第一章 三角形的证明拓展之最值篇（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第一章 三角形的证明拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马(最小值) 【解惑】如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【融会贯通】 1．如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝4，ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（    ） A．21 B．7 C．4 D．2 2．如图，在中，，，是的垂直平分线，点P是直线上的任意一点，则的最小值是 3．如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 类型二、三点共线(最大值) 【解惑】如图，点是直线在第一象限上的一点，线段在轴上，且是等边三角形，直线上存在一动点，已知的最大值为，则点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 2．如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 3．是高为，面积为的等边三角形，点P是过点A的对称轴上一动点，当点D为边中点时．则的最大值是 ；的最小值是 ． 类型三、两动一定 【解惑】如图，在中，，是的平分线，若点P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【融会贯通】 1．如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 2．如图，是的角平分线，，，，点，分别是，上的动点，当有最小值时，则的长是 ． 3．如图，在中，，平分，交于点D，点M、N分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 类型四、周长最小值——将军饮马 【解惑】如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于E，F两点若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【融会贯通】 1．如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．12 B．11 C．9 D．7 2．如图，在中，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，当的周长取最小值时，则 ． 3．如图，等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    类型五、周长最小值——双对称 【解惑】如图，中，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是（    ） A．3.5 B．4.5 C．4.8 D．6 【融会贯通】 1．如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，，点为内一定点，点为射线上一动点，点为射线上一动点，当的周长取最小值时， ．    3．如图，若，为内一定点，动点在上，动点在上，当的周长取最小值时，的度数为 ． 类型六、两点最值 【解惑】如图，已知点是角平分线上的一点，，，在线段 上且，如果点是上一个动点，则的最小值为(   ) A．2 B． C．4 D． 【融会贯通】 1．如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 2．如图，，C为边上一动点（不与点A、点B重合），以为边在的上方作等边三角形，过点C作的垂线，E为垂线上任意一点，连接，F为的中点，连接，则的最小值是 ． 3．如图，在中，，，过点作，延长至点，使得，在平面上有一动点，使，连接，则的最小值为 ． 类型七、面积最大值 【解惑】如图，在四边形中，平分，于点D，，，则面积的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．20 【融会贯通】 1．如图，在等腰中， ，F是边上的中点，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①：②是等腰直角三角形；③四边形的面积随D，E的运动而变化；④面积的最小值为2；⑤面积的最大值为4，其中正确的结论是（　　） A．①③⑤ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤ 2．如图，中，，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ． 3．如图，在中，，，．是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则的最小值为 ，面积的最大值为 ． 类型八、四点共线 【解惑】如图，，在的同侧，，，，M 为的中点， 若，则的最大值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．20 【融会贯通】 1．如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 2．如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ． 3．如图，点C、D在线段的同侧，，，，M是的中点，，则长的最大值是 ． 类型九、手拉手最值 【解惑】如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【融会贯通】 1．如图，在中，，，点D是平面上一点，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正三角形的边长为2，点E是边上的动点（不与端点A、B重合），在上方作正三角形．当点E由点B向点A运动过程中．求面积的最大值为 ．    3．如图，在中，，，以为边在下方作，连接，已知，，则的最大值为 ． 类型十、数形结合最值 【解惑】某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ； (2)代数应用：求代数式的最小值； (3)几何拓展：如图3，，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 【融会贯通】 1．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． (2)如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； (3)借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 2．阅读材料：一般地，设平面上任意两点和可以用表示A、B两点之间的距离，那么该如何计算呢？作轴、作轴，垂足分别是点；作轴，垂足为点、作轴，垂足为点，且与交于点C，则四边形是矩形． ∵，， ∴． ∴． 这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式． 如：点和点之间的距离．    (1)请运用公式计算点和点之间的距离； (2)在（1）的条件下，点O为原点，求的周长； (3)平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，当值最小时，用尺规作出点P，并求出的最小值． 3．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c． 显然， ，，请用a，b，c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： = ， = ， = ，则它们满足的关系式为 ，经化简，可得到勾股定理．(提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半) 知识运用： （1）如图2，铁路上A，B两点(看作直线上的两点)相距40千米，C，D为两个村庄(看作两个点)，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米(直接填空)； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米， 要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出的距离． （3）知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马(最小值) 【解惑】如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，根据等边三角形的各边上的高相等，求得CF的长，即为FE+EB的最小值． 【详解】连接CE， ∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线 ∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC ∴EB=EC， 当C. F. E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF， ∵等边△ABC中，F是AB边的中点， 是等边三角形边上的高， 和中 ∴AD=CF=8， ∴EF+BE的最小值为8， 故选D 【点睛】此题考查等边三角形的性质、轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线. 【融会贯通】 1．如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝4，ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（    ） A．21 B．7 C．4 D．2 【答案】B 【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=14， 解得AD=7， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴CM+MD的最小值为7． 故答案为B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的三线合一是解答此题的关键． 2．如图，在中，，，是的垂直平分线，点P是直线上的任意一点，则的最小值是 【答案】6 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的垂直平分线， ∴， 根据两点之间线段最短知，，其值最小， 所以的最小值即为的长， 所以的最小值为6． 故答案为：6． 3．如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小的问题，根据中垂线的性质，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线，点直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长为． ∴的最小值为． 故答案为：． 类型二、三点共线(最大值) 【解惑】如图，点是直线在第一象限上的一点，线段在轴上，且是等边三角形，直线上存在一动点，已知的最大值为，则点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，一次函数的性质，勾股定理，由，当点三点共线时有最大值为，则，过作于点，则，由等边三角形的性质得，，然后由勾股定理求出，然后代入一次函数解析式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∴当点三点共线时有最大值为， ∵的最大值为， ∴， 过作于点，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴当时，，解得：， ∴点的横坐标是， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故选：B． 2．如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称−−最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点， 连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点， 连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．是高为，面积为的等边三角形，点P是过点A的对称轴上一动点，当点D为边中点时．则的最大值是 ；的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中动点和线段和差最值问题，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质和面积计算公式求得的边长为，结合等边三角形的性质，由三角形的三边关系可得：，当、、三点共线，即当点运动到点时，取等号，由轴对称可知，当、、三点共线，取等号，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，过点作交于， 则，且所在直线为过点的对称轴， 即点是直线上的一动点，如图， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在中，由三角形的三边关系可得：，当、、三点共线，即当点运动到点时，取等号， ∴取得最大值，最大值为； ∵点关于的对称点为点， ∴， ∴，当、、三点共线，取等号， ∴的最小值为， ∵是等边三角形，为的中点， ∴， 则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：，． 类型三、两动一定 【解惑】如图，在中，，是的平分线，若点P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，在上截取，连接，，过点作，证明，得到，根据两点之间线段最短，垂线段最短，得到的最小值为的长，利用勾股定理和等积法求出的长即可． 【详解】解：在上截取，连接，，过点作， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最短， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴的最小值为4； 故选B． 【融会贯通】 1．如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称图形的性质，垂线段最短等知识，首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，过点作交于点，由轴对称图形的性质及“垂线段最短”的性质可得的最小值为的长，即可获得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴，， ∴点关于对称， 过点作交于点，连接，如图， ∴， 根据是上的动点，是边上的动点，要使取最小值，只需满足三点共线，由轴对称图形的性质及在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，可得的最小值即为的长， ∵的面积为， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：． 2．如图，是的角平分线，，，，点，分别是，上的动点，当有最小值时，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、含的直角三角形的性质，正确画出辅助线并掌握以上知识点是解答本题的关键． 如图，作点关于的对称点，连接，，根据轴对称确定最短路线问题，的长度即为的最小值，再过点作于，则当点和点重合时，为最小值；然后再根据直角三角形的性质求得的长，进而求得的长，最后再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， ，点在边上， ， 过点作于， 当点和点重合时，为最小值， ， ， ， ， 是的角平分线，点关于的对称点， ， ， 故答案为：． 3．如图，在中，，平分，交于点D，点M、N分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等腰三角形的性质，理解“垂线段最短”是解答此题的关键． 首先连接，过点作于点，因为平分，交于点，根据等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线，从而得，则，然后根据“垂线段最短”得，据此可得出当点、在线段上时，为最小，最小值为线段的长，最后根据三角形的面积求出即可． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示， ，平分， 且平分． 即是线段的垂直平分线， ． 根据垂线段最短得， 即当点、在线段上时，为最小，最小值为线段的长， 的面积为，， ， ． ． 的最小值为． 故答案为． 类型四、周长最小值——将军饮马 【解惑】如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于E，F两点若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系． 连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线， ，点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∴的长为的最小值， 是等腰三角形，点D为边的中点， ， 的底边长为6，面积是36， ， ， 的周长最短 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．12 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【详解】解：设直线交于，连接，如图所示： ∵直线是的垂直平分线， 关于直线对称，， ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， 周长，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故选：． 2．如图，在中，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，当的周长取最小值时，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键． 连接,由于,点是边的中点,所以，再根据三角形的面积公式求出，再根据直线是线段的垂直平分线可知,点关于直线对称点为,故的长为的最小值,得,由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ,点是边的中点， , , , 直线是线段的垂直平分线, 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值, 的最短周长, , , 解得:或, 故答案为：或 ． 3．如图，等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    【答案】11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短距离的计算，根据题意，连接，由三角形的面积可得，连接，当的值最小时，的周长最小，当点三点共线时，的值最小，最小值为，即，由此即可求解． 【详解】解：连接，    ∵是等腰三角形，点为边的中点， ∴，， ∵底边长为，面积是， ∴， 解得，， 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当的值最小时，的周长最小， 在中，， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为，即， ∴的周长为， 故答案为：11 ． 类型五、周长最小值——双对称 【解惑】如图，中，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是（    ） A．3.5 B．4.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，作关于直线的对称点，关于直线的对称点，连接、、、、、、，推出、、共线，结合，得出当、、、共线时，且时，的值最小，最小值为，再由勾股定理结合等面积法得出的长即可得解． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，关于直线的对称点，连接、、、、、、， ， ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴、、共线， ∵， ∴当、、、共线时，且时，的值最小，最小值为， 在中，，，，则， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的周长的最小值是， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称最短路径问题，涉及垂直平分线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等，设点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小，由可得为等边三角形，进而可得． 【详解】解：作点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，连接， 由轴对称的性质可得，， ， 当点D、E在上时，等号成立，如图： 由轴对称的性质可得垂直平分线段，垂直平分线段， ，，，， ，， 为等边三角形， ， ． 故选D． 2．如图，，点为内一定点，点为射线上一动点，点为射线上一动点，当的周长取最小值时， ．    【答案】 【分析】本题考查轴对称——最短路径问题，等边对等角，三角形的内角和定理，作点关于的对称点，连接，，，得，，作点关于的对称点，连接，，，得，，根据，则当共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度，掌握知识点的应用是解题的关键. 【详解】解：作点关于的对称点，连接，，，    ∴，，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ， 又， ∴当共线时，周长最短， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴在中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：. 3．如图，若，为内一定点，动点在上，动点在上，当的周长取最小值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，最短距离，等腰三角形的判定和性质等知识点，分别作点关于、的对称点、,连接,交于,交于的周长,然后得到等腰中，,即可得出，熟练掌握其性质并能正确作出辅助线，得到等腰中是解决此题的关键． 【详解】解：如图，分别作点关于的对称点、,连接,交于,交于, ，，， 根据轴对称的性质，可得, 由两点之间线段最短可知，的周长的最小值, , 等腰中，, , 故答案为：． 类型六、两点最值 【解惑】如图，已知点是角平分线上的一点，，，在线段 上且，如果点是上一个动点，则的最小值为(   ) A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，根据题意是角平分线上的点，可知点到边、的距离相等，要想求的最小值，只有与垂直时的值才最小，也就是的最小值等于，根据已知条件求出即可得． 【详解】解：是角平分线上的一点，， ， ， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 点是上一个动点， 的最小值为到距离， 的最小值． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】首先证明，过点C作于点H，连接，然后根据三角不等关系得出，即当点C、F、H三点共线时，取得最小值，进而可得当点与重合时，的值最小，最后问题可求解． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ，， ， ∴， ， 又， ， ， ， 过点C作于点H，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 由三角形不等关系可知：，即当点C、F、H三点共线时，取得最小值， 作平分交于N，连接，如图； 要使取得最小值，就要使取得最小值，当点F与点N重合时，即为最小，如图所示， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角不等关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 2．如图，，C为边上一动点（不与点A、点B重合），以为边在的上方作等边三角形，过点C作的垂线，E为垂线上任意一点，连接，F为的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查垂线段最短，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，解题的关键是利用垂线段最短解决最值问题． 连接，，设交于点H，根据垂线的性质及直角三角形斜边中线的性质得出，利用等边三角的性质证明得出，再运用垂线段最短及含30度角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】连接，如图，连接，，设交于点H， ， F为的中点， ， 为等边三角形， ， 在和中 ， ， ， 当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， 在中，， ， 故答案为：6． 3．如图，在中，，，过点作，延长至点，使得，在平面上有一动点，使，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由，，得 ，，，从而得，由勾股定理得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知始终不变，则要使有最小值，通过根据三角形的三边关系可知，当点在线段上时最小，最小值为，从而求解． 【详解】如图，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴始终不变， ∴要使有最小值，根据三角形的三边关系可知，当点在线段上时最小，最小值为， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，所对直角边是斜边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握知识点的应用是解题的关键． 类型七、面积最大值 【解惑】如图，在四边形中，平分，于点D，，，则面积的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线定义，延长、交于E，过C作于H，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，而，判定，推出，，得到，当的面积最大时，的面积最大，求出，求出面积的最大值，即可得到面积的最大值． 【详解】解：延长、交于E，过C作于H， ∵平分， ∴， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当的面积最大时，的面积最大， ∵， ∴， ∵的面积，， ∴面积的最大值， ∴面积的最大值为． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在等腰中， ，F是边上的中点，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①：②是等腰直角三角形；③四边形的面积随D，E的运动而变化；④面积的最小值为2；⑤面积的最大值为4，其中正确的结论是（　　） A．①③⑤ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】此题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，解题技巧是作辅助线构造全等三角形，解题关键是面积最小值可转化成三角形边长的最小值．通过证明全等三角形得到角等和边等，进而等量代换出直角，即可判断①②③；证明全等后即可证明四边形为三角形面积的一半，即可判断④⑤． 【详解】解：连接，作于点H， ∵是等腰直角三角形， ， ∴， ∵F是边的中点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∴， ∴是等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积不随D，E的运动而变化， 故③错误； ∵于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是2， 故④正确； ∵， ∴当取得最小值2时，取得最大值2， 故⑤错误， 故选：B． 2．如图，中，，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解决本题的关键是学会用转化的思想思考问题．首先延长、交于点，设交于点，根据是的平分线，且可得、，根据平行线的性质可得，根据点为的中点，可得，从而可得，，，所以可证两个阴影部分面积之差，根据时，的面积最大可求结果． 【详解】解：如下图所示，延长、交于点，设交于点， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 点为的中点，点为的中点， ，， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故答案为：． 3．如图，在中，，，．是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则的最小值为 ，面积的最大值为 ． 【答案】 18 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．作于点，由，，，得，，由，，得，因为垂线段最短，所以的最小值为3，则的最小值为18；再证明，则，，所以，则，可知当时，面积的最大，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， ， 的最小值为3， 当时，， 的最小值为18； ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， 当时，， 故答案为：18，． 类型八、四点共线 【解惑】如图，，在的同侧，，，，M 为的中点， 若，则的最大值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、，由对称的性质得，，，，再由“有一个角为的等腰三角形是等边三角形．”可判定为等边三角形，由等边三角形的性质得，由，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、， ， ， ， ， M 为的中点， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了对称在几何变换中的应用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等，根据题意构建等边三角形来转移线段是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形 ∵， ∴的最大值为14， 故选：C． 2．如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和两点之间选段最短．作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，利用两点之间，线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ∴，，，，， ∵点为的中点，， ∴ ， ， ， ， 为等边三角形， ∴ ， 的最大值为， 故答案为：． 3．如图，点C、D在线段的同侧，，，，M是的中点，，则长的最大值是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了翻折变换的运用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．作点关于的对称点，作点关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：∵M是的中点，， ∴， 如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点， 则，， ∴, ， ， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴ ， 的最大值为13， 故答案为：13． 类型九、手拉手最值 【解惑】如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 以为边作等边三角形，证明得，根据三角形三边的关系求出的最大值即可求解． 【详解】如图，以为边作等边三角形，则，．    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∵， ∴当点E，D，C三点共线时，有最大值，即的长度为5． ∴的最大值是5． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，点D是平面上一点，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，如图，过作，且，连接，，证明，可得，可得当取最大值，则取最大值，结合，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，过作，且，连接，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴当取最大值，则取最大值， ∵， ∴当时，的最大值为， 故选C 2．