精品解析：湖南省长沙市雨花区2024-2025学年八年级上学期1月期末联考数学试题

2024年下学期期末质量监测试卷八年级数学 注意事项： 1、答题前，请者生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 等于（ ） A. B. C. 1 D. 2. 国际数学家大会每四年举行一次， 是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议． 下列四个图形分别是四届大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果分式的值为0，那么的值是（ ） A. 0 B. 5 C. D. 5. 若x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项，则m的值是（ ） A. ﹣5 B. 0 C. 1 D. 5 6. 若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 已知点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形内角和等于180度 C. 三角形具有稳定性 D. 两边之和大于第三边 9. 如图，已知在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. 4 B. 10 C. 16 D. 20 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 12. 经测算，一粒芝麻的质量约为，将1粒芝麻的质量用科学记数法表示约为_____． 13. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 14. 如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，则的面积是_____． 15. 如图，在中，，点D在上，连接，若，，则的度数为 ________ ． 16. 与的小数部分分别为a和b，则（a+3）（b-4）的值______ ． 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，中，平分，且平分，于，于． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 21. 已知，求下列各式的值． （1）； （2） 22. 某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元． （1）此商品的进价是多少元？ （2）前两个月销售了该商品一共多少件？ 23. 有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2． （1）若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，正方形A，B的面积之和为 ． （2）小明想要拼一个两边长分别为和的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形多少个？ （3）在（1）的条件下，三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 24. 如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． （1）写出一个30到50之间的“正巧数”； （2）设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． （3）m，n为正整数，且，若是“正巧数”． ①求的值； ②若是“正巧数”，请说明是“正巧数”． 25. 【问题解决】 （1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______________； 【类比探究】 （2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式； 【拓展应用】 （3）如图③，AC=BC，∠ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期期末质量监测试卷八年级数学 注意事项： 1、答题前，请者生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负指数幂的计算，根据计算即可求解，掌握负指数幂的计算方法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B ． 2. 国际数学家大会每四年举行一次， 是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议． 下列四个图形分别是四届大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：观察图形，只有D选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿着直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形； 故选D． 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断． 【详解】解：A. ,本选项不成立； B. ，本选项不成立； C. =，本选项不成立； D. ，本选项成立. 故选：D. 【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键． 4. 如果分式的值为0，那么的值是（ ） A. 0 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意，可知且，从而解得答案． 【详解】解：分式的值为0 且 故选：B． 5. 若x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项，则m的值是（ ） A. ﹣5 B. 0 C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式法则求出（x+m）（x﹣5）=x2+（m﹣5）x﹣5m，根据已知得出m﹣5=0，求出即可． 【详解】解：（x+m）（x﹣5）=x2+（m﹣5）x﹣5m， ∵x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项， ∴m﹣5=0， 解得：m=5， 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式和解一元一次方程，能正确根据多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键． 6. 若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据正多边形的外角和为360°求解即可． 【详解】解：∵正多边形的外角和为360°，每一个外角都相等， ∵正多边形的内角是120°，则其每个外角是60°， ∴边数为：， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的外角和，正多边形的性质，掌握任意多边形的外角和为360°是解题的关键． 7. 已知点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形-轴对称变换，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点与点B关于x轴对称， ∴点B的坐标是， 故选：A． 8. 平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形内角和等于180度 C. 三角形具有稳定性 D. 两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：这是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 9. 如图，已知在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质；设，根据等腰三角形性质求出，根据三角形的外角性质得出，根据，得出等式，求出即可． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 故选：C． 10. 已知，则（ ） A. 4 B. 10 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查乘法公式的应用；根据已知条件，利用平方差公式求出的值，再由完全平方公式即可求得结果． 【详解】解：， ， 即， ∵， ， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先将多项式转化为，再利用提取公因式法分解因式即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 经测算，一粒芝麻的质量约为，将1粒芝麻的质量用科学记数法表示约为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，，且， 解得． 故答案为：． 14. 如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E， ∵平分于点D， ∴， ∴的面积=， 故答案为：． 【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． 15. 如图，在中，，点D在上，连接，若，，则的度数为 ________ ． 【答案】##28度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理；设，由三角形外角的性质得，由等腰三角形的性质得，结合，即可求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 与的小数部分分别为a和b，则（a+3）（b-4）的值______ ． 【答案】-13 【解析】 【分析】先估算出的范围，再求出的范围，求出a、b的值，即可求出答案． 【详解】解：∵3＜＜4， ∴12＜＜13，-4＜-＜-3， ∴a=-12=-3，5＜9-＜6， ∴b=9--5=4-， ∴（a+3）（b-4）=（-3+3）×（4--4）=-13， 故答案为-13． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，能求出a、b的值是解此题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先利用二次根式的性质化简，计算零指数幂，然后再计算乘除法，最后再计算减法． 【详解】解： 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】按照解分式方程的方法和步骤求解即可． 【详解】解：去分母（两边都乘以），得， ． 去括号，得， ， 移项，得， ． 合并同类项，得， ． 系数化为1，得， ． 检验：把代入． ∴是原方程的根． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将代数式运用分式性质化简变形后，由已知等式求出，整体代入计算即可求出值； 【详解】解： ， ， ， ∴原式． 20. 如图，中，平分，且平分，于，于． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接、， 且平分， ， 平分，于，于， ，， 在与中，  ， ∴， ． （2）1 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再设，根据线段的和差建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分，于，于， ，， 在与中，  ， ∴， ， 由（1）已证：， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴． 21. 已知，求下列各式的值． （1）； （2） 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，分式的加减法，分母有理化，熟知以上运算法则是解题的关键． （1）先根据题意得出与的值，代入代数式进行计算即可； （2）根据（1）中出与的值，代入代数式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ； 【小问2详解】 解：． 22. 某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元． （1）此商品的进价是多少元？ （2）前两个月销售了该商品一共多少件？ 【答案】（1）50元 （2）160件 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）设此商品的进价是x元，根据“第二个月的销售量比第一个月增加了40件”列方程求解即可． （2）分别求出两个月的销量即可求解． 【小问1详解】 解：设此商品的进价是x元， 根据题意，得， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：此商品的进价是50元． 【小问2详解】 解：第一个月销量为件，第二个月销量为件， 前两个月销售该商品一共160件． 23. 有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2． （1）若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，正方形A，B的面积之和为 ． （2）小明想要拼一个两边长分别为和的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形多少个？ （3）在（1）的条件下，三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）需要以，为边的长方形7个 （3） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，考查代数式的几何意义，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）设正方形，的边长分别为，，根据图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，列出方程求出即可； （2）以，为边的长方形的面积为，求出大长方形的面积，看里面有几个即可； （3）阴影部分的面积等于大正方形的面积减去5个小正方形的面积，根据题中条件求出，整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：正方形，的边长分别为，， 由图1得，由图2得， 得，， 则正方形A，B的面积之和为； 【小问2详解】 解： ， 需要以，为边的长方形7个； 【小问3详解】 解：，， ， ， ， ， ， 图3的阴影部分面积 ． 24. 如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． （1）写出一个30到50之间的“正巧数”； （2）设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． （3）m，n为正整数，且，若是“正巧数”． ①求的值； ②若是“正巧数”，请说明是“正巧数”． 【答案】（1）40（答案不唯一） （2） 由题意可得： ∴由和构成的“正巧数”能被8整除； （3）①9； ②∵是“正巧数”， ∴也是“正巧数”， ∴能被8整除， ， ∵能被8整除，80能被8整除， ∴能被8整除， 即是“正巧数”． 【解析】 【分析】（1）直接根据“正巧数”的定义列式并利用平方差公式计算即可； （2）根据“正巧数”的定义得到，化简得到，即可证明； （3）①将所给式子变形为，再根据“正巧数”的定义可得；②根据已知“正巧数”得到也是“正巧数”，再将变形得到，即可判断． 【小问1详解】 解：如：， ∴40是正巧数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ① ∵是“正巧数”， ∴； ②略 【点睛】本题考查了平方差公式的应用、新定义，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 25. 【问题解决】 （1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______________； 【类比探究】 （2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式； 【拓展应用】 （3）如图③，AC=BC，∠ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标． 【答案】（1）DE＝BD+CE； （2）DE＝BD+CE的数量关系不变， 理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角， ∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD， ∵∠BDA＝∠BAC， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE； （3）（﹣4，3） 【解析】 【分析】（1）证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AD＝CE，BD＝AE，结合图形证明结论； （2）根据三角形的外角性质得到∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答； （3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，根据（1）的结论得到△ACM≌△BCN，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°， ∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠CAE+∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE， 故答案为：DE＝BD+CE； （2）略 （3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N， ∵点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，2）， ∴OC＝2，ON＝1，BN＝2， ∴CN＝3， 由（1）可知，△ACM≌△CBN， ∴AM＝CN＝3，CM＝BN＝2， ∴OM＝OC+CM＝4， ∴点A的坐标为（﹣4，3）． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $