专题01 随机抽样重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

专题01 随机抽样重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 简单随机抽样的特征及适用条件 题型二 抽签法 题型三 随机数表法 题型四 简单随机抽样的概率 题型五 简单随机抽样估计总体 题型六 分层抽样的特征及适用条件 题型七 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 题型八 分层抽样的概率 题型九 普查与抽样的定义辨析 题型十 普查与抽样的合理选择 题型十一 总体与样本 知识点一 抽样调查的必要性 (1)相关概念 名称 定义 全面调查（普查） 对每一个调查对象都进行调查的方法. 抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法. 总体 调查对象的全体. 个体 从总体中抽取的那部分个体. 样本 从总体中抽取的那部分个体. 样本量 样本中包含的个体数. (2)抽样的必要性 普查往往需要花费大量的财力、物力，而抽样调查具有花费少、效率高的特点.另外，在有些调查中，抽样调查则具有不可替代的作用，比如： ①一些个体具有破坏性.如不可能对所有的炮弹都进行试射检验其是否合格. ②一些检测具有毁损性.如不可能把地里所有的种子都挖出来检验其是否发芽. 知识点二 简单随机抽样 (1)简单随机抽样的概念 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (2)（不放回）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析. ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作. ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算. ④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性. 知识点三 两种常见的简单随机抽样方法 (1)抽签法 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也 可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回 地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量. (2)随机数法 先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中 的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量. (3)两种抽样方法的优缺点 抽样方法 优点 缺点 适用范围 抽签法 简单易行. 总体量较大时，操作起来比较麻烦. 适用于总体中个体数不多的情形. 随机数法 简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题. 总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便. 总体量较大，样本量较小的情形. 知识点四 总体平均数与样本平均数 (1)概念 名称 定义 总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式. 样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数. 说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确. (2)求和符号的性质 ①； ②，其中k为常数. 知识点五 分层随机抽样 (1)分层随机抽样的必要性 简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比 较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样. (2)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个 子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (3)比例分配 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即 ①=； ②=. (4)分层随机抽样的步骤 ①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层. ②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比. ③定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为总体中第i层所包含的个体数)，使得各ni之和 为n. ④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本. (5)分层随机抽样的特点 ①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体； ②分成的各层互不重叠； ③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量; ④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法. 知识点六 分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量 分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，，第1层、第2层的样本平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则==+. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用=+估计总体平均数. 又==， 所以+=+=. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 【经典例题一 简单随机抽样的特征及适用条件】 【例1】（2022高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（    ） A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验 C．从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验 D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 1．（23-24高二上·上海·期末）已知一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率（    ） A．变小 B．变大 C．相等 D．无法确定 2．（24-25高一上·河南焦作·期末）某次九省联考考试结束后，相关部门为了分析考生的数学成绩，采用随机抽样的方式从某地区抽取了3000名高三学生的数学成绩，则此次抽样的样本为 ． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同．你能通过抽样调查的方式估计袋中红球所占的比例吗？ 【经典例题二 抽签法】 【例2】（23-24高一下·全国·课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（    ） A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验 1．（2024高一下·全国·专题练习）某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是（    ） A．制签 B．搅拌均匀 C．逐一抽取 D．抽取后不放回 2．（24-25高一上·全国·课前预习）抽签法的步骤： ①假设一个总体有N个个体，将它们 ； ②制作N个号签（号签可以用小球、纸片等制作），将编号写在号签上； ③将号签放在一个容器中，并 ； ④从容器中任意抽取n个号签，记录其编号，就得到一个容量为n的样本． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山”，为响应党中央的号召，为基层办实事，省环保局从各县市报送的28件环保案例中抽取7件作为样本研究，以制定切实可行的方案．试确定抽取方法并写出操作步骤． 【经典例题三 随机数表法】 【例3】（24-25高一上·江西抚州·期末）2024年10月1日是中华人民共和国建国75周年，为弘扬爱国主义精神，共同感受党的伟大历程，抚州市第一中学高一年级决定从每班随机抽取5名学生参加“祖国在我心”知识竞答.若高一某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第1行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个编号为（   ） 7816    6572    0802    6314    0702    4369    9728    0198 3204    9234    4935    8200    3623    4869    6938    7481 A．14 B．02 C．43 D．07 1．（24-25高一上·河南南阳·期末）福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号01，02，…，33的33个数字组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下表）第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为（   ） 49  54  43  54  82  17  37  93  23  78  87  35  20  96  43  84  26  34  91  64 57  24  55  06  88  77  04  74  47  67  21  76  33  50  25  83  92  12  06  76 A．23 B．09 C．20 D．17 2．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，若从下图提供随机数表中第1行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是 . 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 3．（23-24高二·上海·课堂例题）现从编号为1~500的500支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测．试用随机数法抽出这10支水笔对应的编号． 【经典例题四 简单随机抽样的概率】 【例4】（23-24高一下·山西大同·期末）采用简单随机抽样的方法，从含有8个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·天津河北·期末）一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本容量为3的样本，则某一个特定个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·广东广州·期末）采用简单随机抽样从含15个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，个体前两次末被抽到，第三次被抽到的概率为 ． 3．（23-24高一·全国·课后作业）举例说明简单随机抽样和分层随机抽样两种抽样方法中，无论使用哪种抽样方法，总体中的每个个体被抽到的概率都相等. 【经典例题五 简单随机抽样估计总体】 【例5】（2022·河南·三模）中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球.某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为（    ） A．23 B．92 C．128 D．180 1．（22-23高三下·湖北·阶段练习）我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类，全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献．《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．148石 B．149石 C．150石 D．151石 2．（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）某果园种植了240棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg，则预估该果园的苹果产量为 kg. 3．（22-23高一·全国·课后作业）某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题，1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有47名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业服务满意的百分比？ 【经典例题六 分层抽样的特征及适用条件】 【例6】（24-25高一上·江西·期末）为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（    ） A．按性别分层随机抽样 B．按学段分层随机抽样 C．抽签法 D．随机数表法 1．（24-25高一上·北京石景山·期末）某田径队有运动员人，其中男运动员人，女运动员人．为了解该田径队运动员的睡眠情况，采用分层抽样的方法获得一个容量为的样本，那么应抽取男运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）分层抽样 一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显 、 的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样（简称为分层抽样）． 3．（2024高一下·全国·专题练习）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．已知该地区野生动物数量与植物覆盖面积大致成正比例关系，为调查该地区某种野生动物的数量，现需进行抽样调查，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 【经典例题七 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算】 【例7】（24-25高一上·甘肃庆阳·期末）某班有男生27人，女生18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽取5人参加跑步接力赛，则男生被抽取的人数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（   ） A．40人 B．28人 C．12人 D．8人 2．（24-25高一上·安徽宿州·期末）某校高中部高一、高二、高三人数之比为5:4:3，其中女生有600人，现准备从该校所有高中学生中抽取容量为120的样本.若根据年级采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的高三学生为n个人；若根据性别采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的女生为m个人，且，则该校高中部学生人数为 . 3．（23-24高二·上海·课堂例题）某校学生志愿者协会共有250名成员，其中高一年级学生88名，高二年级学生112名，高三年级学生50名．为了解志愿者的服务意愿，需要随机抽取50名学生进行问卷调查．应当如何抽取？三个年级各要抽取多少名学生？ 【经典例题八 分层抽样的概率】 【例8】（2023高三·全国·专题练习）某校要从高一、高二、高三共2 023名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2 023名学生中剔除23名，再从剩下的2 000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性（    ） A．