精品解析：辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷

2024-2025学年度上学期期末考试高二年级数学科试卷 命题学校：辽宁省实验中学 命题人：张海平 陈秋颖 校对人：张海平 陈秋颖 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入点可得，即可得抛物线方程为，进而可得准线方程. 【详解】因为点在抛物线上，则， 可得抛物线，即， 可知，且焦点在y轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为. 故选：D. 2. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两平行线间的距离求解即可. 【详解】直线化为：， 所以直线与直线之间的距离为： . 故选：B. 3. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，又 则公共弦长为． 故选：C． 4. 的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 120 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】由二项式展开式通项公式可得答案. 【详解】的展开式中的第项为：. 令，则常数项为. 故选：D. 5. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【详解】由知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 即实数的取值范围为. 故选：B. 6. 如图，二面角等于，，是棱上两点，，，且，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，得， 又因为， 所以 ， 所以，即. 故选：D. 7. 过倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，且满足，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得直线的方程为，设，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，由，可得，求解可得抛物线方程. 【详解】过倾斜角为的直线的方程为，设， 联立，消去，可得， 所以， 又，所以，所以， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 故选：A. 8. 已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（ ） A. B. C. D. （2，0） 【答案】B 【解析】 【分析】设直线方程为，，联立方程组结合韦达定理可得，设长轴上的点，可得，可求定点的坐标，验证斜率为0的情况即可. 【详解】椭圆，直线过右焦点， 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，， 由，消去得，， 整理得，所以， 设长轴上的点， 可得， 所以 ， 当且仅当时，即时， 为定值，此时点坐标为， 当直线直线的斜率为0时，，计算可得， 所以在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，且点坐标为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题时主要是由题中一个量（本题是数量积）与参数无关，解决此类问题，关键是要选定一个参数（参数可以是直线的斜率、截距，可以是动点坐标等），使用参数表示题中变化的量，再用这些变化的量表示题中不变的量，求得与参数无关，完成求解． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断A；利用空间向量法证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断BCD. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. A：， 所以，故A正确； B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即， 又平面，所以平面，故B正确； C：，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； D：设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 得，所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD 10. 在圆锥曲线（包括椭圆、双曲线和抛物线）中，曲线上任意一点到焦点的连线段称为焦半径.则下列选项正确的为（ ） A. 椭圆以焦半径为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆相内切. B. 双曲线以焦半径为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆相外切. C. 抛物线以焦半径为直径的圆与轴相切. D. 抛物线以焦半径为直径的圆与准线相切. 【答案】AC 【解析】 【分析】设椭圆的方程为，分别是椭圆的左右焦点，计算可求得两圆心之间的距离为圆半径之差判断A；分在左右两支上结合双曲线的定义计算可判断B；设点点坐标为，计算可得为直径的圆的半径为，可判断D. 【详解】对于A，设椭圆的方程为，分别是椭圆的左右焦点， 作出以线段为直径的圆和以长轴为直径的圆，如图所示． 设中点为，连结，∴是的中位线，可得， 即两圆的圆心距为，|根据椭圆的定义，可得， 所以圆心距， 即两圆的圆心距等于它们半径之差，因此，以为直径的圆与以长半轴为直径的圆相内切．故A正确； 对于B，设以实轴为直径的圆的圆心为，其半径， 线段为直径的圆的圆心为，其半径为， 当在双曲线左支上时，， 所以，所以，所以两圆内切． 当P在双曲线右支上时，， 所以，所以， 所以两圆外切．故B错误； 对于CD，抛物线的焦点的坐标为，设点点坐标为， 则以为直径的圆的圆心是， 根据抛物线的定义与到直线是等距离的， 所以为直径的圆的半径为，因此以为直径的圆与轴相切，故C正确，D错误. 故选：AC. 11. 如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且，共焦点，离心率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 若，则 C. D. 若，则的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.利用椭圆和双曲线的定义，即可求解；BD.应用余弦定理整理可设设，，结合三角知识判断BD；C.分别在椭圆和双曲线中，在焦点三角形中，应用余弦定理表示，建立等量关系，即可判断. 【详解】A.由题意可知，，， 得，故A正确； BD.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为， 根据余弦定理，， 整理为，可得， 设，， 则，可得，即， 因为，故B错误； 又因为， 当，即时，取到最大值，故D正确； C. 在椭圆中，， ， 整理为， 在双曲线中，， 整理为， 所以，即， 而，则，故C正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确应用椭圆和双曲线的定义，并在两个曲线中正确表示离心率，以及焦点三角形中应用余弦定理. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 反比例函数的图像是双曲线，则这个双曲线的一个焦点坐标为_____． 【答案】（或） 【解析】 【分析】结合双曲线性质，计算双曲线的半实轴长及半虚轴长即可得其半焦距，即可得其焦点坐标. 【详解】由双曲线的渐近线为轴与轴，对称轴为，且其焦点在上， 联立方程，解得或， 即其两顶点坐标分别为，，可知其实半轴长为， 且双曲线的渐近线相互垂直，可知双曲线为等轴双曲线， 故其虚半轴长为4，可知其半焦距为， 故其焦点坐标分别为，. 故答案为：（或）. 13. 点是椭圆上任意一点，点是圆上任意一点，求的取值范围_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质可得，设，结合两点间距离公式求的最值，即可得结果. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为点是圆上任意一点， 则，即， 又因为点是椭圆上任意一点，设， 可得， 当时，取到最小值； 当时，取到最大值5； 可得，所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 抛物线的一条弦的长度为10，过，两点分别做抛物线的切线交于点，则面积的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设弦所在直线方程为，联立方程，利用弦长求得，进而求得的切线方程，进而求得交点的坐标，求得点到直线距离的最大值，可求得最大面积. 【详解】因直线的斜率显然不为0，设弦所在直线方程为，， 联方，消去得， 所以， 由弦长公式可得， 化简整理得，所以， 设抛物线的一条切线方程为， 联立可得，消去得， 所以，解得，代入方程可得， 解得，所以， 所以抛物线在处的切线方程为，在处的切线方程为， 联立，解得且， 又，所以交点的坐标为， 所以点到直线的距离为 ， 当时，，所以面积的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设弦所在直线方程为，先利用弦长找到的关系，进而求得点与，从而可求得点到直线的距离的最大值，求得最大面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从，，等8人中选出5人排成一排． （1）必须在内，有多少种排法? （2），都在内，且排在前面，有多少种排法? （3），，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? （4）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 【答案】（1）4200 （2）1200 （3）240 （4）4440 【解析】 【分析】（1）只需从余下的7人中选4人出来排列即可； （2）先从余下的6人中选出3人与、的全排列，再消去、两人间的排序即可求得所有排列数； （3）先从余下5人中选2人有种不同结果，由于、必须相邻，与、都不相邻，利用捆绑法、插空法即可解决； （4）分所选的5人无、；有、无；无、有；有、，四种情况讨论即可. 【小问1详解】 由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果， 再将这4人与进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法. 【小问2详解】 由题意，先从余下的6人中选3人共有种不同结果， 再将这3人与、的进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法， 又、之间的排列有， 所以排在前面，有种不同排法. 【小问3详解】 因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果， ，必须相邻，有种不同排法， 由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法， 再将、这个整体与插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法， 由乘法原理可得共有种不同排法. 【小问4详解】 分四类：第一类：所选的5人无、，共有种排法； 第二类：所选的5人有、无，共有种排法； 第三类：所选的5人无、有，共有种排法； 第四类：所选的5人有、，若A排中间时，有种排法， 若不排中间时，有种排法， 共有种排法； 综上，共有种不同排法. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形是梯形，且，点G是的重心，与交于点M． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，利用面面垂直，可得平面； （2）连接并延长，交于点N，连接，根据题中的条件可得，得到，再利用线面平行的判定定理即可证明平面； （3）以D为坐标原点，所在直线为x轴，y轴，过点D且与平行 直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求面面角. 【小问1详解】 在中，， 所以，所以， 因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接并延长，交于点N，连接， 因为点G是的重心，所以N是的中点，且， 在梯形中，因为，且， 所以，则， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问3详解】 取的中点H，连接， 在中，，所以且， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 由（1）知， 则以D为坐标原点，所在直线为x轴，y轴， 过点D且与平行 直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题知， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 令，则，，故， 又平面，则为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为θ， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 已知椭圆焦距为2，离心率等于 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的弦，，其中，在轴的上方，且在的右侧，设弦，的中点分别为M，N． ①若弦，的斜率均存在，求的最小值； ②为坐标原点，试探究：与的面积之比是否为定值?若是，请求出此值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②与的面积之比为定值，定值为 【解析】 【分析】（1）根据焦距得到的值，再根据离心率以及求得的值； （2）①设出直线方程以及点的坐标，联立分别求得弦长，可得，结合基本不等式运算求解；②根据①表示出的坐标，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，可得到定点，进而分析面积之比. 【小问1详解】 由题意可知，，可得， 则，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①设，则 联立方程，消去x可得， 则， 由弦长公式可得：， 用代替可得， 可得， 则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为； ②因为，可得， 则，由代替m得， 当，即时，，过点； 当，即时，， 则， 当时，，经验证直线过点， 综上，直线恒过点. 设到直线的距离分别为，则， 可得. 所以与的面积之比为定值，定值为. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 1.数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解； 2.构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 18. 如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且. （1）求证：平面； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处 【解析】 【分析】（1）利用中位线定与与平行线的传递性，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）利用勾股定理与线面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，再分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量法求面面角的方法即可得解； （3）先利用线面平行的性质定理分析得在上，假设，再利用线面角的空间向量法分析得与平面所成的角时的值，从而得解. 【小问1详解】 取BD中点，连接PO， 是BM的中点，，且， 在线段CD上取点，使，连接OF，QF， ，，且， ，四边形POFQ为平行四边形，， 又平面平面，平面. 【小问2详解】 ，则，， 取BD中点，则，又平面，平面BCD， 以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 则，，， ，所以， 故， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM， ， 点为内动点且平面QGM， 又平面ABD，平面平面， ，故点在OM上， 设，又，，， 则， ， 易知平面的一个法向量为， 设QG与平面所成角为，则最大时，最大， ， 所以当时，最大，此时最大， 即当点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，QG与平面所成角最大. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 19. 双曲线中垂直于实轴的动弦，，为双曲线的两个顶点，直线与交点的轨迹为椭圆. （1）求椭圆的方程； （2）且为椭圆上一点，，为椭圆两个动点，直线的斜率和直线的斜率互为相反数，点关于轴的对称点为，为中点，为坐标原点.证明：，，三点共线. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设，写出直线和的方程，再相乘得，结合点在双曲线上即可得到椭圆方程； （2）设，直线的斜率为，写出相关直线方程，再联立椭圆方程，解出，计算相关斜率得，再利用点差法得，则，即证明三点共线. 【小问1详解】 ，设， 设为曲线上任意一点，则，， 则直线的方程：① 直线的方程：② 由①②得， 在双曲线上，， ， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，直线的斜率为， 则直线，直线， 联立，得，其中， ，同理， ， ， 设， ，两式作差得， ，， 三点共线. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是通过设点法，得到相关直线方程，再联立椭圆方程得到相关点横坐标，再计算证明得即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期期末考试高二年级数学科试卷 命题学校：辽宁省实验中学 命题人：张海平 陈秋颖 校对人：张海平 陈秋颖 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 120 D. 60 5. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二面角等于，，是棱上两点，，，且，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 7. 过倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，且满足，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（ ） A. B. C. D. （2，0） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 10. 在圆锥曲线（包括椭圆、双曲线和抛物线）中，曲线上任意一点到焦点的连线段称为焦半径.则下列选项正确的为（ ） A. 椭圆以焦半径为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆相内切. B. 双曲线以焦半径为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆相外切. C. 抛物线以焦半径为直径的圆与轴相切. D. 抛物线以焦半径为直径的圆与准线相切. 11. 如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且，共焦点，离心率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 若，则 C. D. 若，则的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 反比例函数的图像是双曲线，则这个双曲线的一个焦点坐标为_____． 13. 点是椭圆上任意一点，点是圆上任意一点，求的取值范围_____． 14. 抛物线的一条弦的长度为10，过，两点分别做抛物线的切线交于点，则面积的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从，，等8人中选出5人排成一排． （1）必须在内，有多少种排法? （2），都在内，且排在前面，有多少种排法? （3），，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? （4）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形是梯形，且，点G是的重心，与交于点M． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知椭圆焦距为2，离心率等于 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的弦，，其中，在轴的上方，且在的右侧，设弦，的中点分别为M，N． ①若弦，的斜率均存在，求的最小值； ②为坐标原点，试探究：与的面积之比是否为定值?若是，请求出此值；若不是，请说明理由. 18. 如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且. （1）求证：平面； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 19. 双曲线中垂直于实轴的动弦，，为双曲线的两个顶点，直线与交点的轨迹为椭圆. （1）求椭圆的方程； （2）且为椭圆上一点，，为椭圆两个动点，直线的斜率和直线的斜率互为相反数，点关于轴的对称点为，为中点，为坐标原点.证明：，，三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $