第一章 三角形的证明（中等类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第一章 三角形的证明思维导图 【类型覆盖】 类型一、等角对等边证等腰三角形 【解惑】如图，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且． (1)求证：； (2)若，的周长是，求的周长． 【融会贯通】 1．如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点．求证：． 2．如图，已知，D是直线上的点，．过点 A作，并截取，连接． (1)判断 的形状并证明； (2)若，求的长． 3．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 类型二、三线合一证明 【解惑】如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点E．求证：． 【融会贯通】 1．如图，是等腰直角三角形，，D为斜边的中点，E，F分别为边上的点，且．若，．求的长． 2．已知：如图，，，是的中点．求证：． 3．如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，作于． (1)求证：； (2)若，求． 类型三、等边三角形的判定 【解惑】如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足．求证： (1)； (2)是等边三角形． 【融会贯通】 1．如图，在中，，是边上的高． (1)若点是的中点，求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 2．如图，在中，是中线，使，若，． (1)证明：是等边三角形． (2)猜想：与的大小关系，并证明． 3．如图，在中，D是上一点，于点E，的延长线与的延长线交于点F，，试判断的形状，并说明理由． 类型四、锐角互余的三角形是直角三角形 【解惑】如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 【融会贯通】 1．已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 2．如图，在中， F为延长线上一点，点 E在上，且 ． (1)若 ，求 度数； (2)求证： ； (3)试判断与的位置关系． 3．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 类型五、用HL证全等 【解惑】如图，已知，垂足分别为E，F，，求证：． 【融会贯通】 1．如图，在中，平分，于，于，且，． (1)求证：； (2)求证：． 2．如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 3．如图，，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 类型六、线段垂直平分线的判定 【解惑】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【融会贯通】 1．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上． (2)已知，求的度数． 2．在平面直角坐标系中，点，，，点B在线段上，连接，点在上，连接，． (1)求证：垂直平分； (2)若，求长．（用含a的式子表示） 3．如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 类型七、角平分线的判定 【解惑】如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点． (1)求证：； (2)求的大小． (3)连接，求证：平分． 【融会贯通】 1．如图，是一个锐角三角形，分别以为边向外作等边三角形、，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 2．如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，，求证：平分． 3．如图，在中，，D为边上一点，过点D作的垂线，分别交边，的延长线于点E，F，且． (1)求证：点D在的平分线上； (2)连接，若，，求的值． 类型八、勾股定理的逆定理的实际应用 【解惑】如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长上找一点，使边的长为，求菜园的面积扩大了多少． 【融会贯通】 1．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． (1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时,小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； (2)如图所示,八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为,请帮助他们求出该实验基地的面积． 2．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，且，由于某种原因，从取水点到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是否是村庄到河边最近的路？请说明理由； (2)求原来的路线的长． 3．如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． (1)求四边形的面积； (2)若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 类型九、尺规作图——等腰三角形、垂线 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法（保留作图痕迹）． (1)在图①中以为边画一个面积为3的等腰三角形； (2)在图②中以为边画一个面积为3的钝角三角形； (3)在图③中以为边画一个面积为4的． 【融会贯通】 1．如图，在中，，E为边的中点． (1)尺规作图：以为边在外部作等边，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)判断的形状并给予证明． 2．学习了等腰三角形“三线合一”性质之后，爱动脑的小赵同学思考了一个问题：如果三角形一个角的平分线与其对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形吗？于是，他进行了下面的研究．请根据小赵同学的研究思路和研究过程，完成作图并填空． (1)请用直尺和圆规作边上的高．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)已知，边上的高平分，请判断是不是等腰三角形，并说明理由． 解：是等腰三角形，理由如下： 是的平分线，________． 是边上的高，． 又________． ． ________． 是等腰三角形．（依据是________） 3．如图，在等腰直角中，． (1)实践与操作：用尺规作图法过点C作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，，求的面积． 类型十、尺规作图——线段的垂直平分线、角平分线 【解惑】如图，为锐角三角形，请用尺规作图法，作的中线．（保留作图痕迹，不写作法） 【融会贯通】 1．如图，在中．．求作线段的中点．小明发现作线段的垂直平分线交于点，点即为所求． (1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． ∵垂直平分， ∴________（________）（填推理依据）． ∴． ∵， ∴，． ∴________． ∴． ∴． ∴点为线段的中点． 