都相等且为 B．都相等且为 C．不完全相等 D．均不相等 1．（21-22高一下·江苏泰州·阶段练习）在 120 个零件中，一级品 24 个，二级品 36 个，三级品 60 个，从中抽取容量为 20 的一 个样本，则每个个体被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·广东广州·期末）某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为 ． 3．（22-23高一·全国·课后作业）某批零件共160个，其中一级品有48人，二级品有64个，三级品有32个，等外品有16个．从中抽取一个容量为20的样本．试简要叙述用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样法进行抽样都是等可能抽样． 【经典例题九 普查与抽样的定义辨析】 【例9】（22-23高一下·山西吕梁·阶段练习）在一次数学课堂上，郭老师请四位同学列举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子. 小凉：邯郸市今年“五一”前后的气温； 小爽：判断某种新药是否有效； 小夏：“山西新闻联播”的收视率； 小天：近年来我市普通高中人学人数. 其中，通过调查获取数据的是（    ） A．小凉 B．小爽 C．小夏 D．小天 1．（2024高三·全国·专题练习）“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five－hundred－meter Aperture Spherical radio Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（   ） A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据 C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据 2．（24-25高二上·上海·课前预习）按照收集数据的不同方法，可以将数据分为 和 ． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）回答以下问题需要获得的数据是观测数据还是实验数据？ (1)本班级每名学生对数学中某个知识点的掌握程度如何？ (2)消费者对于某品牌饮料的喜爱程度如何？ (3)户外运动时间是否会影响青少年的视力？ 【经典例题十 普查与抽样的合理选择】 【例10】（24-25高二上·上海·期末）在以下调查中，适合用普查的是（    ）. A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查一批LED灯的寿命 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查一个班级学生的身高情况 1．（24-25高一上·江西·阶段练习）在下列调查中，适合用全面调查的是（    ） A．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B．调查一个县各村的粮食播种面积 C．调查一批炮弹的杀伤半径 D．调查一批玉米种子的发芽率 2．（25-26高一上·全国·课前预习）普查与抽样调查 （1）普查：又称全面调查，即对需要调查的对象进行 调查．普查所得的资料较为全面可靠，但工作量大，耗时费力，有些数据无法进行普查． （2）抽样调查：从调查对象的 中，抽取 个体进行调查，即把调查对象集中在少数个体上，并获得与全面调查相近的结果． 3．（2024高一下·全国·专题练习）在以下调查中，总体、个体各是什么？哪些适合用全面调查？哪些适合用抽样调查？ (1)调查一个班级学生每周的体育锻炼时间； (2)调查一个地区结核病的发病率； (3)调查一批炮弹的杀伤半径； (4)调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例． 【经典例题十一 总体与样本】 【例11】（24-25高二上·上海·单元测试）关于样本与总体，下列说法中正确的是（    ） A．样本是总体的一个子集 B．样本是由来自总体的一部分个体组成的 C．对随机抽取到的若干人的体重，两位调查人员各测量了一次，得到的两组数据是同一个样本 D．游戏正式版上市之前，会先上市测试版，测试版就是样本 1．（23-24高一下·山西太原·期末）为了解某校高中3000名学生的身高情况，从中抽取了100名学生进行调查，则这100名学生是（    ） A．总体 B．样本 C．样本量 D．个体 2．（23-24高一下·全国·课前预习）样本与样本容量 总体中抽取的部分对象组成总体的一个 .一个样本中包含的个体数目是 . 3．（23-24高二·上海·课堂例题）为了解上海市某区居民用户的月平均用水量，通过简单随机抽样获取了100户居民用户的月平均用水量．在这个问题中，总体和样本分别是什么？ 1．（2024高三·全国·专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 2．（2024高一下·全国·专题练习）某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.2，则n等于（　　） A．80 B．160 C．200 D．280 3．（24-25高一上·贵州·期末）某校男生与女生人数之比为，为了解该校学生的体重情况，按性别采用分层随机抽样的方法从该校学生中抽样120人进行调查，则该校女生被抽取的人数是（    ） A．24 B．48 C．36 D．56 4．（24-25高三上·河北邢台·期末）某校有男生人，女生人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取人进行调查，则男生被抽取的人数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·陕西汉中·阶段练习）在以下调查中，适合用全面调查的是（   ） A．了解一个班级学生的身高情况 B．了解一批水稻种子的发芽率 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查某批次汽车的抗撞击能力 6．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）某车间的质检员利用随机数表对生产的60个零件进行抽样测试，先将60个零件进行编号，编号分别为01，02，…，60，从中选取5个个体组成样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是 . 7．（23-24高一下·江苏常州·期末）为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子 只. 8．（2025高二上·辽宁·学业考试）进到太空能力有多大，航天舞台就有多大．1970年我国发射的长征一号火箭的运载能力仅有吨，“十三五”期间发射的长征五号等新一代运载火箭运载能力达到25吨级，我国进入太空能力达到世界一级水平．目前正在研究计划2027年发射长征十号火箭，预计运载能力为70吨．假设某发射中心储备的、、三种新型运载火箭零部件的数量比为，用分层抽样的方法抽取48个，则抽取的数量为 ． 9．（23-24高二上·上海·课后作业）数据的直接来源 直接来源：通过 或 等途径获取数据．直接获取的数据称为直接数据或一手数据； 10．（23-24高一下·全国·课前预习）总体与个体 所考察问题涉及的 是总体.总体中 都是个体. 11．（23-24高二·上海·课堂例题）下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？判断并简要说明理由． (1)某在线商城在网站首页发布问卷调查，调查登录该网站的客户对于该商城的满意度，访问该网站者可以自愿点击填写； (2)检验员抽检一箱零件，每次检验时抽取1个零件，检验后放回箱子里，再进行第二次检验，一共检验了10次． 12．（24-25高二上·上海·课后作业）为了解某商场今年4月份的营业额，抽查了该商场在今年4月份中5天的营业额，结果如下（单位：万元）：2.5，2.8，2.7，2.4、2.6． (1)在这次调查中，总体和样本分别是什么？ (2)小王根据抽查的5天的数据推断：该商场4月份每天的营业额都低于3万元．你同意小王的推断吗？ 13．（24-25高一上·全国·课堂例题）将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2．若用同比例分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从A中抽取多少个个体？ 14．（24-25高一上·全国·课堂例题）有以下两个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况． (1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程． 15．（23-24高二·上海·课堂例题）小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了10天的数据，它们分别是：68、34、70、45、74、126、108、66、36、72．在这个问题中，总体和样本分别是什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 随机抽样重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 简单随机抽样的特征及适用条件 题型二 抽签法 题型三 随机数表法 题型四 简单随机抽样的概率 题型五 简单随机抽样估计总体 题型六 分层抽样的特征及适用条件 题型七 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 题型八 分层抽样的概率 题型九 普查与抽样的定义辨析 题型十 普查与抽样的合理选择 题型十一 总体与样本 知识点一 抽样调查的必要性 (1)相关概念 名称 定义 全面调查（普查） 对每一个调查对象都进行调查的方法. 抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法. 总体 调查对象的全体. 个体 从总体中抽取的那部分个体. 样本 从总体中抽取的那部分个体. 样本量 样本中包含的个体数. (2)抽样的必要性 普查往往需要花费大量的财力、物力，而抽样调查具有花费少、效率高的特点.另外，在有些调查中，抽样调查则具有不可替代的作用，比如： ①一些个体具有破坏性.如不可能对所有的炮弹都进行试射检验其是否合格. ②一些检测具有毁损性.如不可能把地里所有的种子都挖出来检验其是否发芽. 知识点二 简单随机抽样 (1)简单随机抽样的概念 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (2)（不放回）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析. ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作. ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算. ④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性. 知识点三 两种常见的简单随机抽样方法 (1)抽签法 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也 可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回 地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量. (2)随机数法 先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中 的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量. (3)两种抽样方法的优缺点 抽样方法 优点 缺点 适用范围 抽签法 简单易行. 总体量较大时，操作起来比较麻烦. 适用于总体中个体数不多的情形. 随机数法 简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题. 总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便. 总体量较大，样本量较小的情形. 知识点四 总体平均数与样本平均数 (1)概念 名称 定义 总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式. 样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数. 说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确. (2)求和符号的性质 ①； ②，其中k为常数. 知识点五 分层随机抽样 (1)分层随机抽样的必要性 简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比 较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样. (2)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个 子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (3)比例分配 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即 ①=； ②=. (4)分层随机抽样的步骤 ①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层. ②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比. ③定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为总体中第i层所包含的个体数)，使得各ni之和 为n. ④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本. (5)分层随机抽样的特点 ①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体； ②分成的各层互不重叠； ③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量; ④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法. 知识点六 分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量 分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，，第1层、第2层的样本平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则==+. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用=+估计总体平均数. 又==， 所以+=+=. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 【经典例题一 简单随机抽样的特征及适用条件】 【例1】（2022高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（    ） A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验 C．从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验 D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 【答案】B 【分析】根据题意，结合简单的随机抽样的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】简单随机抽样的定义：设一个总体中含有N个个体，从中逐个抽取个个体作为样本，每个个体被抽取的概率是均等的. 