第一章 三角形的证明（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第一章 三角形的证明思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形的证明中的周长问题 【解惑】如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为12，，则的周长为（    ） A．7 B．14 C．17 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了基本作图，垂直平分线的作法与性质，由题意知，是线段的垂直平分线，则，由的周长为 ，则的周长为 ，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴ ， ∴的周长为20， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在中，和的外角平分线、交于点，于点．若，，，则的周长为(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质、连接，过点作于，，交的延长线于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式分别求出、，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于，，交的延长线于， 和的外角平分线、交于点，，于，， ， ， ， 解得：， ， ， ， 的周长， 故选：D． 2．如图，在中，与的平分线交于点O，过O点作，分别交、于D、．若，，则的周长是 ． 【答案】11 【分析】本题考查了角平分线定义、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点，学会通过题目中的条件推出的周长等于是解题的关键．根据角平分线定义和平行线性质得出，推出，同理得出，推出的周长等于，即可解答． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理得：， 的周长， ， ， ， ， ， 的周长是11． 故答案为：11． 3．已知和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形内．已知五边形的周长为18，则的周长为 ． 【答案】27 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质证出，得出，再根据五边形的周长为18进行等量代换得出，即可求解． 【详解】解：∵和是两个全等的等边三角形，也是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵五边形的周长为18， ∴， ∴， ∴， ∵也是等边三角形， ∴ ∴的周长为， 故答案为：27． 类型二、三角形的证明中的面积问题 【解惑】如图，在等腰三角形中，，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，则的面积是（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，等腰三角的性质，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，进而根据等腰三角形的性质得出，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∵，是边上的高，则 ∴ ∴ 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点D，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图、角平分线的性质、三角形的面积公式，首先过点作，由尺规作图可知是的平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，再利用三角形的面积公式求出的面积． 【详解】解：如下图所示，过点作， 由作图可知是的平分线， ， ， ， ． 故选：B． 2．如图，在中，，的平分线交于点D，的面积是15，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．过D作于E，根据角平分线性质求出，根据三角形的面积求出即可． 【详解】解：过D作于E， ∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵的面积是15， ∴， ∴ 故答案为：． 3．如图，中，，，，D为上的一动点，把沿翻折得到，连，当取最小值时，的面积是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查的是轴对称的性质，角平分线的性质．如图，由，当A、P、C三点共线时取等号，此时最小，过D作于G，作于F，，，由对折可得：，，可得，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，∵，当A，P，C三点共线时取等号，此时最小， 过D作于G，作于F，，， 由对折可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 类型三、手拉手——等腰三角形 【解惑】如图，在，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ）    A．4 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】由旋转的性质，可证都是等边三角形，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵将绕点C按逆时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，找到旋转角是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，已知与都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，绕顶点A旋转，连接．以下三个结论：①；②；③；其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】证明△BAD≌△CAE，由此判断①正确；由全等的性质得到∠ABD=∠ACE，求出∠ACE+∠DBC=45°，依据，推出，故判断②错误；设BD交CE于M，根据∠ACE+∠DBC=45°，∠ACB=45°，求出∠BMC=90°，即可判断③正确． 【详解】解：∵与都是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴，故①正确； ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ABD+∠DBC=45°， ∴∠ACE+∠DBC=45°， ∵， ∴， ∴不成立，故②错误； 设BD交CE于M， ∵∠ACE+∠DBC=45°，∠ACB=45°， ∴∠BMC=90°， ∴，故③正确， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，熟记三角形全等的判定定理及性质定理是解题的关键． 2．如图，等腰和等腰的腰长分别为4和2，其中，M为边的中点．若等腰绕点A旋转，则点B到点M的距离的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】连接．由三线合一得，利用勾股定理求出，然后利用三角形三条边的关系求解即可. 【详解】如图，连接． ∵M为边的中点，且为等腰直角三角形， ∴，． 在中，， 由勾股定理可知，即． 当A，B，M三点不共线时，由三角形的三边关系可知， 此时一定有；当A，B，M三点共线且点M不位于点A，B之间时，此时有， ∴， 即点B到点M的距离的最大值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，以及三角形三条边的关系，确定当A，B，M三点共线且点M不位于点A，B之间时有最大值是解题的关键． 3．如图1，在中，分别为的中点． (1)将绕点逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点，连接． ①判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②求的长； (2)如图3，若将绕点逆时针方向旋转一周，分别取的中点的中点，连接，则长度的最大值为____________，最小值为____________． 【答案】(1)①与的数量关系为，位置关系为．理由见解析；② (2)， 【分析】（1）①根据证明解题即可； ②设 在中，由勾股定理得解方程即可； （2）连接，，根据三角形的三边关系解题即可． 【详解】（1）解：①，，理由为： ∵， ， 分别为的中点， ∴， 即 ∵， 即， ∴， ∴， ，， ∵， ， ， ∴， ∴ ∴， 即：； ②中， ， ， 同理可求 ∵， ， 设 在中，由勾股定理得： 解得： (舍负) ， ； （2）连接，， ∵点M，N是和的中点， ∴，， 根据三角形的三边关系的应用可得：， 即， 即最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，三角形三边关系的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键． 类型四、手拉手——等边三角形 【解惑】如图，已知线段上有一动点，分别以、为边在同方向作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，平行线的判定，解本题的根据是判断出．由等边三角形的性质先判断出，，从而得出①②正确，再判断出得出③正确，再判断出，得出④错误，⑤正确． 【详解】解：等边和等边， ，，， ， ， 在和中 ， ， ，，故①②正确， 在和中 ， ， ，，故③正确 ， 是等边三角形， ， ， ；故⑤正确 是等边三角形， ， ， ．故④错误， 即：正确的有①②③⑤； 故选：B． 【融会贯通】 1．如图所示，在等边三角形内有一点D，连接、，以为边做一个等边三角形，连接，下列结论：①；②；③若，则；④若B、D、C三点共线，则，其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，即可得到，，判断①②，结合等边三角形的性质判断③④，即可得出结论． 【详解】解：∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，故①②正确； 若，则：， ∴， ∴，故③正确； 当B、D、C三点共线时，则点D在线段上，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 故不可能等于，故④错误； 综上：正确的有3个； 故选：C． 2．如图，已知是等边三角形，点D是内部一点，是等边三角形，连接，，．若是等腰直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】由等边三角形的性质得，，，则，即可根据“”证明，所以，再分三种情况讨论，一是，则，所以；二是，则；三是，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图1，是等腰直角三角形，且，则， ∴， ∴； 如图2，是等腰直角三角形，且， ∴； 如图3，是等腰直角三角形，且，则， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，证明是解题的关键． 3．如图，点O是等边内一点，，．以为边作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形？（直接写结论） 【答案】(1)详见解析 (2)直角三角形，理由见解析 (3)当为、、时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及判定定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用等边三角形的性质证明即可； （2）利用，得到 ，再分别求出、即可解答； （3）分三种情况讨论：①②③，即可解答． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形 ∴，，，即, 在和中 ∴； （2）解：直角三角形 ∵ ∴ ∵ ∴ ， ∴是直角三角形； （3）解：①当时， ∴ ∴   ∴ ②当时， ∴ ∴ ∴ ③当时， ∴ ∴ ∴ ∴当、、时，是等腰三角形． 类型五、等腰三角形的动点求t 【解惑】如图，在中，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． (1) ______（用含t的式子表示）； (2)当点Q在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，直接写出此时t的值：______． 【答案】(1) (2)不能 (3)11或12 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用t表示出即可求得； （2）当在上，，如图，，，则，，利用把的周长平分，再建立方程求解即可； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当在上，，如图， 而，， ∴，， ∵把的周长平分， ∴， 解得：，不符合题意舍去， ∴点Q在边上运动时．不能把的周长平分； （3）解：①当，如图1所示，    则， ∵， ∴． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当，如图2所示，    则， ∴， 综上所述：当t为11秒或12秒时，是以为腰的等腰三角形． 故答案为：11或12． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，、两点同时出发，当点运动到点时两点停止运动，设运动时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上运动时． 出发几秒后，是等腰三角形？ 能否把的周长平分？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (3)当点在边上运动时，若是等腰三角形，求满足条件的的值． 【答案】(1) (2)秒；不能，见解析； (3)秒或秒或秒． 【分析】（）根据题意即可用表示出； （）结合（），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； 当在上，，根据题意得，，，利用把的周长平分，再建立方程求解即可； （）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分，，三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值； 本题考查了列代数式，等腰三角形的性质，勾股定理，方程思想及分类讨论思想等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：； （2）解：当点在边上运动，，，为等腰三角形时， 即，解得， ∴出发秒后，是等腰三角形； 当在上，则，如图， 则，， ∴，， ∵把的周长平分， ∴， 解得：，舍去（不符合取值范围）， ∴点在边上运动时，不能把的周长平分； （3）解：∵，，， ∴， 当时，如图所示， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 当时，如图所示， 则， ∴（秒）， 当时，如图所示， 过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 综上所述：当为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 2．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点，过点作轴的平行线，分别交的图象于点，交的图象于点，连接． (1)求与的值； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，掌握一次函数的图像和性质是解题的关键是； （1）先把点A的坐标代入一次函数解析式进行求解，然后再代入正比例函数解析式进行求解即可； （2）由点的坐标可得出点、的坐标，进而可得出的长度，由的长度结合三角形的面积公式即可求出的面积； （3）假设存在，当点在轴上时，设点的坐标为，，分及两种情况考虑，根据两点间的距离公式结合等腰三角形的性质，即可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：把点代入一次函数得， 解得：， ∴， 把代入正比例函数得， ∴； （2）解：轴，， 把代入中， 解得：， ， 把代入中， 解得：， ， ， 又， ， ， （3）假设存在，当点在轴上时，设点的坐标为， ， ， 是以为腰的等腰三角形， 分及两种情况考虑； 当时，有， 解得：， 点的坐标为或 当时，有， 解得：，（舍去）， 点的坐标为或或 3．