2．如图，随着经济的发展，某地要在由两条公路和一条铁路围成的平地上修建一个货运仓储站．要使这个仓储站到各条公路铁路的距离相等，应在何处修建？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出简要说明） 3．如图，在的内部找出一点，使得，且满足点到与的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹） 【一览众山小】 1．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中错误的是（    ） A．是的平分线 B． C．点D在的垂直平分线上 D． 2．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 3．如图，在中，的平分线交于点D，于点E，F为上一点，若 则的面积为（    ） A． B．3 C． D．5 4．在△ABC中，，，则 ． 5．在等边中，点在的延长线上，，，点在直线上，连接，．当时，的长为 ． 6．如图所示，，的垂直平分线交于D，则的度数是 ． 7．如图，在中，是中点，，垂足分别是、，，求证：是的角平分线 8．尺规作图，保留作图痕迹，不用写做法．已知，如图，点A在的一条边上，点B在的另一条边上，求作：    (1)的角平分线； (2)线段的垂直平分线，C为垂足，D为与的交点； (3)过A点作垂直于的直线，垂足为E． 9．如图，是等边三角形，，是的角平分线，与相交于点，点在线段上，点在边上，且，连接，． (1)______，______； (2)判断和的数量关系，并说明理由； (3)求证：； (4)如图，若点是射线上任意一点，点在射线上，其它条件不变，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 10．如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里． (1)求点与点之间的距离； (2)若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明思维导图 【类型覆盖】 类型一、等角对等边证等腰三角形 【解惑】如图，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且． (1)求证：； (2)若，的周长是，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的有关计算可得，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，然后由等角对等边即可得出结论； （2）由（1）可知，同理，于是可推出，根据的周长是可得，据此即可求出的周长． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵， ， ， ； （2）解：由（1）可知：， 同理，， ， ∵的周长是，， ， 的周长． 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，两直线平行内错角相等，根据等角对等边证明边相等，线段的和与差等知识点，根据角平分线的有关计算及两直线平行内错角相等得出是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等角对等边，角平分线的判定，平行线的性质，由为等边三角形，则，又，可证明，即是等边三角形，再由角平分线和平行线的性质证明，从而求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，已知，D是直线上的点，．过点 A作，并截取，连接． (1)判断 的形状并证明； (2)若，求的长． 【答案】(1)为等腰直角三角形．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质． （1）“”证明得到，，再利用得到，则可判断为等腰直角三角形； （2）由得到，，然后计算即可． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 类型二、三线合一证明 【解惑】如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等角对等边，平行线的性质，由为等边三角形，结合三线合一，得到，由平行线的性质可证明，可得，从而证明结论． 【详解】证明：∵是等边三角形，平分交于点D ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 【融会贯通】 1．如图，是等腰直角三角形，，D为斜边的中点，E，F分别为边上的点，且．若，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，根据等腰直角三角形的性质，易证，得到，得到，然后利用勾股定理，即可求出． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．已知：如图，，，是的中点．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定及性质；由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的“三线合一”，即可得证；掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 是的中点， ． 3．如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，作于． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)7.5 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先根据三线合一性质得到，然后推出，然后利用三角形外角的性质和等边对等角得到，得到，然后利用三线合一证明即可； （2）首先根据等边三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形，是中线， ， 又， ， ，而， ， ， ， ， ， ． （2）解：为等边三角形， ， 又， ， ． 类型三、等边三角形的判定 【解惑】如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足．求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定等知识点，熟记等腰三角形的性质以及全等三角形的性质是解题的关键． （1）先利用证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）得、，求出，进而得到即可证明结论． 【详解】（1）证明∵， ∴． ∵， ∴． ∵D是边的中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴， ∴, ∵， ∴是等边三角形． 【融会贯通】 1．如图，在中，，是边上的高． (1)若点是的中点，求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定、线段垂直平分线的性质、勾股定理； （1）若点是的中点，则垂直平分，，可得，则是等边三角形； （2）设，则，可得，利用勾股定理求出，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可得的长． 【详解】（1）证明：点是的中点，是边上的高． 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：设，则， ， 是边上的高， ， 在中，， 即， 解得负值舍去， ． 2．如图，在中，是中线，使，若，． (1)证明：是等边三角形． (2)猜想：与的大小关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的判定是解题的关键． （1）根据等边对等角得到得到，然后求出，再证明，即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，然后比较大小即可解题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解： ，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即． 3．如图，在中，D是上一点，于点E，的延长线与的延长线交于点F，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】等边三角形，见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质，由角的互余关系、等腰三角形的性质以及对顶角相等证出，再由，得出，即可得出结论． 【详解】解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ∴是等边三角形． 类型四、锐角互余的三角形是直角三角形 【解惑】如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（）由，则，故有，从而可得，根据直角三角形的判定方法即可求证； （）先画出图形，再根据即可求解； 本题考查了直角三角形的性质和判定，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴ ∴的长为． 【融会贯通】 1．已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【答案】,，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，直角三角形的两锐角互余，垂直定义．通过证明，可得，进而得，进而得，从而即可得解． 【详解】解：，，理由如下： ∵ ∴ 又∵在和中， ∴（） ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中， F为延长线上一点，点 E在上，且 ． (1)若 ，求 度数； (2)求证： ； (3)试判断与的位置关系． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件． （1）根据在中，，F为延长线上一点，点E在上，且，可以得到和全等，根据全等三角形的性质，进行求解即可； （2）根据，可以得到，然后即可转化为的关系，从而可以证明所要证明的结论； （3）根据，，，结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：，过程如下： 延长交于一点H，如图 ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴. 3．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 类型五、用HL证全等 【解惑】如图，已知，垂足分别为E，F，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义等知识，先证出,即可证出,熟练掌握全等三角形的判定并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】证明：, , 又, ,即, 在和中， , ． 【融会贯通】 1．如图，在中，平分，于，于，且，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质， （1）根据角平分线的定义得，证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一性质得，继而得到，利用证明全等即可； 解题的关键是掌握全等三角形的判定的一般方法：、、、、（仅用于证明直角三角形全等）． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 2．如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可． （2）根据全等三角形的性质，对应角相等求值即可． 【详解】（1）， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． （2）， ，， ， ， ， ， 在中，， ． 3．如图，，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等”是解本题的关键． （1）根据证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，再由即可求值． 【详解】（1），， 且，， 在与， ， ． （2）， ，， ． 类型六、线段垂直平分线的判定 【解惑】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，等腰三角形的性质，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上． (2)已知，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （）先根据相等垂直平分线的性质证明，，进而得，由三角形的内角和得，再求得，，从而即可得解。 本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，解题关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质 【详解】（1）证明：如图，连接，，． 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上， （2）解：垂直平分，垂直平分， ，，， ， ，， ， ， ，， ，， 2．在平面直角坐标系中，点，，，点B在线段上，连接，点在上，连接，． (1)求证：垂直平分； (2)若，求长．（用含a的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）延长交于H，过点D作，，则，进而得是的平分线，再根据等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）先证明，在根据得，则，由此得，然后再利用含有角的直角三角形的性质及勾股定理可求出的长． 【详解】（1）证明：延长交于H，过点D作，，如图所示： ∵点， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴是的平分线， ∵点，，， ∴， ∴，， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，坐标与图形，含有角直角三角形的性质，勾股定理，理解线段垂直平分线的定义，坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用含有角直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 3．如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 【答案】(1)详见解析 (2)①详见解析；②图见解析， 【分析】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键． （1）根据，可得，再由证明，则，利用中垂线的判定定理即可证明； （2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证； ②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【详解】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分上，， ， 在的垂直平分上， 垂直平分； （2）①证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， ， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由： 延长至，使， ， 与关于成轴对称，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是． 类型七、角平分线的判定 【解惑】如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点． (1)求证：； (2)求的大小． (3)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质得到，，，进而得到，即可证明出； （2）首先根据全等三角形的性质得到，然后根据对顶角相等得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）首先根据全等三角形的性质得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可． 【详解】（1）∵与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∴ ∴； （2）设与交于点B， ∵ ∴ 又∵ ∴； （3）如图所示，连接，过点D作，， ∵，，，， ∴ ∴平分． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的判定定理，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【融会贯通】 1．如图，是一个锐角三角形，分别以为边向外作等边三角形、，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由、 是等边三角形，易证，继而可证； （2）由，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案； （3）作于点于点N，证明，由，即可得到结论． 【详解】（1）证明：、是等边三角形， ， ∴， ； （2）解：∵， ， ∴， ； （3）证明：如图，作于点于点N， ， ，和的面积相等， ， ， 平分． 2．如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）利用即可证明； （2）根据等腰直角三角形的性质求出，则，结合全等三角形的性质及角的和差求解即可； （3）过点作于点，根据三角形面积求出，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ； （3）证明：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ．， 平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．如图，在中，，D为边上一点，过点D作的垂线，分别交边，的延长线于点E，F，且． (1)求证：点D在的平分线上； (2)连接，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂线的性质可得，由可得，则，于是可得，利用可证得，于是可得，再根据角平分线的判定定理即可得出结论； （2）由（1）可得，，，然后利用三角形的面积公式可得，于是得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 点D在的平分线上； （2）解：由（1）可得：，，， ， 的值为． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握角平分线的判定定理及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 类型八、勾股定理的逆定理的实际应用 【解惑】如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长上找一点，使边的长为，求菜园的面积扩大了多少． 【答案】(1)垂直，理由见解析； (2)菜园的面积扩大了． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，得出是解题关键． （1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）由勾股定理可得，进而求出的差值即可． 【详解】（1）解：垂直，理由如下： ，，， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， 即菜园的面积扩大了． 【融会贯通】 1．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． (1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时,小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； (2)如图所示,八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为,请帮助他们求出该实验基地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形,根据直角三角形的面积公式计算即可； （2）过点A作于D,根据勾股定理列出方程,解方程求出,再根据勾股定理求出,根据三角形面积公式计算,得到答案． 【详解】（1）解：∵, ∴, ∴这个三角形是直角三角形, ∴三角形的面积为：； （2）如图,过点A作于D, 设,则, 在中, 在中,, ∴,即, 解得：, 由勾股定理得：（m）, ∴, ∴该实验基地的面积为． 2．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，且，由于某种原因，从取水点到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是否是村庄到河边最近的路？请说明理由； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是村庄到河边最近的路，理由见解析 (2)原来的路线的长为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解一元一次方程等知识，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理证明，根据垂线段最短，即可得出结论； （2）先求出，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出的长度． 【详解】（1）解：是村庄到河边最近的路，理由如下： ∴ ∴是直角三角形，且， ∴， ∵垂线段最短， ∴是村庄到河边最近的路； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， 答∶原来的路线的长为． 3．如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． (1)求四边形的面积； (2)若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 【答案】(1) (2)学校需要投入元买草皮 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求出，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，用即可解答； （2）根据总价单价数量计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， 在中，， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为：， ； （2）解：根据题意：（元） 答：学校需要投入元买草皮． 类型九、尺规作图——等腰三角形、垂线 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法（保留作图痕迹）． (1)在图①中以为边画一个面积为3的等腰三角形； (2)在图②中以为边画一个面积为3的钝角三角形； (3)在图③中以为边画一个面积为4的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）画一个底为2，高为3的等腰三角形即可； （2）画一个底为2，高为3的钝角三角形即可； （3）利用分割法作出一个面积为4的即可． 【详解】（1）解：如图①， 要使等腰三角形面积为3，即画一个底为2，高为3的等腰三角形； （2）解：如图②， 要使钝角三角形面积为3，即画一个底为2，高为3的钝角三角形； （3）解：如图③， 图③左图中，， 图③右图中，， 以上两种情况即为所作出的面积为4的． 【融会贯通】 1．如图，在中，，E为边的中点． (1)尺规作图：以为边在外部作等边，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)判断的形状并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，见解析 【分析】本题考查了作图-作三角形、等边三角形的判定性质、全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，含30度角的直角三角形的特征，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）分别以A、E为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点D，连接即可； （2）由是等边三角形，结合，E为边的中点，得到，，利用得到，利用全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，等边为所求； （2）证明：等边三角形 在中，， ，， 是等边三角形， ，， ， E为边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 2．学习了等腰三角形“三线合一”性质之后，爱动脑的小赵同学思考了一个问题：如果三角形一个角的平分线与其对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形吗？于是，他进行了下面的研究．请根据小赵同学的研究思路和研究过程，完成作图并填空． (1)请用直尺和圆规作边上的高．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)已知，边上的高平分，请判断是不是等腰三角形，并说明理由． 解：是等腰三角形，理由如下： 是的平分线，________． 是边上的高，． 又________． ． ________． 是等腰三角形．（依据是________） 【答案】(1)见详解 (2)，，（或），两边相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题主要考查了作垂线，全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的判定等知识． （1）根据过直线外一点A作已知直线的垂线即可． （2）利用证明，由全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：边上的高如下图所示： （2）解：是等腰三角形，理由如下： 是的平分线， ． 是边上的高， ． 又． ． 或． 是等腰三角形．（依据是两边相等的三角形是等腰三角形） 3．如图，在等腰直角中，． (1)实践与操作：用尺规作图法过点C作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作垂线，等腰直角三角形的性质与判定，三角形 的面积公式； （1）根据题意过点作直线的垂线，垂足为，则线段即为所求； （2）根据三线合一得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求 （2）解：∵等腰直角中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴的面积为 类型十、尺规作图——线段的垂直平分线、角平分线 【解惑】如图，为锐角三角形，请用尺规作图法，作的中线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 作线段的垂直平分线交于点D，连接即可． 【详解】解：如图，中线为所作． 【融会贯通】 1．如图，在中．．求作线段的中点．小明发现作线段的垂直平分线交于点，点即为所求． (1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． ∵垂直平分， ∴________（________）（填推理依据）． ∴． ∵， ∴，． ∴________． ∴． ∴． ∴点为线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质； （1）根据题意作线段的垂直平分线交于点，点即为所求． （2）根据垂直平分线的性质得出，等边等角可得，进而根据等角的余角相等，可得，得出，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）作图如图所示： （2）证明：连接． ∵垂直平分， ∴（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴点为线段的中点． 故答案为：；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；． 2．如图，随着经济的发展，某地要在由两条公路和一条铁路围成的平地上修建一个货运仓储站．要使这个仓储站到各条公路铁路的距离相等，应在何处修建？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出简要说明） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握用直尺和圆规作一个角的平分线的方法，角平分线上点到角的两边距离相等． 根据尺规作一个角的平分线的方法，作出、的平分线，两条角平分线的交点即为仓储站的位置． 【详解】解：如图所示，仓储站应建在点O处． 3．如图，在的内部找出一点，使得，且满足点到与的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图，根据角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，作的平分线交于点P，如图所示，点P即为所求． 【一览众山小】 1．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中错误的是（    ） A．是的平分线 B． C．点D在的垂直平分线上 D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图的步骤可知平分，可判断A，即可求出的度数，进而判断B，然后根据，可得，可判断C，最后根据角平分线的性质得，再根据含直角三角形的性质得，接下来根据勾股定理求出，即可说明D． 【详解】解：如图所示，过点D作，交于点E， 根据题意可知可知平分．故A正确； ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴．故B正确； ∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上．故C正确； ∵平分，， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， 即．故D不正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，直角三角形的性质，理解含直角三角形的性质是解题的关键． 2．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识点，理解勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A、由，则是直角三角形，不符合题意； B、由，，则，即是直角三角形，不符合题意； C、由，，则，即不是直角三角形，符合题意； D、由，则，即是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 3．如图，在中，的平分线交于点D，于点E，F为上一点，若 则的面积为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，作辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：在上取，连接，利用证明，得，再利用等腰三角形的性质可知，进而完成解答． 【详解】解：如图：在上取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．在△ABC中，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出、的度数和得出． 先根据已知和三角形内角和定理求出、，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：，， ，， ∵， ， 故答案为：4． 5．在等边中，点在的延长线上，，，点在直线上，连接，．当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握这些性质和判定，并会分类画图解决问题是解题的关键．分两种情况：当点在延长线上时，当点在延长线上时，分别画图进行讨论，注意无法直接证明或，故需要作辅助线进行证明． 【详解】解：当点在延长线上时，如图， 过点作于点，过点作于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 当点在延长线上时，如图， 过点作于点，过点作于点， 同理可证：， ∴， ∴， 即； 综上，或， 故答案为：或． 6．如图所示，，的垂直平分线交于D，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．由，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得的度数，又由的垂直平分线交于D，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，在中，是中点，，垂足分别是、，，求证：是的角平分线 【答案】见解析 【分析】本题主要考查学生对角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用，关键是证明．先证明，再根据全等三角形的性质可得，证明，得到，最后根据角平分线的判定即可求解． 【详解】证明：是中点， ， ， ， 在和中 ， ， 即是的角平分线． 8．尺规作图，保留作图痕迹，不用写做法．已知，如图，点A在的一条边上，点B在的另一条边上，求作：    (1)的角平分线； (2)线段的垂直平分线，C为垂足，D为与的交点； (3)过A点作垂直于的直线，垂足为E． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； (3)图见详解． 【分析】本题考查了作图——作角平分线，线段的垂直平分线，过已知直线外一点作已知直线的垂线，熟知五种基本的尺规作图是正确解决本题的关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （3）根据垂线的作法作图即可． 【详解】（1）解：以O为圆心，以任意长为半径作弧，与角的两边交于G、H两点，分别以G、H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点I，过O、I作射线， 射线即为所求；    （2）解：分别以O、A为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点J，K，作直线，交于点C，交于点D， 直线即为所求；    （3）解：以A为圆心，以大于A到的距离为半径画弧，交于点M，N，分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点L，作直线，交于点E， 直线即为所求；    9．如图，是等边三角形，，是的角平分线，与相交于点，点在线段上，点在边上，且，连接，． (1)______，______； (2)判断和的数量关系，并说明理由； (3)求证：； (4)如图，若点是射线上任意一点，点在射线上，其它条件不变，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)见解析 (4)的度数为或 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，由四边形的内角和定理即可求解； （2）根据题意可证，得到，由含角的直角三角形的性质即可求解； （3）根据题意可证，由此即可求解； （4）根据题意，分类讨论：如图所示，当点在线段上时，，是等腰三角形；如图所示，当点在射线上时，，是等腰三角形；结合上述证明，运用角度的和差计算即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，是角平分线， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 故答案为：，； （2）解：∵是等边三角形，是角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得，，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （4）解：如图所示，当点在线段上时，，是等腰三角形， ∴， 由（3）的证明可得，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点在射线上时，，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）的证明可得， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理的运用，三角形外角的性质，等腰三角形的定义和性质等知识的综合，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 10．如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里． (1)求点与点之间的距离； (2)若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【答案】(1)点与点之间的距离为50海里 (2)有0.7小时可以接收到信号 【分析】本题考查了勾股定理的应用航海问题，方向角的应用，路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点与点之间的距离； （2）过点作交于点，在上取点，，使得海里，分别求得、的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数． 【详解】（1）解：由题意，得：，； ； 海里，海里； （海里）， 即：点与点之间的距离为50海里； （2）解：过点作交于点，在上取点，，使得海里． ； ； ； 海里； 海里； 海里； 行驶时间为（小时）． 答：有0.7小时可以接收到信号． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$