d=-+2k+2_k+2 4…4…4…9分 V1+k2 V1+k2 因为曲线C截1所得弦长等于2W3,所以2√5=24-d2，解得d=1.…10分 高二数学参考答案第2页（共10页） 所以 k+2=1, V1+k2 …11分 解得：一子 …13分 所以直线1的方程为：3x+4y-2=0.… …14分 综上，直线1的方程为：x=-2或3x+4y-2=0.…15分 17.解法一：(1)在三棱柱ABC-AB,C中，连接AC, 由△ABC为等边三角形，D为AC中点，所以BD⊥AC, 由C在平面ABC内的射影为D,得CD⊥平面ABC,…2分 因为BDC平面ABC,所以BD⊥CD, 又因为AC∩CD=D,AC,CDc平面AACC, 所以BD⊥平面AACC,……………4分 而ACc平面AACC,则AC⊥BD, 显然四边形AACC为菱形，有AC⊥AC, 由D,E分别为AC,CC中点，得DE /AC,,所以AC⊥DE, 又因为BD∩DE=D,BD,DEC平面BDE, 所以AC⊥平面BDE 6分 (2)由(1)知，直线DB,DA,DC两两垂直， 以D为坐标原点，直线DB,DA,DC分别为x,少，z轴，建立空间直角坐标系…7分 C 高二数学参考答案第3页（共10页） 则D0a0.aw5.00.c0-1l0.c@a.i0-9.851 即DB=(5.0,0,D呢=0-，4C=0-3…8分 设在棱B,C存在点F,使得平面BDF与平面BDE夹角的余弦值为5B 26 设CF=ACB(0≤元≤1)即CF=CB=ACB=(5,元，0) 则DF=DC+CF=(3,,V5) …9分 mDB=√3x=0 设平面BDE的一个法向量为m=(x,片，)，则 E+ 30 令名，=1，得m=(0,√3,1)， …10分 设平面BDF的法向量n=(x,片2，)， i.DB=5x,=0 则 n-DF=5x2+y2+522=0' 令2=1，得n=(0,-5,), …12分 设平面BDF与平面BDE夹角为O 则cos0=cosm,n m.n 2-3513 …13分 mln2W3+积 26 化简得212+131-7=0 解得久-)或久=-7（舍）……4分 故当点F为棱BC的中点时，平面FBD与平面BDE夹角的余弦值为5V丽 .…15分 26 解法二：(1)在三棱柱ABC-AB,C中，连接AC,由△ABC为等边三角形，D为AC中点， 得BD⊥AC, 由C在平面ABC内的射影为D,得CD⊥平面ABC,而BDC平面ABC,则BD⊥C,D, 即直线DB,DA,DC两两垂直，…1分 以D为坐标原点，直线DB,DA,DC分别为x,,z轴，建立空间直角坐标系…2分 高二数学参考答案第4页（共10页) 则2aa0,m500,c0-l0.caaw.B0-月.85 即丽-ta0,正=0-号9.c=0-35 …3分 m-DB=√3.x=0 设平面BDE的一个法向量为m=(:,乃，)，则 -DE 290 令名=1，得m=(0,√5，)，…5分 可得AC=-√3m,所以AC∥m 即AC⊥平面BDE……6分 (还可以通过证明：AC⊥BD,AC⊥BE得出) ②由0知5=5a0.匠=0号9.C-0-35) 设在棱BC,存在点F,使得平面BDF与平面BDE夹角的余弦值为5 26 设CF=1CB(0s1s1)即CF=CB=ACB=(W5,0) 则DF=DC+CF=(W3元，乙，3)9分 m.DB=V3x =0 设平面BDE的一个法向量为m=(:,以，)，则 呢 230 令名1=1，得m=(0,√3,0，…10分 [万DB=5x,=0 设平面BDF的法向量n=(x,y,), i-DF=V3x2+y,+5,=0 高二数学参考答案第5页（共10页） 令32=，得n=(0,-√3，)， 12分 设平面BDF与平面BDE夹角为O 则cos0=cos(m,n) m-n |久-3到53 4…13分 |mn2y3+2 26 化简得2元2+131-7=0 解得儿=二或者=-7（舍》………14分 2 故当点F为棱B,C的中点时，平面FBD与平面BDE夹角的余弦值为5 …15分 26 18.解法一：(1)依题意设双曲线C的标准方程为。-京= -1(a>b>0), 因为双曲线C与椭圆C,:父+上=1有相同的焦点F、5, 95 即F（-2,0）八、万(2,0），…1分 所以a2+b2=4, 又因为椭圆C2的长半轴长为3，且为双曲线C,实半轴长的3倍， 所以3a=3,a=1.. 2分 得b2=3… 3分 故双曲线C的标准方程为x2-: 3 ………4分 (2)不妨设P是两曲线在第一象限的交点， =4 设PF=s,PF=1,由椭圆和双曲线的定义可得 。-12解 8+1=6 t=2' …6分 在aFPF中，由余弦定理得cos∠FPF,= 2+2-(2c)216+4-161 2st 2×2×44 高二数学参考答案第6页（共10页） 所以sim∠FPg= …7分 4 故5%=x4×2x下=店， ……8分 2 4 (3)依题意可知，直线的斜率不为0，设直线AB方程为x=my-2,A(x,y)B(x2,片)， x=my-2, 联立 x-上-l消去x得(3m-y-12my+9=0,依想意知3m2-1≠0且△>0，…9分 =1, 3 12m 9 由韦达定理得+%3m一53m-不0 …10分 于是|4B=+m以-=V+m2y+为)了-4，= (m2+1)6(m2+1) 3m2- 3m2-1 …12分 因为小FB三点共线，所以FAFB=EAFB, 又因为FA.FB=(x+2,)x+2,y)(m,(my,月=(m+1)F 9(m2+1 ,14分 3m2-1 即F45=_9m+D …15分 3m2-1 AB 2 所以 FA FB 3' 16分 AB 综上， 2 FAFB 为定值，且定值为 3 4…17分 解法二：（们）同解法一……… ……4分 (2)同解法 ……8分 (3)依题意可知，当直线斜率不存在时，直线AB方程为x=-2,此时A(-2,3),B(-2,-3), AB6 2 则AB=6,FAFB昨9，FA58g3 …10分 当直线的斜率存在时，设直线AB方程为y=k(x+2),A(:,y)B(:2) y=k(x+2), 联立 消去y得(3-2)x2-4k2x-4k2-3=0,…12分 依题意知3-k2≠0且△>0， 高二数学参考答案第7页（共10页） 42 -4k2-3 由韦达定理得x+名3-京<0,534状 <0…13分 于是|AB=V+Fx-x=+Vx+)-4xx2= 6+2）6+k2)】 3-k2k2-3 ……14分 因为A、F、B三点共线，所以FAFB=-FAFB, 又因为FAFB=(x+2y)(x+2,)=(3+2,+2k)(+2,+2k), =伏2+55+2+5片4到=9+” 3-k2 即44智， …15分 AB 2 所以FAFA3 16分 AB 综上，FF 为定值，且定值为 …17分 解法三：(1)同解法一…4分 (2)同解法 …8分 (3)依题意可知，当直线斜率不存在时，直线AB方程为x=-2,此时A(-2,3),B(-2,-3), AB 6 2 则AB=6,FAFB9,F45Ag3 …10分 当直线的斜率存在时，设直线AB方程为y=k(x+2),A(x,片)B(:2,2), y=k(x+2), 联立 r--h 消去y得(3-2）x2-4k2x-4k2-3=0,…12分 3 依题意知3-k2≠0且△>0， 。4k2 -42-3 由韦达定理得+站3R<034状 <0 …13分 +男=+2)+5+2)=126 3-Fw,=+2)6,+2)3e< 高二数学参考答案第8页（共10页） 于是A=+产k-=+G+-4= 61+2)61+k2) 3-kk2-3 …14分 (k2+) 同理可得F到= 64利4 …15分 AB 2 所以 FAFB3' 16分 综上， 5日为定值，且定值为 AB ……17分 19.解：(1)设等差数列A的公差为d,d<0, 由①得S205=0,即2025a, 2025×2024d=0. 2 所以a1+1012d=0,所以ao3=0,… …1分 则ao2=-da1=-1012d,…2分 又d<0,aon=0,且Tms=2' 所以a,+a2+…+ao12=1, 所以1012(-d-1012d-1, 2 2 解得d= 1012x1013' …4分 由ao1s=0, 得a2s=0+1012d=- 2 1013 …5分 (2)设数列A的公比为9， 当9=1时，由①知S2k=2ka,=0,则4=0，不符合题意，所以9≠1…6分 高二数学参考答案第9页（共10页） 由①得S= (1-2) 1-g 20 因为a1≠0，q≠1，所以9=-1，… ……8分 由②可知74=2k4=2,则a=或a= 1 …9分 k 故数列A的通项公式为a=≤a≤2光eN)或a自≤a≤eN】 …11分 (3)证明：由数列A为n阶“0-2数列”可知， 所有非正项的和为-1，所有正项的和为1，所以-1≤bm≤1……13分 若3m∈{1,2,3，…，n},使得b=-1, 由上可知a1≤0，a2≤0，，an≤0，am420,ame20,,a.≥0， 且am1+at2十…+an=l. 假设数列B:h,b,,bn(n≥2)为n阶“0-2数列”，则h+b,+…+bn=0, 设数列B:b,b,…,bn(n≥2)的前1项和为B,则-1≤B,≤1， 所以Bn=b+b2+…+bn2-1, 又bn=-1,所以b+b2+…+bm20.则a,=a2=…=am=0,am=-1. 所以么=九2=…=bm-1=0,……………15分 又am+1+am+2++an=l,所以bnH≤0，bn+2≤0，…，bn≤0， T=h+lb+…+b=-(6+b2+…+b)=0, 与性质②不能同时成立， 故数列B:h,b,…,b(n之2)不可能为n阶“0-2数列”……17分 高二数学参考答案第10页（共10页）三明市2024一2025学年第一学期普通高中期末质量检测 高二数学试题 (满分：150分考试时间：120分钟) 本试卷共5页. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将 答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， L设函数因=-，则g A.0 C.3 D.以上均不正确 2 2.过点(2,0)和点(0,2)的直线的倾斜角为 A.45 B.60 C.135 D.150 3.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，E,F分别为棱AB,A,C,的中点.设BA=a, BB=b,BC=c,则EF= 8.2+6女 1 B.'a1 2a b+c 2 1.1 1 C.a+2b+20 2 D.b+2c 4.已知等差数列{a.}的前n项和为Sn,a2+ag=10,S,=28,则公差d为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 5.“m=0”是“直线l1:mx+y+2=0与直线2x+m2y+1=0垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 高二数学试题第1页（共5页） 6.三明永安市贡川镇的会清桥是一座集通行、宗教祭祀等功能为一体的廊桥.该桥 始修于明成化乙已年(1485年)，南北坐向，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最 大一桥孔（如图所示），当孔顶到水面距离为8m时，跨度达到了13m.若水面从图中 示意位置上升4m,则水面宽变为 8m A.13v2m B.13V2 2 m % D.V13 m 7.已知点0是坐标原点，点M是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点，当动点P在 直线x-y+4=0上运动时，JPM+|PO的最小值为 A.5 B.6 C.7 D.8 8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯，在其著作《圆锥曲线论》中提出了圆锥曲线的光 学性质光线从椭圆的一个焦点发出，经过椭圆反射，反射光线经过另一个焦点. 已知点RR,是椭圆c:若+卡=1a>b>0)的左，右焦点，从点F,发出的光线 经过椭圆上一点M反射，反射光线交椭圆于另一点N.若点F,、N关于∠F,MF,的 角平分线对称，且cos/F,MF,=),则椭圆C的离心率为 A.V105 C.v10 15 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有 选错的得0分， 9.设xy∈R,向量a=(x,2,2),b=(2y,2),c=(3,-6,3),且a⊥c,b11c,则 A.x=-2 B.y=-4 C.cos(a,b)=号 D.a+b=6 10.已知0为坐标原点，抛物线Cy2=2px(p>0)上一点P(2,yo)到其准线的距离为 3,过C的焦点F的直线交C于A,B两点，则 A.抛物线C的方程为y2=4x B.AF|+2BF|的最小值为3-2V2 C.△AOB为钝角三角形 D.过点M(2,-2V2)且与抛物线相切的直线为x+V2y+2=0 高二数学试题第2页（共5页) 1山.直四棱柱ABCD-AB,CD,的所有棱长都为4，∠BAD=于点P在四边形 BDD,B,及其内部运动，且满足|PA+|PC=8,则 D A.存在点P使得C,PI∥平面AB,D B.直线AP与平面BDD,B,所成的角为定值 C.点P到平面AB,D,的距离的最小值为2VT D.直线AA,与C,P所成角的范围为 63] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知双曲线「：x2-y2=1,则点(2,0)到其渐近线的距离为 13.若曲线Cf(x)=alnx+x+b在点(1，f(1)处的切线方程是2x-y-2=0,则 a+b=. 14.已知数列a满足a,=2.a=3A+2≥2neN).令6=计数列 的前n项和为T.,若对任意n∈N,(T。-2)(-1)”+入≥1恒成立，则实数入的 取值范围为一· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知公差不为0的等差数列{an},a1=1,且a1,a2,a4成等比数列， (1)求数列{a}的通项公式； (2)记数列{b}的前n项和为S.,若S。=2+1-2,求数列 的前n an·log2bn+1 项和T 高二数学试题第3页（共5页） 16.(15分) 已知0为坐标原点，动点M到两个定点0(0.0)，A(3.0)的距离的比为2记动点 M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程： (2)若直线1过点B(-2,2),曲线C截l所得弦长等于2V√3，求直线l的方程. 17.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，底面是边长为2的等边三角形，CC,=2,D,E 分别是线段AC,CC,的中点，C,在平面ABC内的射影为D. (1)求证：A,C⊥平面BDE; (2)在棱B,C,上是否存在点F,使得平面BDF与平面BDE夹角的余弦值为 区，若存在，指出点下的位置：若不存在，请说明理由. 26 高二数学试题第4页（共5页） 18.(17分) 已知中心在原点的双曲线C,与椭圆C,:。+芳=1有相同的焦点F,F,且C,的 长半轴长是C,的实半轴长的3倍. (1)求双曲线C,的方程； (2)若P为两条曲线的交点，求△F,PF,的面积； (3)若过点F,的直线交双曲线C,的左支于AB两点，证明： AB F,AF,B为定值. 19.(17分) 设有穷数列Aa1,a2,…,an(n≥2)的所有项之和为S.,所有项的绝对值之和为 T,若数列A满足下列两个条件，则称其为n阶“0-2数列”：①S.=0;②T.=2 (1)若2025阶“0-2数列”A:a1,a2,…,a2025是递减的等差数列，求a202s; (2)若2k(k∈N)阶“0-2数列”A:a1,a2,…,a2x(k≥1)是等比数列，求A的通项 公式a(1≤n≤2k,用n,k表示)； (3)设n阶“0-2数列”A:a1,a2,…,an(n≥2)的前m项和为bn(m∈{1,2,3，…，n), 若3me{1,2,3,…n,使得bm=-1,证明：数列B:b1,b2,…,bn(n≥2)不可能为n阶“0-2 数列” 高二数学试题第5页（共5页）