专题01 平面向量的概念重难点题型专训（5大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

专题01 平面向量的概念重难点题型专训（5大题型+15道提优训练） 题型一 平面向量的概念与表示 题型二 向量的模 题型三 零向量与单位向量 题型四 相等向量 题型五 平行向量(共线向量) 知识点一 向量的概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 知识点二 向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 知识点三 向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【经典例题一 平面向量的概念与表示】 【例1】（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由向量的概念即既有大小又有方向的量即可求解. 【详解】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度. 故选：C. 1．（2023高二上·黑龙江·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 【答案】B 【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可. 【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量. 故选：B 2．（24-25高一上·上海·课前预习）向量与力 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小，方向和作用点，所以用向量解决力的问题，通常要把向量平移到 . 【答案】同一作用点上 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由向量的相关定义作图即可； （2）由向量的相关定义作图即可； （3）由向量的相关定义作图即可. 【详解】（1） 由题意，故即为所求，其中； （2） 由题意，故即为所求，其中； （3） 由题意，故即为所求，其中. 【经典例题二 向量的模】 【例2】（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据，可得，进一步得出答案. 【详解】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 1．（21-22高一下·山东菏泽·期中）数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上的点的位置，直接计算长度，即可得解. 【详解】数轴上点A，B分别对应， 则向量的长度即. 故选：C． 2．（24-25高二上·上海·课前预习）向量（或）的 叫做向量的模，记作（或）． 【答案】大小 【分析】略. 【详解】略. 故答案为：大小. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与相等的向量共有多少个？（除外） （2）如果扩展到的矩形呢？（除外） 【答案】（1）个；（2）个 【分析】数出与所占同样大小的矩形个数，再根据向量和向量模的定义求解即可. 【详解】（1）每个的矩形中有个符合要求的向量，这样的矩形共有个，则共有个向量的模与相等，但本身除外，故共有39个； （2）每个的矩形中有个符合要求的向量，这样的矩形共有个，则共有个向量的模与相等，但本身除外，故共有39个. 【经典例题三 零向量与单位向量】 【例3】（21-22高一下·新疆巴音郭楞·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【答案】C 【分析】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论； 对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的. 否定结论. 【详解】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误； 对于B：单位向量.故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行.正确； 对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. 故选：C 1．（21-22高一下·湖北鄂州·期中）下列关于零向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 【答案】D 【分析】根据零向量的定义和性质即可判断. 【详解】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误； 两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误； 零向量与任意向量共线，D正确． 故选：D. 2．（23-24高一下·全国·课前预习）零向量：始点和终点 的向量称为零向量，记作 . 【答案】 相同 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点，那么它们的终点构成的图形是什么？ 【答案】单位圆 【分析】根据单位向量的长度和方向判断即可． 【详解】单位向量的长度为1个单位长度，方向是任意的， 因此，平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点， 那么它们的终点构成的图形是个单位圆． 【经典例题四 相等向量】 【例4】（2024高二下·黑龙江·学业考试）如图，在平行四边形中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用向量相等的定义，即可求解. 【详解】因为四边形是平行四边形，所以与相等的向量是， 故选：D. 1．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】结合正方形可判断A,D项错误；再根据向量既有大小又有方向的特征排除B项，利用相等向量的定义确定C项正确. 【详解】    对于A，如图正方形中，若，则，但，故A错误； 对于B，因向量既有大小，又有方向，故不能比较大小，故B错误； 对于C，因两向量相等包括长度相等，方向相同，故C正确； 对于D，如上图中，，但，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知四边形和都是平行四边形，则与向量相等的向量为 ． 【答案】， 【分析】根据向量相等的概念直接求解. 【详解】   四边形和都是平行四边形， ，， 从而，，． 故与向量相等的向量为，． 故答案为：，. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【答案】(1) (2) (3)、、、、、. 【分析】根据向量相等的定义直接求解即可. 【详解】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、、、、、. 【经典例题五 平行向量(共线向量)】 【例5】（2023高三上·广西·学业考试）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行向量的定义判断即可. 【详解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量. 由图可知，与方向相反，因此是平行向量. 故选：C. 1．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）关于向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用向量的有向知识逐项判断即可得结论. 【详解】对于A：当时，，但，得不出，故A错误； 对于B：若，则与没有关系，故B错误； 对于C：若，则，故C正确； 对于D：若，则和不能比较大小，故D错误． 故选：C． 2．（24-25高二上·上海·课前预习）如果两个非零向量和所在的直线 ，那么称这两个向量平行，记作． 【答案】平行 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一·全国·课堂例题）向量的平行具有传递性（若，则）吗？ 【答案】答案见解析 【详解】当时，；当时，． 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 2．（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【分析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案. 【详解】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 3．（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D 4．（2024高三·北京·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 【答案】C 【分析】AB根据相等向量和共线向量的定义作出判断；C选项，根据零向量的定义得到C正确；D选项，举出反例. 【详解】A选项，长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确； B选项，方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确； C选项，零向量的长度为零，方向是任意的，C正确； D选项，当时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确． 故选：C． 5．（2024高三·北京·专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（    ） A．① B．③ C．①③ D．①② 【答案】A 【分析】由向量的有关概念逐项判断即可. 【详解】因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动， 且零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确； 根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同， 故两个单位向量不一定相等，故②错误； 向量与互为相反向量，故③错误. 故选：A. 6．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量中模最大的向量是 ，其长度为 ． 【答案】 【分析】根据各向量的起止点所在的格点求模长，即可知模最大的向量. 【详解】由图形，． ∴长度最大为． 故答案为：， 7．（23-24高一下·全国·课前预习）向量的模及两个特殊向量 （1）向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的 (或称模)，记作 ． （2）零向量：长度为 的向量，记作. （3）单位向量：长度等于 的向量． 【答案】 长度 0 1个单位长度 【分析】根据向量模、零向量、和单位向量的定义内容以及表示方法填写即可. 【详解】向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作； 零向量：长度为0的向量，记作； 单位向量：长度等于1个单位长度的向量. 故答案为：长度；；0；1个单位长度 8．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，若，则 ， . 【答案】 3 1 【分析】根据向量相等求参. 【详解】因为, 所以, 所以. 故答案为：3；1. 9．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 【答案】 A、B、C三点共线 B是的中点 平行四边形 【分析】（1）根据共线向量的概念即可判断； （2）根据相等向量的概念即可判断． 【详解】（1）且有一个公共点， A、B、C三点共线； ，方向相同， B是的中点， 故答案为：A、B、C三点共线；B是的中点； （2）在四边形中，若，则一组对边平行且相等，则四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形 10．（24-25高一·上海·课堂例题）若，，则 . 【答案】或 【分析】根据，，确定模长和方向得到答案. 【详解】因为，， 所以，模相同，方向相同或相反， 所以或. 故答案为：或. 11．（24-25高一下·全国·课前预习）（1）我们从一支笔、一棵树、一本书中抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对“位移”“速度”进行抽象，它们的共同特征是什么？ （2）你还能举出具有这种特征的量吗？ 【答案】（1）既有大小又有方向；（2）力、加速度等 【分析】略 【详解】（1）同特征是既有大小又有方向；（2）力、加速度等都具有这种特征. 12．（24-25高一上·上海·课后作业）按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据向量的方向和模长画出和，利用相反向量画出. 【详解】（1）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （2）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （3）根据相反向量的定义，画出，如下： 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 【答案】答案见解析 【分析】根据向量定义找出向量，再求模长即可. 【详解】所有的边可以构成以下向量：、、、、、、、. 它们的模分别为： ， . 14．（21-22高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 15．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【答案】(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有， (2)相等的向量为，，相等的向量为 【分析】运用相等向量，相反向量概念可解. 【详解】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量的概念重难点题型专训（5大题型+15道提优训练） 题型一 平面向量的概念与表示 题型二 向量的模 题型三 零向量与单位向量 题型四 相等向量 题型五 平行向量(共线向量) 知识点一 向量的概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 知识点二 向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 知识点三 向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【经典例题一 平面向量的概念与表示】 【例1】（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（2023高二上·黑龙江·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 2．（24-25高一上·上海·课前预习）向量与力 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小，方向和作用点，所以用向量解决力的问题，通常要把向量平移到 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 【经典例题二 向量的模】 【例2】（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 1．（21-22高一下·山东菏泽·期中）数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二上·上海·课前预习）向量（或）的 叫做向量的模，记作（或）． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与相等的向量共有多少个？（除外） （2）如果扩展到的矩形呢？（除外） 【经典例题三 零向量与单位向量】 【例3】（21-22高一下·新疆巴音郭楞·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 1．（21-22高一下·湖北鄂州·期中）下列关于零向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 2．（23-24高一下·全国·课前预习）零向量：始点和终点 的向量称为零向量，记作 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点，那么它们的终点构成的图形是什么？ 【经典例题四 相等向量】 【例4】（2024高二下·黑龙江·学业考试）如图，在平行四边形中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知四边形和都是平行四边形，则与向量相等的向量为 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【经典例题五 平行向量(共线向量)】 【例5】（2023高三上·广西·学业考试）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）关于向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高二上·上海·课前预习）如果两个非零向量和所在的直线 ，那么称这两个向量平行，记作． 3．（23-24高一·全国·课堂例题）向量的平行具有传递性（若，则）吗？ 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 2．（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 3．（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 4．（2024高三·北京·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 5．（2024高三·北京·专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（    ） A．① B．③ C．①③ D．①② 6．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量中模最大的向量是 ，其长度为 ． 7．（23-24高一下·全国·课前预习）向量的模及两个特殊向量 （1）向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的 (或称模)，记作 ． （2）零向量：长度为 的向量，记作. （3）单位向量：长度等于 的向量． 8．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，若，则 ， . 9．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 10．（24-25高一·上海·课堂例题）若，，则 . 11．（24-25高一下·全国·课前预习）（1）我们从一支笔、一棵树、一本书中抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对“位移”“速度”进行抽象，它们的共同特征是什么？ （2）你还能举出具有这种特征的量吗？ 12．（24-25高一上·上海·课后作业）按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 14．（21-22高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 15．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 学科网（北京）股份有限公司 $$