对于A中，根据简单的随机抽样的定义，从无限多个个体中抽取100个个体作为样本不满足简单的随机抽样的定义，所以A不符合题意； 对于B中，根据简单的随机抽样的定义，80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验，满足简单的随机抽样的条件，所以B符合题意； 对于C中，根据简单的随机抽样的定义，从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验，不满足简单的随机抽样的定义，所以C不符合题意； 对于D中，根据简单的随机抽样的定义，从56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足简单的随机抽样的定义，所以D不符合题意. 故选：B. 1．（23-24高二上·上海·期末）已知一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率（    ） A．变小 B．变大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】由简单随机抽样的定义可知每个个体被抽取的概率相等. 【详解】一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体， 则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率为. 故选：C. 2．（24-25高一上·河南焦作·期末）某次九省联考考试结束后，相关部门为了分析考生的数学成绩，采用随机抽样的方式从某地区抽取了3000名高三学生的数学成绩，则此次抽样的样本为 ． 【答案】某地区3000名高三学生的数学成绩 【分析】根据随机抽样样本的定义判断. 【详解】总体为所有参加此次考试考生的数学成绩；样本为某地区3000名高三学生的数学成绩. 故答案为：某地区3000名高三学生的数学成绩． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同．你能通过抽样调查的方式估计袋中红球所占的比例吗？ 【答案】答案见解析 【分析】利用简单随机抽样的方式，用频率来估计比例，从而求解． 【详解】我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复，即可用红球出现的频率估计出红球的比例．也可以采用不放回地摸球去估计红球的比例． 【经典例题二 抽签法】 【例2】（23-24高一下·全国·课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（    ） A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验 【答案】B 【解析】根据抽签法适用样本容量少，并且样本需搅拌均匀，进行逐一判断即可. 【详解】因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法； C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大， 因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法； B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了. 故选：B 1．（2024高一下·全国·专题练习）某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是（    ） A．制签 B．搅拌均匀 C．逐一抽取 D．抽取后不放回 【答案】B 【分析】确保公平性要保证每个签抽到是等概率的，分析即得解 【详解】确保公平性要保证每个签抽到是等概率的，因此抽签法要做到搅拌均匀，才具有公平性． 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课前预习）抽签法的步骤： ①假设一个总体有N个个体，将它们 ； ②制作N个号签（号签可以用小球、纸片等制作），将编号写在号签上； ③将号签放在一个容器中，并 ； ④从容器中任意抽取n个号签，记录其编号，就得到一个容量为n的样本． 【答案】 逐一编号 充分搅拌均匀 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山”，为响应党中央的号召，为基层办实事，省环保局从各县市报送的28件环保案例中抽取7件作为样本研究，以制定切实可行的方案．试确定抽取方法并写出操作步骤． 【答案】答案见解析 【分析】由抽签法的适用特征以及抽签法的使用步骤即可求解. 【详解】由于总体容量小，样本量也小，可用抽签法，步骤如下： （1）将28件环保案例用随机方式编号，号码是1，2，3，…，28； （2）将以上28个号码分别写在28张相同的小纸条上，制成形状、大小均相同的号签； （3）把号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀； （4）从容器中无放回地逐个抽取7个号签，并记录上面的号码； （5）找出和所得号码对应的7件案例，组成样本． 【经典例题三 随机数表法】 【例3】（24-25高一上·江西抚州·期末）2024年10月1日是中华人民共和国建国75周年，为弘扬爱国主义精神，共同感受党的伟大历程，抚州市第一中学高一年级决定从每班随机抽取5名学生参加“祖国在我心”知识竞答.若高一某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第1行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个编号为（   ） 7816    6572    0802    6314    0702    4369    9728    0198 3204    9234    4935    8200    3623    4869    6938    7481 A．14 B．02 C．43 D．07 【答案】D 【分析】利用随机数表法列举出前四名学生的编号，可得结果. 【详解】由随机数表法可知，前四名学生的编号依次为：、、、， 因此，选取的第四个编号为. 故选：D. 1．（24-25高一上·河南南阳·期末）福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号01，02，…，33的33个数字组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下表）第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为（   ） 49  54  43  54  82  17  37  93  23  78  87  35  20  96  43  84  26  34  91  64 57  24  55  06  88  77  04  74  47  67  21  76  33  50  25  83  92  12  06  76 A．23 B．09 C．20 D．17 【答案】B 【分析】利用随机数表进行抽样的具体步骤超出的不选，但没有重复和不足的,依次抽样得出编号. 【详解】左到右依次选取两个数字，依次选取为：21，32，09， 故选：B． 2．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，若从下图提供随机数表中第1行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是 . 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 【答案】007 【分析】直接由随机数表依次读取数据即可. 【详解】从表中第1行第6列开始向右读取数据，依次为253，313，457，860（舍去）， 736（舍去），253（舍去），007， 故得到的第4个样本编号是007. 故答案为：007 3．（23-24高二·上海·课堂例题）现从编号为1~500的500支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测．试用随机数法抽出这10支水笔对应的编号． 【答案】答案见解析 【分析】将500支水笔重新编号后从随机数表定开始位，然后依次按规则开始选取编号数，超过或重复的去掉，最后保留10个数即可. 【详解】第一步，将所有水笔重新编号为：001，002，003，，499，500； 第二步，选定随机数表中的某一个数作为开始； 第三步，从选定的数字开始，按三个数字一组向右读下去， 一行读完时转下一行自左向右继续读，不在001至500之间的数跳过， 已读过的重复数字去掉，直到取足10个数字为止； 以上10个数字编号对应产品作为抽取的样本. 【经典例题四 简单随机抽样的概率】 【例4】（23-24高一下·山西大同·期末）采用简单随机抽样的方法，从含有8个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据简单抽样每个个体被抽到的概率相等，即可求解. 【详解】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是． 故选:C． 1．（23-24高一下·天津河北·期末）一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本容量为3的样本，则某一个特定个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意每个个体被抽到的概率均为， 则某一个特定个体被抽到的概率为. 故选：A 2．（22-23高一下·广东广州·期末）采用简单随机抽样从含15个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，个体前两次末被抽到，第三次被抽到的概率为 ． 【答案】 【分析】根据简单随机抽样的特点，结合等可能事件的性质计算作答. 【详解】依题意，由等可能事件的性质，个体每次被抽到的概率均相等，均为， 所以个体前两次末被抽到，第三次被抽到的概率为. 故答案为： 3．（23-24高一·全国·课后作业）举例说明简单随机抽样和分层随机抽样两种抽样方法中，无论使用哪种抽样方法，总体中的每个个体被抽到的概率都相等. 【答案】见解析. 【解析】举出总体有明显差异的实例，分别计算出使用简单随机抽样和分层随机抽样每个个体被抽取的概率，比较两个概率即可得解. 【详解】袋中有160个小球，其中红球48个，篮球64个，白球16个，黄球32个，从中抽取20个作为一个样本. （1）使用简单随机抽样：每个个体被抽到的概率为. （2）使用分层随机抽样：四种球的个数比为. 红球应抽个；篮球应抽个；白球应抽个；黄球应抽个. 因为， 所以按颜色区分，每个球被抽到的概率也都是. 所以简单随机抽样和分层随机抽样两种抽样方法中，无论使用哪种抽样方法，总体中的每个个体被抽到的概率都相等. 【点睛】本题考查了简单随机抽样与分层随机抽样的原理和概率计算，属于基础题. 【经典例题五 简单随机抽样估计总体】 【例5】（2022·河南·三模）中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球.某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为（    ） A．23 B．92 C．128 D．180 【答案】B 【分析】先计算100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数，根据抽样比例计算即可 【详解】由题意，100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数为人 故该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为人 故选：B 1．（22-23高三下·湖北·阶段练习）我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类，全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献．《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．148石 B．149石 C．150石 D．151石 【答案】A 【分析】抽样调查中简单随机抽样，对象被抽到的概率是相同的， 304粒夹谷30粒，1500石米夹谷的比例是相同的，计算即可. 【详解】由题意可知这批米内夹谷约为（石）． 故选：A. 2．（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）某果园种植了240棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg，则预估该果园的苹果产量为 kg. 【答案】6720 【分析】将样本均值视为总体均值，即可估计果园的苹果产量. 【详解】将样本均值视为总体均值，故预估该果园的苹果产量为kg. 故答案为： 3．（22-23高一·全国·课后作业）某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题，1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有47名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业服务满意的百分比？ 【答案】67.5% 【分析】根据随机抽样的知识计算出百分比. 【详解】要调查80名居民，在准备的两个问题中，第一个问题可能被询问40次，在被询问的40人中有20人手机号是奇数，而有47人回答了“是”，估计有27个人回答是否满意物业的服务时回答了“是”，在40人中有27个人满意服务， 估计本小区对物业服务满意的百分比. 【经典例题六 分层抽样的特征及适用条件】 【例6】（24-25高一上·江西·期末）为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（    ） A．按性别分层随机抽样 B．按学段分层随机抽样 C．抽签法 D．随机数表法 【答案】B 【分析】由分层抽样的概念即可判断； 【详解】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，故应按照学段分层随机抽样． 故选：B． 1．（24-25高一上·北京石景山·期末）某田径队有运动员人，其中男运动员人，女运动员人．为了解该田径队运动员的睡眠情况，采用分层抽样的方法获得一个容量为的样本，那么应抽取男运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分层抽样的意义求解即可. 【详解】由题得应抽取男运动员的人数为. 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）分层抽样 一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显 、 的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样（简称为分层抽样）． 【答案】 差别的 互不重叠 【分析】略 【详解】略 3．（2024高一下·全国·专题练习）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．已知该地区野生动物数量与植物覆盖面积大致成正比例关系，为调查该地区某种野生动物的数量，现需进行抽样调查，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 【答案】分层随机抽样，理由见解析 【分析】分析题意，各地块间植物覆盖面积差异很大，合理的抽样方法是分层抽样. 【详解】分层随机抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层随机抽样理由如下： 由题知，各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积大致成正比例关系， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大， 采用分层随机抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性， 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计． 【经典例题七 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算】 【例7】（24-25高一上·甘肃庆阳·期末）某班有男生27人，女生18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽取5人参加跑步接力赛，则男生被抽取的人数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】应用分层抽样的等比例性质求男生被抽取的人数. 【详解】男生被抽取的人数为人． 故选：C 1．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（   ） A．40人 B．28人 C．12人 D．8人 【答案】C 【分析】求出行政人员占的比例，从而得到应抽取人数. 【详解】行政人员占的比例为，故行政人员应抽取的人数为. 故选：C． 2．（24-25高一上·安徽宿州·期末）某校高中部高一、高二、高三人数之比为5:4:3，其中女生有600人，现准备从该校所有高中学生中抽取容量为120的样本.若根据年级采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的高三学生为n个人；若根据性别采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的女生为m个人，且，则该校高中部学生人数为 . 【答案】1800 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的定义列式计算得解. 【详解】设该校高中部高一、高二、高三人数分别为5k，4k，3k， 依题意，，，， 所以该校高中部人数为1800. 故答案为：1800 3．（23-24高二·上海·课堂例题）某校学生志愿者协会共有250名成员，其中高一年级学生88名，高二年级学生112名，高三年级学生50名．为了解志愿者的服务意愿，需要随机抽取50名学生进行问卷调查．应当如何抽取？三个年级各要抽取多少名学生？ 【答案】分层抽样，各抽取、与人 【分析】借助分层抽样法的性质与定义计算即可得. 【详解】应采用分层抽样法进行抽样， ，，， 故三个年级各要抽取、与人. 【经典例题八 分层抽样的概率】 【例8】（2023高三·全国·专题练习）某校要从高一、高二、高三共2 023名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2 023名学生中剔除23名，再从剩下的2 000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性（    ） A．都相等且为 B．都相等且为 C．不完全相等 D．均不相等 【答案】A 【分析】根据简单随机抽样和分层抽样都是等可能抽样得到答案. 【详解】根据简单随机抽样及分层随机抽样的定义可得，每个个体被抽到的概率都相等，所以每个个体被抽到的概率都等于 故选：A. 1．（21-22高一下·江苏泰州·阶段练习）在 120 个零件中，一级品 24 个，二级品 36 个，三级品 60 个，从中抽取容量为 20 的一 个样本，则每个个体被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽样过程中每个个体被抽到的概率是均等的，结合题意，即可求解. 【详解】根据抽样的概念知，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是均等的， 所以每个个体被抽到的可能性为 故选：D. 2．（22-23高一下·广东广州·期末）某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为 ． 【答案】200 【分析】先根据分层抽样的方法计算出该单位青年职工应抽取的人数，进而算出青年职工的总人数. 【详解】由题意，从中抽取100名员工作为样本，需要从该单位青年职工中抽取（人）.因为每人被抽中的概率是0.2，所以青年职工共有（人）. 故答案为：200. 3．（22-23高一·全国·课后作业）某批零件共160个，其中一级品有48人，二级品有64个，三级品有32个，等外品有16个．从中抽取一个容量为20的样本．试简要叙述用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样法进行抽样都是等可能抽样． 【答案】见解析 【分析】要说明每个个体被取到的概率相同，只需计算出用三种抽样方法抽取个体时， 每个个体被取到的概率，概率都是用用样本容量除以总体个数即可． 【详解】（1）简单随机抽样法：可采用抽签法，将160个零件按1～160编号， 相应地制作1～160号的160个号签，从中随机抽20个即可． 每个个体被抽到的概率为，每个个体被抽到的可能性相同． （2）系统抽样法：将160个零件按1～160编号，按编号顺序分成20组，每组8个． 先在第一组用抽签法抽得k号(1≤k≤8)，则在其余组中分别抽得 第k＋8n(n＝1，2，3，…，19)号，每个个体被抽到的概率为， 每个个体被抽到的可能性相同． （3）分层抽样法：按比例，分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取 48×＝6(个)，64×＝8(个)，32×＝4(个)，16×＝2(个)， 每个个体被抽到的概率分别为，，，，即都是，每个个体被抽到的可能性相同． 综上所述，无论采取哪种抽样方式，总体中每个个体被抽到的概率都是. 【经典例题九 普查与抽样的定义辨析】 【例9】（22-23高一下·山西吕梁·阶段练习）在一次数学课堂上，郭老师请四位同学列举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子. 小凉：邯郸市今年“五一”前后的气温； 小爽：判断某种新药是否有效； 小夏：“山西新闻联播”的收视率； 小天：近年来我市普通高中人学人数. 其中，通过调查获取数据的是（    ） A．小凉 B．小爽 C．小夏 D．小天 【答案】C 【分析】根据收集数据的不同方法，逐一判断各选项即可. 【详解】邯郸市今年“五一”前后的气温，通过观察获取数据； 判断某种新药是否有效，通过试验获取数据； “山西新闻联播”的收视率，通过调查获取数据； 近年来我市普通高中人学人数，通过查询获得数据. 故选：C. 1．（2024高三·全国·专题练习）“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five－hundred－meter Aperture Spherical radio Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（   ） A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据 C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据 【答案】C 【分析】根据获取数据的途径判断即可. 【详解】“中国天眼”主要是通过观察获取数据. 故选：C. 2．（24-25高二上·上海·课前预习）按照收集数据的不同方法，可以将数据分为 和 ． 【答案】 观测数据 实验数据 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高二·上海·课堂例题）回答以下问题需要获得的数据是观测数据还是实验数据？ (1)本班级每名学生对数学中某个知识点的掌握程度如何？ (2)消费者对于某品牌饮料的喜爱程度如何？ (3)户外运动时间是否会影响青少年的视力？ 【答案】(1)观测数据 (2)观测数据 (3)实验数据 【分析】（1）利用观测数据和实验数据的意义作答即可； （2）利用观测数据和实验数据的意义作答即可； （3）利用观测数据和实验数据的意义作答即可. 【详解】（1）本班级每名学生对数学中某个知识点的掌握程度是通过直接调查而收集到的数据，是观测数据. （2）消费者对于某品牌饮料的喜爱程度是通过对该品牌饮料消费者直接调查而收集到的数据，是观测数据. （3）户外运动时间对青少年视力的影响是对不同对象在不同时间段、不同时长等可控条件下进行实验而收集到的数据，是实验数据. 【经典例题十 普查与抽样的合理选择】 【例10】（24-25高二上·上海·期末）在以下调查中，适合用普查的是（    ）. A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查一批LED灯的寿命 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查一个班级学生的身高情况 【答案】D 【分析】根据普查的概念判断即可； 【详解】A选项，每个批次生产的汽车的数量非常多，且调查汽车抗重击能力具有破坏性，不适合使用普查，应使用抽样调查； B选项，调查一批LED灯的寿命具有破坏性，不宜使用普查，应使用抽样调查； C选项，某城市居民数量非常多，不适合使用全面普查，应使用抽样调查； D选项，一个班级学生的身高情况，人数较少，适合用普查； 故选：D 1．