如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿射线方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)当秒时，求的长． (2)求出发时间为几秒时，点在中的角平分线上． (3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，求点的运动时间． 【答案】(1) (2)出发时间为5秒时，点在中的角平分线上； (3)秒或秒． 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）由题意可知，当秒时，，，再由勾股定理求解即可； （2）过点作于点，根据勾股定理，求出，证明，得到，，再根据勾股定理列方程求解即可； （3）分两种情况讨论：①当时，根据即可求解；②当时，过点作于点，得到，根据三角形面积公式和勾股定理，求出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，当秒时，，， ， ， 在中，； （2）解：如图，过点作于点， 在中，， ， 由题意可知，平分，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：， 即出发时间为5秒时，点在中的角平分线上； （3）解：由题意可知，当点在边上运动时，， ①当时，是以为腰的等腰三角形， ， ； ②当时，是以为腰的等腰三角形， 过点作于点， ， ， ， 在中，， ， ， 综上可知，若是以为腰的等腰三角形，点的运动时间为秒或秒． 类型六、直角三角形的动点求t 【解惑】如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为． (1)连接交于点，则在运动的过程中，__________； (2)当运动时间为多少时？是直角三角形． (3)如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】(1)； (2)当第秒或第秒时，为直角三角形； (3)不变． 【分析】（）由“”可证可得 ，由外角的性质可求； （）分两种情况当时，当时讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解； （）由“”可证可得，由三角形内角和定理可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）不变， ∵是等边三角形， ∴，， 又由条件得， 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）设时间为，则，, 当时， ∵， ∴， ∴，得，； 当时， ∵， ∴， ∴， 得，； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形； （3）不变， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又由条件得， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【融会贯通】 1．如图，等边的边长为，点，分别是边，上的动点，点，分别从顶点，同时出发，且它们的速度都为．设运动时间为秒． (1)如图，在，运动的过程中，能否成为直角三角形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时的值． (2)如图，连接，交于点．在点，运动的过程中，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)能，或 (2)的大小不变， 【分析】（1）根据题意得出，求出，根据等边三角形的性质得出，然后分两种情况讨论：当时，，根据含度角的直角三角形的性质得出，从而得出方程，求出方程的解即可；当时，，根据含度角的直角三角形的性质得出，从而得出方程，求出方程的解即可； （2）根据等边三角形的性质得出，，根据全等三角形的判定定理得出，根据全等三角形的性质定理得出，根据三角形外角的性质求出，再求出答案即可． 【详解】（1）解：能成为直角三角形， 理由如下： 由题意得：， ， 是等边三角形， ， 分两种情况： 当时， ， ， 即， 解得：； 当时， ， ， 即， 解得：； 综上所述：当或时，是直角三角形； （2）解：的大小不变， 理由如下： 是等边三角形， ，， 即， 在和中， ， ， ， ， 的大小不变，． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质，解一元一次方程，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．在中，， ，，点在上，且，过点作射线（与 在同侧），若动点从点出发， 沿射线匀速运动， 运动速度为，设点运动时间为 秒．连接、． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当于点时，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）本题考查全等三角形的判定，利用等角的余角相等得出，再结合题干的其他条件，即可解题． （2）本题与（1）问的证明类似，证得，再利用全等的性质得出线段的长，最后根据时间等于路程除以速度，即可解题． 【详解】（1）证明：如图①，， ， ， 又， ， 又， ， ， 又，， ， 在和中， ； （2）解：如图②，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 运动速度为， (秒)． 3．已知：如图，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．    (1)请判断的形状，并说明理由； (2)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)为直角三角形，理由见解析 (2)或 【分析】（1）根据，即可判断； （2）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）为直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：由题意知． ①当时，如图，点P与点C重合，，    ∴； ②当时，如图，，．    在中，， 在中，， 因此， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为或． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 类型七、等腰三角形中的新定义 【解惑】已知点，分别为射线和上的一动点（点，都不与点重合）．过点作一条直线与线段交于点，对于线段给出如下定义：若线段可以将拆分成两个等腰三角形，则称线段为的“腰剖线段”． (1)如图1，当，线段时，画出的“腰剖线段”，并写出此时______． (2)如图2，当线段时，若存在的“腰剖线段”，且，则的面积为______． (3)设．若存在的“腰剖线段”．直接写出的大小（数字或含的式子表示）． 【答案】(1)图见解析，50 (2) (3)或或或或． 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、勾股定理，理解题中定义，分类讨论是解答的关键是解答的关键． （1）根据题意，当点为线段中点时，为的“腰剖线段”，画出对应图形，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得； （2）根据题意可得，，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分类讨论，画出对应图形，结合等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∴， 则和是等腰三角形，且点D为线段的中点， 如图，为的“腰剖线段”， 此时，， 故答案为：50； （2）解：如图， ∵，存在的“腰剖线段”，点在线段上， ∴，， 在中，由得， ∴的面积为； （3）解：根据题意，分以下情况： ①当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴，则， ∴； ②当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴； ③当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴； ④当，时，为的“腰剖线段”， 此时，，， ∵， ∴， ∴； ⑤∵， ∴当时，，，此时，不存在为的“腰剖线段”； ⑥当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∵， ∴， ∴， ⑦∵， ∴当时，，，此时，不存在为的“腰剖线段”， 综上，满足条件的度数为或或或或． 【融会贯通】 1．定义：若一个三角形中有一个是直角，称此三角形为Ⅰ类美丽三角形； 若一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，称此三角形为Ⅱ类美丽三角形； 若一个三角形中有一个角是另一个角的3倍，称此三角形为Ⅲ类美丽三角形； Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形合称为美丽三角形． 如图1中的中，，则是Ⅰ类美丽三角形； 如图2中的中，，则是Ⅱ类美丽三角形； 如图3中的中，，则是Ⅲ类美丽三角形； 结论1：美丽三角形都可以用一条过某一顶点的直线分割成两个等腰三角形． （1）请在图1、2、3中分别用尺规作图作出分割线（不要求写作法，保留作图痕迹），并用字母表示出相等的边． （2）如图4，一个含有和角的三角形，再拼上一个三角形后就可以拼成一个美丽三角形，图5就是其中的一种拼法．请在该三角形的三边上各拼上一个三角形，使之成为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形各一个，在备用图中分别画出来并在图上标出所拼三角形的三个角的度数．（每边只能使用一次） 结论2：如果过一个等腰三角形某一顶点的直线可以把它分割成两个等腰三角形，那么这个三角形称为特美丽三角形． （3）请画出所有特美丽三角形，并画出分割线、标出图中相等的角并写出特美丽三角形顶角的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，或或或 【分析】本题属于三角形综合题，考查作图应用与设计，等腰三角形的判定和性质，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据美丽三角形的定义，画出分割线即可； （2）根据Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形的定义，画出三角形即可； （3）根据特美丽三角形的定义，分四种情形，分别画出图形求解即可． 【详解】解：（1）分割线如图所示：图1中，，；图2中，，；图3中．，； （2）拼接的三角形如图所示： （3）①如图，中，，，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ． ②如图中，中，，， ，， ， ， ， ． ③如图中，中，，， ，， ，， ， ， ， ， ． ④如图中，中，，，， 假设，， ， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，满足条件的顶角的度数为：或或或． 2．小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空．    【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形ABC中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”．与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． 【答案】问题1：1，30；问题2：，画图见详解 【分析】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化． 问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡角”的定义即可知其“布洛卡角”个数和角度； 问题2：根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到； 【详解】解：问题1：由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：，理由如下： ， ， ∵是的“布洛卡角”，是“布洛卡角”， ， ， 即， ， ， ， ．    3．【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，A是B，C两点的勾股点，B是A，C两点的勾股点，C是A，B两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上，线段上的8个格点中，是A，B两点的勾股点的有 个． （2）如图③，在中，，垂足为D，若，，求证：C是A，B两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是A、B两个点的强勾股点时，直接写出的长为 ． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，新定义，解题关键是对新定义的理解． （1）根据 “勾股点”的定义结合勾股定理及其逆定理可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图②， G，H，T，R四点与A，B能构成四个直角三角形， 图中A，B两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）证明： ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点C是A，B两点的强勾股点； （3）解：若点P是A，B两个顶点的强勾股点时，如图④， ∵，D是的中点， ∴， ∴． ，， ， 设， ， ， ， ； 的长为， 故答案为： 类型八、角平分线与垂直平分线结合应用 【解惑】如图，在 中，，平分，于点E， 连接，交于点F． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)2.5 【分析】(1)根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； (2)利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再利用(1)的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ,， 是线段的垂直平分线； （2）解：平分， ， 在中，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为2.5． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解决此题的关键． 【融会贯通】 1．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于，于．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、，   点在的垂直平分线上， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ∵ ， 即， 解得． 2．如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为11． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和角平分线性质得出，，证明，即可得出结论； （2）证明，可得，然后求出的周长为，计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的中垂线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴的周长为： ． 3．已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型九、无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一格点，连结，使线段； (2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是_______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析；或或 【分析】本题考查网格作图，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）使为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边即可； （2）结合等腰三角形的判定与性质，使，，且边上的高为2或者即可； （3）使和都是直角边分别为3和4的直角三角形的斜边或者沿网格线画，为直角边分别为3和4的直角三角形的斜边即可． 【详解】（1）解：使为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边，如下图即为所求， （2）解：使，，且边上的高为2或者，如下图即为所求， （3）解：使和都是直角边分别为3和4的直角三角形的斜边或者沿网格线画，为直角边分别为3和4的直角三角形的斜边，如下图即为所求， 图① 图② 图③ 故答案为：或或． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．按要求完成下列问题，要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图． (1)在图①中画出一个格点，使是等腰三角形，且面积为3． (2)在图②中画出一个格点，使是以为腰的等腰直角三角形． (3)在图③中画出一个格点，使是等腰直角三角形，且面积为2.5． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，熟练掌握三角形面积公式、勾股定理、等腰三角形的定义是解题关键． （1）取格点，连接，结合，可知该三角形为等腰三角形，且，即可获得答案； （2）取格点，连接，结合，，可知该三角形为等腰直角三角形，即可获得答案； （3）取格点，连接，结合，，可知该三角形为等腰直角三角形，且，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）如下图，即为所求； （3）如下图，即为所求． 2．如图，在的长方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段和三角形的顶点都在格点上．请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留画图痕迹（作图结果用实线表示，作图过程用虚线表示）； (1)画出的高； (2)在线段右侧找一点，使得； (3)在（2）的条件下，在线段上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形内角和定理： （1）如图所示，取格点M，连接交于H，则线段即为所求； （2）如图所示，格点F即为所求； （3）如图所示，取格点P，连接交于G，点G即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，取格点M，连接交于H，则线段即为所求； 可证明，根据全等三角形的性质和三角形内角和定理可证明； （2）解：如图所示，格点F即为所求； 可利用证明； （3）解：如图所示，取格点P，连接交于G，点G即为所求； 可证明是等腰直角三角形，则，即． 3．已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E，使 ； ②直接写出 的度数 ． (2)如图2，点A、B、C均在格点上，依照（1）中方法在上作点 M，使． 【答案】(1)①见解析 ② (2)见解析 【分析】（1）①根据格点特点把向上平移1格即可；②先证明为等腰直角三角形，再利用平行线的性质可得答案； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 【详解】（1）解∶  ①如图1中， 直线即为所求； ②∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 理由：同理可得：，， 而， ∴． 【点睛】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用网格特点作图是解本题的关键． 类型十、阅读理解和迁移探究题 【解惑】（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q，使得； ②再连接，把、、集中在中；根据小明的方法，请直接写出图1中的取值范围是 ___________． （2）如图2，在中，为中线，F为上一点，、交于点E，且． ①试探究线段、、之间的数量关系，并证明； ②若，求的度数． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；② 【分析】（1）先证，推出，再利用三角形三边关系求解； （2）①延长至点G，使，连接，先证明，即可得出，再根据，得出，最后根据等角对等边，即可求证，再结合即可得结论； ②在上截取，则，结合，可知，，可证，得，进而可知， 可得，证得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：（1）延长到Q，使得，再连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）①， 证明：延长至点G，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； ②在上截取，则， ∴， ∴， 由①，可知，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，等边对等角，等边三角形的判定及性质，解题的关键是正确做出作辅助线，构造全等三角形． 【融会贯通】 1．【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点D，则是等腰三角形，请给出证明； （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则______是等腰三角形； （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作______，交的延长线于点D，则是等腰三角形； 【解决问题】 （4）如图④，在中，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）（3）（4）见解析 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等角对等边证明三角形为等边三角形，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，推出，即可得证； （2）利用等边对等角，三角形的外角，推出，即可得出结论； （3）根据等角对等边，证明是等腰三角形即可； （4）延长至点，使，取的中点，连接，证明，进而证明，推出为等边三角形，求出，利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：； （3）作，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）延长至点，使，取的中点，连接， 则：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 2．【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）120 【分析】（1）如图①：延长，使，先证明得到，，进而证得，再证明得到，进而可证得结论； （2）如图②：在上截取，连接，先由为等腰直角三角形可得，再证明可得，再证明是等边三角形可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； （3）如图③：先证明得到，；结合已知得到，证明得到，进而可得，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，延长，使， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：数量关系：，理由如下： 如图②：在上截取，连接， 为等边三角形， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ． 是的平分线， ， ∴是等边三角形， ； （3）解：如图③，在上截取， ∵，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴，； ∵，， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识点，灵活添加辅助线，运用相关性质、定理是解题的关键． 3．【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在中，点是边上任意一点，作射线，点、分别在线段、上．将折叠，使点落在点处，点落在点处，点、均在射线上，折痕分别为和．设，． 【问题探究】当点、均在线段上时，试求、与之间的数量关系．（不必作答） 【问题解决】 （1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令，若点恰好与点重合，此时________，若点在线段上，当时，________． （2）合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问题，如图①．当点，均在线段上时，试证明：． 【迁移应用】 （3）在背景呈现的条件下，解答下列问题： ①如图③，当点、均在线段的延长线上时，试求、与之间的数量关系； ②若，点，在射线上，且位于点异侧，当时，________． 【答案】（1）45，40；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）利用三角形外角，等腰三角形的判定与性质进行计算即可； （2）利用三角形和轴对称图形的知识进行证明即可； （3）①由三角形外角得，，故，即，再换算即可． ②由三角形外角得，，故，又，再换算即可． 【详解】解：问题解决（1），若点恰好与点重合， 为等腰直角三角形， ； ， ， ， 故答案为：45，40； （2）， ． 是的外角， ， ． 又由折叠可知，， ． 同理：． ． ， 即． 迁移应用（3）①， 理由： ，， ， ， 即， ， ． ②如图： ，， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），轴对称图形，三角形外角性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，利用对称是解答关键． 【一览众山小】 1．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得可判定D，由于不是的垂直平分线，不能证明． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得，可以理解成是平角的角平分线， ∴，是的平分线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵不是的垂直平分线，故不能证明， 综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出，是的平分线． 2．如图，在中，，若，以点A为圆心，任意长为半径面弧、交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于为半径画弧、交于点P，作射线交于点D，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的计算，直角三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本作图及三角形外角的性质．先求出，再求出，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知：平分， ， 故选：C 3．如图，在中，，．用尺规作图在内部作出一个角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图作角平分线，与角平分线有关的三角形内角和，三角形外角的性质，由作图痕迹可得、分别平分，，得到，，最后根据求解即可． 【详解】解：如图， 由作图痕迹可得、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．将一张等边三角形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ． 【答案】/21度 【分析】本题考查角的计算，折叠的性质，设，就可以表示出，继续表示，最后用就可以求出答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，，； 设； ； ； ∴； ； ； ； 故答案为：． 5．如图，在中，，，点D在边AB上，并且，连接，则为 ． 【答案】10 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，根据等边对等角，得到，根据三角形的外角求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：10． 6．如图，在四边形中，，，，连接，，垂足为C，并且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，根据角平分线的性质，得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴平分， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 7．如图，在中，． (1)用无刻度的直尺与圆规作图：在上取一点，使得； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质． （1）作线段的垂直平分线，交于点E，则点E即为所求； （2）由（1）可知，，可得，进而可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点E，连接， 则， ∴， 则点E即为所求； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 8．在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点（不与点B重合，且），在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为 ； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明； (2)当点C在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①补全图1，先证明是等边三角形，得出，，再利用全等三角形判定推出，即可得出结论；②在上截取，连接，先证明和都是等边三角形，得出，再通过证明得出，结合图形即可得出结论； （2）分两类情况：点在线段、延长线上，作出同（1）中的辅助线，由（1）中的结论得，，，再根据线段的和差进行等量代换即可解答． 【详解】（1）①解：补全图1如下： ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：． ②证明：在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， 同理可得，也是等边三角形， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）解：若点在线段上，如图3，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 若点在延长线上，如图4，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 综上所述，数量关系为或． 9．在中，，，是的中点．点是上的点，将沿所在的直线对折，记点的对应点为． (1)当时，请补全图形，并求的度数． (2)当点落在直线上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握等边对等角，三角形的内角和定理以及平行线的性质是解题的关键． （1）由折叠得，，，根据平行线的性质得，从而，于是利用三角形的内角和定理即可得解； （2）与相交时，令交点为，然后分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由折叠得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：当与相交时，令交点为， 当时，设， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，设， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当与相交时，，不符合题意， 当落在上时， 当落在上时，如图， ∵是的中点， ∴， 由折叠得 ∴ ∴， ∴； ∴， 此时，重叠部分不是等腰三角形，不符合题意， 当不落在上时，重叠部分不为等腰三角形，不符合题意， 综上所述，的度数为或． 10．已知等腰直角三角形，其中，．在上方作射线交于点D，使，E为射线上的一个动点，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，过点C作，且，连接与射线交于点G．求证：． (3)在图2的基础上，连接．点E在射线上运动的过程中，当所在直线与的边所在直线垂直时，请直接写出的度数． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据垂直的定义得到，再根据30度的直角三角形即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论； （3）分情况讨论，当时；当时，点D与点E重合；当时；三种情况分别计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在直角三角形中，． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当时，如图， 又∵， ∴， ∴， ∵由（1）可知， ∴， 又∵，且， ∴， ∴； ②当时，如图，此时两点重合， ； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴综上，的度数为或或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形基本性质，全等三角形证明及及性质，三角形内角和定理，平行线的证明及性质等，是三角形的综合题，能够进行分类讨论是解题关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形的证明中的周长问题 【解惑】如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为12，，则的周长为（    ） A．7 B．14 C．17 D．20 【融会贯通】 1．如图，在中，和的外角平分线、交于点，于点．若，，，则的周长为(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 2．如图，在中，与的平分线交于点O，过O点作，分别交、于D、．若，，则的周长是 ． 3．已知和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形内．已知五边形的周长为18，则的周长为 ． 类型二、三角形的证明中的面积问题 【解惑】如图，在等腰三角形中，，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，则的面积是（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【融会贯通】 1．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点D，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，的平分线交于点D，的面积是15，则 ． 3．如图，中，，，，D为上的一动点，把沿翻折得到，连，当取最小值时，的面积是 ．    类型三、手拉手——等腰三角形 【解惑】如图，在，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ）    A．4 B．2 C．3 D． 【融会贯通】 1．如图，已知与都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，绕顶点A旋转，连接．以下三个结论：①；②；③；其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 2．如图，等腰和等腰的腰长分别为4和2，其中，M为边的中点．若等腰绕点A旋转，则点B到点M的距离的最大值为 ． 3．如图1，在中，分别为的中点． (1)将绕点逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点，连接． ①判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②求的长； (2)如图3，若将绕点逆时针方向旋转一周，分别取的中点的中点，连接，则长度的最大值为____________，最小值为____________． 类型四、手拉手——等边三角形 【解惑】如图，已知线段上有一动点，分别以、为边在同方向作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【融会贯通】 1．如图所示，在等边三角形内有一点D，连接、，以为边做一个等边三角形，连接，下列结论：①；②；③若，则；④若B、D、C三点共线，则，其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知是等边三角形，点D是内部一点，是等边三角形，连接，，．若是等腰直角三角形，则的度数为 ． 3．如图，点O是等边内一点，，．以为边作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形？（直接写结论） 类型五、等腰三角形的动点求t 【解惑】如图，在中，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． (1) ______（用含t的式子表示）； (2)当点Q在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，直接写出此时t的值：______． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，、两点同时出发，当点运动到点时两点停止运动，设运动时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上运动时． 出发几秒后，是等腰三角形？ 能否把的周长平分？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (3)当点在边上运动时，若是等腰三角形，求满足条件的的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点，过点作轴的平行线，分别交的图象于点，交的图象于点，连接． (1)求与的值； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿射线方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)当秒时，求的长． (2)求出发时间为几秒时，点在中的角平分线上． (3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，求点的运动时间． 类型六、直角三角形的动点求t 【解惑】如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为． (1)连接交于点，则在运动的过程中，__________； (2)当运动时间为多少时？是直角三角形． (3)如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【融会贯通】 1．如图，等边的边长为，点，分别是边，上的动点，点，分别从顶点，同时出发，且它们的速度都为．设运动时间为秒． (1)如图，在，运动的过程中，能否成为直角三角形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时的值． (2)如图，连接，交于点．在点，运动的过程中，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． 2．在中，， ，，点在上，且，过点作射线（与 在同侧），若动点从点出发， 沿射线匀速运动， 运动速度为，设点运动时间为 秒．连接、． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当于点时，求此时的值． 3．已知：如图，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．    (1)请判断的形状，并说明理由； (2)当为直角三角形时，求的值． 类型七、等腰三角形中的新定义 【解惑】已知点，分别为射线和上的一动点（点，都不与点重合）．过点作一条直线与线段交于点，对于线段给出如下定义：若线段可以将拆分成两个等腰三角形，则称线段为的“腰剖线段”． (1)如图1，当，线段时，画出的“腰剖线段”，并写出此时______． (2)如图2，当线段时，若存在的“腰剖线段”，且，则的面积为______． (3)设．若存在的“腰剖线段”．直接写出的大小（数字或含的式子表示）． 【融会贯通】 1．定义：若一个三角形中有一个是直角，称此三角形为Ⅰ类美丽三角形； 若一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，称此三角形为Ⅱ类美丽三角形； 若一个三角形中有一个角是另一个角的3倍，称此三角形为Ⅲ类美丽三角形； Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形合称为美丽三角形． 如图1中的中，，则是Ⅰ类美丽三角形； 如图2中的中，，则是Ⅱ类美丽三角形； 如图3中的中，，则是Ⅲ类美丽三角形； 结论1：美丽三角形都可以用一条过某一顶点的直线分割成两个等腰三角形． （1）请在图1、2、3中分别用尺规作图作出分割线（不要求写作法，保留作图痕迹），并用字母表示出相等的边． （2）如图4，一个含有和角的三角形，再拼上一个三角形后就可以拼成一个美丽三角形，图5就是其中的一种拼法．请在该三角形的三边上各拼上一个三角形，使之成为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形各一个，在备用图中分别画出来并在图上标出所拼三角形的三个角的度数．（每边只能使用一次） 结论2：如果过一个等腰三角形某一顶点的直线可以把它分割成两个等腰三角形，那么这个三角形称为特美丽三角形． （3）请画出所有特美丽三角形，并画出分割线、标出图中相等的角并写出特美丽三角形顶角的度数． 2．小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空．    【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形ABC中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”．与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． 3．【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，A是B，C两点的勾股点，B是A，C两点的勾股点，C是A，B两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上，线段上的8个格点中，是A，B两点的勾股点的有 个． （2）如图③，在中，，垂足为D，若，，求证：C是A，B两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是A、B两个点的强勾股点时，直接写出的长为 ． 类型八、角平分线与垂直平分线结合应用 【解惑】如图，在 中，，平分，于点E， 连接，交于点F． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，，求的长． 【融会贯通】 1．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于，于．    (1)求证：； (2)若，求的长． 2．如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 3．已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 类型九、无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一格点，连结，使线段； (2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是_______． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．按要求完成下列问题，要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图． (1)在图①中画出一个格点，使是等腰三角形，且面积为3． (2)在图②中画出一个格点，使是以为腰的等腰直角三角形． (3)在图③中画出一个格点，使是等腰直角三角形，且面积为2.5． 2．如图，在的长方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段和三角形的顶点都在格点上．请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留画图痕迹（作图结果用实线表示，作图过程用虚线表示）； (1)画出的高； (2)在线段右侧找一点，使得； (3)在（2）的条件下，在线段上找一点，使． 3．已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E，使 ； ②直接写出 的度数 ． (2)如图2，点A、B、C均在格点上，依照（1）中方法在上作点 M，使． 类型十、阅读理解和迁移探究题 【解惑】（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q，使得； ②再连接，把、、集中在中；根据小明的方法，请直接写出图1中的取值范围是 ___________． （2）如图2，在中，为中线，F为上一点，、交于点E，且． ①试探究线段、、之间的数量关系，并证明； ②若，求的度数． 【融会贯通】 1．【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点D，则是等腰三角形，请给出证明； （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则______是等腰三角形； （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作______，交的延长线于点D，则是等腰三角形； 【解决问题】 （4）如图④，在中，，，求证：． 2．【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 3．【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在中，点是边上任意一点，作射线，点、分别在线段、上．将折叠，使点落在点处，点落在点处，点、均在射线上，折痕分别为和．设，． 【问题探究】当点、均在线段上时，试求、与之间的数量关系．（不必作答） 【问题解决】 （1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令，若点恰好与点重合，此时________，若点在线段上，当时，________． （2）合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问题，如图①．当点，均在线段上时，试证明：． 【迁移应用】 （3）在背景呈现的条件下，解答下列问题： ①如图③，当点、均在线段的延长线上时，试求、与之间的数量关系； ②若，点，在射线上，且位于点异侧，当时，________． 【一览众山小】 1．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，若，以点A为圆心，任意长为半径面弧、交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于为半径画弧、交于点P，作射线交于点D，则的度数为（） A． B． C． D． 3．如图，在中，，．用尺规作图在内部作出一个角，则（   ） A． B． C． D． 4．将一张等边三角形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ． 5．如图，在中，，，点D在边AB上，并且，连接，则为 ． 6．如图，在四边形中，，，，连接，，垂足为C，并且，则 ． 7．如图，在中，． (1)用无刻度的直尺与圆规作图：在上取一点，使得； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 8．在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点（不与点B重合，且），在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为 ； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明； (2)当点C在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 9．在中，，，是的中点．点是上的点，将沿所在的直线对折，记点的对应点为． (1)当时，请补全图形，并求的度数． (2)当点落在直线上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求的度数． 10．已知等腰直角三角形，其中，．在上方作射线交于点D，使，E为射线上的一个动点，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，过点C作，且，连接与射线交于点G．求证：． (3)在图2的基础上，连接．点E在射线上运动的过程中，当所在直线与的边所在直线垂直时，请直接写出的度数． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$