山西省晋中市2024-2025学年高一上学期1月期末调研测试数学试卷

绝密★启用前 晋中市2025年1月高一年级期末调研测试试卷 数学 品 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置： 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 震 在本试卷上无效 州 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 圳 1.c0s1230°= 分 停 B、3 c 2.若集合A={x∈NI0≤x<5},B={xI(x-4)(x-1)=0},则C,B= A.{2,3} B.11,2,3} C.{0,2,3 D.{2,3,5引 3.已知函数f(x)=x+ x-xe(1,+∞)，则f(x)的最小值为 拟 A.5 B.4 C.3 D.22 4.在2h内将某种药物匀速注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增 加，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间： (单位：h)变化趋势的图象是 Q 数学试题第1页（共4页） 5.以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段 圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图.已知某勒洛三 角形的三段圆弧的总长度为2π，则该勒洛三角形的面积为 A.4m-43 B.4m-25 C.2m-√3 D.2r-23 6已知sin(a+B)=号，in(a-B)=名 "tan B A号 B.4 c号 D.3 7.已知a=log43,b=log23,则下列判断错误的是 A.b>a B.ab>2 c<62 D.a+b>2 8.已知函数(x)=e1+el+asin受有唯一零点，则a= A.1 3 b C.2 D.e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知a>b>c>0,则下列说法正确的是 日<号 B8+>号 c88=月>0 D.a+c>2b 10.已知函数f(x)=loga,(mx2-2x-3),meR,则下列说法正确的是 A.若m>0,则f(x)的图象为轴对称图形 B.若f(x)在区间[1，+∞)上单调递减，则m的取值范围是[1，+∞) C.若f(x)的值域为R,则m的取值范围是[0，+o) D.若关于x的方程f(x)1=1有且仅有3个实数解，则m=- 5 11.已知函数(x)=Asin(ux+)4>0,w>0,lpl<）的部分图象如图所示，则下列说法正 确的是 A.w=3 B八)的图象关于直线x-7平对称 C.f代x)在区间[-π，π]上有且只有2个零点 D.若f八x1)=f(x2)=-1(x1≠x2),则lx1-x2lmm=T 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 o()cos+ 12.化简： s-受- 13.已知1log2a-2log4=3(a>1),则a= 14.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一设x∈R,用符号[x]表示不大于x的最大整数， 如[2.1]=2，[-1.2]=-2，称函数f(x)=[x]为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工 程学等领域都能看到它的身影，则函数g(x)=x2-2[x]-3的零点有 个 1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知非空集合A={x|a-2≤x≤3a+1},B={x8<2*<32}. (I)若a=1,求AnB,AUB; (Ⅱ)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 16.(15分) 为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的 比值)作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越 19. 大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为am2,bm2 (I)若这所住宅的地面面积为100m2,求这所住宅的窗洞口面积的范围； (Ⅱ)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了xm,判断这所住宅的采光效果 是否变好了，并说明理由。 数学试题第3页（共4页） 7.(15分) 已知函数)=a++b0)是奇函数，且fx)的图象经过点1，引 (I)求实数a,b的值； (Ⅱ)求关于x的不等式f(sin2x)+f(cosx-1)<0的解集. 18.(17分) 已知函数)=imx+4sin2x+君) -cos'x-6cosx+1. (I)求(x)的单调递增区间； (Ⅱ)将f(x)的图象向左平移：个单位长度后得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间 6 [-石引上的最值： (Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，若对任意∈[-石引，都存在名e[2,4],使得g(x)-名-a1+ 3a≤0，求实数a的取值范围. 19.(17分) 如果函数f(x)在其定义域内存在实数x,使得f(+入)=f(x)+f八入)（入>0）成立，那么 称x,是函数f(x)的“入-阶梯点” (I)判断函数(x)=2是否有“2-阶梯点”，并说明理由； （Ⅱ)证明：函数f(x)=2+x2-x有唯一的“1-阶梯点”； (Ⅲ)已知a<0,设函数f代x)=lga(2,1在(0，+0)上不存在“1-阶梯点”，求实数a 2*+1 的取值范围 数学试题第4页（共4页）晋中市2025年1月高一年级期末调研测试试卷 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.B 2.C 3.A 4.B 5.D 6.D 7.B 8.C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.AC 10.ACD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.-sin a 13.16 14.3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解析(I)若a=1,则A=x-1≤x≤4，…(1分) 又B=x|3<x<5引，所以A门B={x3<x≤4，… (4分) AUB=x-1≤x<5}. (6分) (Ⅱ)若x∈A是xEB的必要不充分条件，则B军A,… (8分) ,a-2≤3a+1, 所以{a-2≤3， (11分) 3a+1≥5， a≥-2' 3 得a≤5， (12分) 所以a的取值范围为≤a≤5} (13分) 16,解析（(1)因为6=100，所以10%≤0≤50%，… (3分) 解得10≤≤50，… (5分) 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为[10,50]m2 (6分) (川)由题意得0<a<b,x>0,… …(7分) 原来的窗地面积比为：，现在的窗地面积比为十 b+x 则g+x-a=ab+br-ab-ax …(9分） 6+x b (b+x)6 8+ …(1门分） 1 因为0<a<b,x>0.所以b(b+x)>0,x(b-a)>0. 44404444…0440444044044044444444400s0 (13分) 所以+草合>0，即+草>号 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了.……(15分) 17.解析(I)f(x)的定义域为R, 因为f)为奇函数，所以0)=a+分=0.① 0*40…0…0000…tt0。t0440t0tt0ttt…44440t (1分) 又=a+-，2 (2分) a+2 =0, 「a=3 联立①②，得 解得 (4分) 6 b=-6, 0+ =2 经检验，当a=3,b=-6时，f代x)为定义在R上的奇函数， 所以a=3,b=-6.…(5分） (Ⅱ)因为八x)为定义在R上的奇函数， 所以fsin2x)+f代cosx-1)<0等价于f代sin2x)<-f(cosx-1)=f1-cosx).…(6分) (I)知)=3-任取eR且<， 则e0-)----a器 由x1<2,可知32>31>0，则31+1>0,32+1>0.3-3<0 所u)-)石00D<0,即) 所以x)=3-3在R上是增函数。…W (8分) 所以f代sinx)<f1-c0sx)等价于sinx<1-cosx,…(10分) 由simx+cos2x=1,得上述不等式等价于1-cos2x<1-cosx, 即0%2米-C0gx>0,… (11分) 解得cosx<0或c0sx>1, 又c0sx≤1，所以c0sx<0,… (13分) 则xe(受+2hm,3+2m）keZ. 所以原不等式的解集为（受+2h.3+2k小keZ…(15分） 18.解析(1)x)）=imx+4sim(2x+石）-cos-6cus2x+1 =ix-osx+4停n2x+2-3(1+m2)+1 =25sin2x-2c0s2x-2…(2分） —2 =4sin(2-石）-2.…（(6分） 令-号+2km≤2x-看≤受+2hm,keZ.得-石+km≤≤号+6，keZ 2 所以八x)的单调递增区间为[-石+m,牙+km],keZ …(5分） 注：写成(-石+km,号+km),keZ不扣分 (Ⅱ)根据(1)知，g()=x+石）=4in(2x+石)-2 令1=2x+后当xe[-石]时1e[- …(6分） 根据正弦函数的性质，当1=一石，即x=一石时，n1取得最小值-弓，此时g)取得最小值-4 6 …(7分） 当1=受，即x=石时，in1取得最大值1，此时g(x)取得最大值2.…(8分) 6 所以g(x）mm=-4,g(x）ms=2. (9分) (Ⅲ)不等式g(x1）-|x1-al+3≤0等价于g(x,)≤lx2-al-3a.…(10分) 令函数h(x)=|x2-al-3a, 根据题意，有g(x)≤h(x）r… (11分) 由（Ⅱ）得g(x)mx=2.… …(12分） 当a≤3时，4()m=h(4)=14-al-3a=4-4,由2≤4-4，解得a≤子，放a≤ …(14分） 当a>3时，h(x)mx=h(2)=12-a-3a=-2a-2,由2≤-2a-2,解得a≤-2，无解.…(16分） 综上，实数a的取值范围为aa≤} …(17分）》 19.解析(1)假设)=2有“2-阶梯点”x,则气是方程2)-2-1=0的解，…（1分) x+2x 面方程，子2是-1=0可化为+2x+4=0,该方程无实数解， …(3分）》 所以函数八x)三2无“2-阶梯点”、…学 (4分) (Ⅱ)假设x是f代x)=2+x2-x的“1-阶梯点”， 则x0是方程[21+(x+1)2-(x+1)]-(2”+x2-x)-2=0的解，… (5分) 将该方程化简整理，得2+2x-2=0.…(6分) 令函数g(x）=2+2x-2,显然g(x)是R上的增函数，…(7分) 又g(0)=-1<0,g(1)=2>0,故存在唯一的x。∈(0,1)使得g(x)=0成立， 即函数f八x)有唯一的“1一阶梯点”。…(9分) (Ⅲ)由题可知f(x)的定义域为(0，+0). —3 数)=坚42在0，+)上不存在1-阶梯点”则方程八x+)=)+1)①在 上无解， ①试p62=+(-) 2+1+1 …(10分） 由对数运锋，得。…2-(2(-名》 …(11分)） 化为整式方程，得3(2+1)·(1-2×2)=-a(1-2*)·(2×2+1)(a<0). 令1=2，l∈(1，+∞)， 则3(t+1)·(1-2)=-a(1-t)·(2t+1)(a<0), 整理，得(2a+6)2+(3-a)t-a-3=0(a<0). 故题意等价于方程(2a+6)2+(3-a)1-a-3=0(a<0)在te(1,+x)时无解.…(12分) 令函数4(0)=(2a+6)P+(3-a-a-3(a<0),其图象的对称轴为直线1=品÷品 当1=÷>1，即-5<a<-3时，因为4=(3-oP+4(2a+6)a+3)>0恒成立.所以4)在1，+) 上有零点，不满足题意；…(13分) 当1=48i2≤1且2a+6>0,即-3<a<0时，h(0在(1，+0)上单调递增，h()=(2a+6)+(3-a）-0□ 3=6>0,所以h(t)在(1，+∞)上无零点，满足题意；…(14分)》 当=48,2≤1且2a+6<0,即a≤-5时，h()在(1，+)上单调递减，h(1)=(2a+6)+(3-a)-a-3 6>0,h(3)=14a+60≤-10，所以h(t)在(1，+2)上有零点，不满足题意；…(15分) 当2a+6=0,即a=-3时，h(t)=6t,在te(1,+∞)时h(t)没有零点，满足题意.…(16分) 综上，实数a的取值范围为a-3≤a<0川.…(17分) 一4