如图，正三角形的边长为2，点E是边上的动点（不与端点A、B重合），在上方作正三角形．当点E由点B向点A运动过程中．求面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用． 根据，是等边三角形，得，，，根据等量代换，全等三角形的判定，得，得四边形的面积为：，根据的面积等于四边形面积，当最小时，的面积最大，即可． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， ∴的面积等于四边形面积， 当时，最小，最小，最大， ∵， ∴， 过点E作于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：．    3．如图，在中，，，以为边在下方作，连接，已知，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图：过C作，且，连接，证明得到，利用两点之间线段最短得到，当A、D、E共线时，取等号， 有最大值，进而完成解答． 【详解】解：如图：过C作，且，连接， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，当A、D、E共线时，取等号，有最大值， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识点，添加常用辅助线构造全等三角形是解答的关键． 类型十、数形结合最值 【解惑】某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ； (2)代数应用：求代数式的最小值； (3)几何拓展：如图3，，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作点E关于直线的对称点，连接，根据“将军饮马问题”得到的最小值为，根据勾股定理求出，得到答案； （2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称——最短路线问题得到最小值就是求的值，根据勾股定理计算即可； （3）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，根据等边三角形的性质解答． 【详解】（1）解：如图2，作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为， 作交的延长线于F， 由题意得，，， ∴的最小值 故答案为：； （2）构造图形如图3所示，，，，于A，于B，， 则， 代数式的最小值就是求的值， 作点C关于的对称点，过作交的延长线于E． 则，，， ∴所求代数式的最小值是5； （3）解：如图4，作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接， 则，， ∴为等边三角形， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段． 【融会贯通】 1．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． (2)如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； (3)借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3) 【分析】本题考查轴对称—最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由梯形，三角形面积公式即可证明问题； （2）①根据轴对称的性质，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，； ②根据勾股定理求出，根据矩形的性质分别求出，，根据勾股定理求出，得到，结合题意计算即可； （3）作关于直线的对称点，连接与直线交于点，则的最小值为，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：由题意可知，梯形的面积第一种表示方法： ， 第二种表示方法： ， 则， ∴； （2）①作关于直线的对称点，连接与直线交于点， 由轴对称可知，， ∴，当点在上时取等号， 故，点即为所求； ②作，，相交于点，作于点，连接， 则，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）如图，作于，于，，，，，则， ∴， 作关于直线的对称点，连接与直线交于点，类比（2）可知，此时最小，最小值为， 作于，则， 由勾股定理得，，即最小为， ∴的最小值为， 故答案为：． 2．阅读材料：一般地，设平面上任意两点和可以用表示A、B两点之间的距离，那么该如何计算呢？作轴、作轴，垂足分别是点；作轴，垂足为点、作轴，垂足为点，且与交于点C，则四边形是矩形． ∵，， ∴． ∴． 这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式． 如：点和点之间的距离．    (1)请运用公式计算点和点之间的距离； (2)在（1）的条件下，点O为原点，求的周长； (3)平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，当值最小时，用尺规作出点P，并求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题是阅读理解题， 主要考查了尺规作图，轴对称的性质，平面直角坐标系中两点之间的距离， 解题的关键是正确利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式． （1）利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式直接计算即可； （2）利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式分别计算出， 即可计算出的周长． （3）尺规作点的对称点，得出当三点共线时，最小，最小值是，求解即可； 【详解】（1）解：， ∴点和点之间的距离是． （2）解：， ， ∴的周长． （3）解：如图，作点的对称点， 则，， 当三点共线时，最小，最小值是， ∴．    3．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c． 显然， ，，请用a，b，c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： = ， = ， = ，则它们满足的关系式为 ，经化简，可得到勾股定理．(提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半) 知识运用： （1）如图2，铁路上A，B两点(看作直线上的两点)相距40千米，C，D为两个村庄(看作两个点)，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米(直接填空)； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米， 要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出的距离． （3）知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值 ． 【答案】小试牛刀：，，， ；（1）41；（2）千米；（3） 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出； （1）连接，作于点E，根据，，得到，，从而得到千米，利用勾股定理求得即可． （2）连接，作的垂直平分线角于P，P即为所求；设千米，则千米，由勾股定理得，，，利用建立方程，解方程即可． （3）根据轴对称-最短路线的求法即可求出． 【详解】解：小试牛刀：， ， ， ． ∴， ∴， 故答案为：，，， ； （1）如图2①，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米， ∴千米， ∴两个村庄相距41千米． 故答案为：41． （2）尺规作图如图2②所示： 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米． （3）如图3， 作点C关于的对称点，连接交于点P， ∴， ∴的最小值， ∵，， ∴代数式的最小值为：． 【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$