（24-25高一上·江西·阶段练习）在下列调查中，适合用全面调查的是（    ） A．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B．调查一个县各村的粮食播种面积 C．调查一批炮弹的杀伤半径 D．调查一批玉米种子的发芽率 【答案】B 【分析】根据全面调查的定义可得出合适的选项. 【详解】全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式， A. 查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.，调查数目较多，不适合全面调查； B. 调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查； C.调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，可以使用抽样调查； D. 调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合全面调查. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）普查与抽样调查 （1）普查：又称全面调查，即对需要调查的对象进行 调查．普查所得的资料较为全面可靠，但工作量大，耗时费力，有些数据无法进行普查． （2）抽样调查：从调查对象的 中，抽取 个体进行调查，即把调查对象集中在少数个体上，并获得与全面调查相近的结果． 【答案】 逐个 总体 若干个 【分析】略 【详解】略 3．（2024高一下·全国·专题练习）在以下调查中，总体、个体各是什么？哪些适合用全面调查？哪些适合用抽样调查？ (1)调查一个班级学生每周的体育锻炼时间； (2)调查一个地区结核病的发病率； (3)调查一批炮弹的杀伤半径； (4)调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据总体和个体概念以及普查和抽查的适用范围一一分析即可. 【详解】（1）总体是全班学生，个体是这个班的每一位学生，适合用全面调查， （2）总体是整个地区的居民，个体是这个地区的每一位居民，适合用抽样调查， （3）总体是这批炮弹，个体是这批炮弹的每一个炮弹，适合用抽样调查. （4）总体是这个水库里所有的鱼，个体是这个水库里的每一条鱼，适合用抽样调查. 【经典例题十一 总体与样本】 【例11】（24-25高二上·上海·单元测试）关于样本与总体，下列说法中正确的是（    ） A．样本是总体的一个子集 B．样本是由来自总体的一部分个体组成的 C．对随机抽取到的若干人的体重，两位调查人员各测量了一次，得到的两组数据是同一个样本 D．游戏正式版上市之前，会先上市测试版，测试版就是样本 【答案】B 【分析】由样本的定义进行判断． 【详解】对于B，从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本，则B项正确； 对于A，样本和总体可能都不是集合，故A项错误； 对于C，每测量一次，都得到一个样本，是不同的样本，故C项错误； 对于D，测试版不是从正式版中抽取的，故D项错误， 故选：B 1．（23-24高一下·山西太原·期末）为了解某校高中3000名学生的身高情况，从中抽取了100名学生进行调查，则这100名学生是（    ） A．总体 B．样本 C．样本量 D．个体 【答案】B 【分析】根据总体、样本的定义判断即可. 【详解】依题意，从中抽取了100名学生进行调查，则这100名学生是一组样本. 故选：B 2．（23-24高一下·全国·课前预习）样本与样本容量 总体中抽取的部分对象组成总体的一个 .一个样本中包含的个体数目是 . 【答案】 样本 样本容量 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高二·上海·课堂例题）为了解上海市某区居民用户的月平均用水量，通过简单随机抽样获取了100户居民用户的月平均用水量．在这个问题中，总体和样本分别是什么？ 【答案】总体是上海市某区居民用户的月平均用水量，样本是100户居民用户的月平均用水量. 【分析】运用总体和样本概念解题. 【详解】为了解上海市某区居民用户的月平均用水量，通过简单随机抽样获取了100户居民用户的月平均用水量．在这个问题中，总体是上海市某区居民用户的月平均用水量，样本是100户居民用户的月平均用水量. 1．（2024高三·全国·专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】B 【分析】根据随机抽样的特征，即可判断出结果. 【详解】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等， 然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的， 所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的. 故选：B. 2．（2024高一下·全国·专题练习）某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.2，则n等于（　　） A．80 B．160 C．200 D．280 【答案】C 【分析】根据简单随机抽样概率的求解方法，列出方程计算即可. 【详解】由题意可知，，解得. 故选：C 3．（24-25高一上·贵州·期末）某校男生与女生人数之比为，为了解该校学生的体重情况，按性别采用分层随机抽样的方法从该校学生中抽样120人进行调查，则该校女生被抽取的人数是（    ） A．24 B．48 C．36 D．56 【答案】B 【分析】根据分层抽样公式直接求解. 【详解】由分层抽样定义可知被抽取到的女学生人数是. 故选：B. 4．（24-25高三上·河北邢台·期末）某校有男生人，女生人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取人进行调查，则男生被抽取的人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设男生被抽取的人数是，由条件结合分层抽样性质列方程求解即可. 【详解】设男生被抽取的人数是， 由已知可得， 解得，. 故选：C. 5．（24-25高一上·陕西汉中·阶段练习）在以下调查中，适合用全面调查的是（   ） A．了解一个班级学生的身高情况 B．了解一批水稻种子的发芽率 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查某批次汽车的抗撞击能力 【答案】A 【分析】根据调查的概念判断即可； 【详解】选项A：一个班级学生的身高情况，人数较少，适合用全面调查； 选项BCD数量较多，全面调查耗时耗力，适宜用抽样调查. 故选：A. 6．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）某车间的质检员利用随机数表对生产的60个零件进行抽样测试，先将60个零件进行编号，编号分别为01，02，…，60，从中选取5个个体组成样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是 . 【答案】09 【分析】由随机数表法直接求解即可. 【详解】从随机数表第1行的第7列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号， 符合条件的前5个编号是37，14，05，11，09，所以选出来的第5个样本编号为09. 故答案为：09. 7．（23-24高一下·江苏常州·期末）为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子 只. 【答案】 【分析】利用简单随机抽样，结合样本估计总体可解. 【详解】假设草场约有n只兔子，则，则. 故答案为：600. 8．（2025高二上·辽宁·学业考试）进到太空能力有多大，航天舞台就有多大．1970年我国发射的长征一号火箭的运载能力仅有吨，“十三五”期间发射的长征五号等新一代运载火箭运载能力达到25吨级，我国进入太空能力达到世界一级水平．目前正在研究计划2027年发射长征十号火箭，预计运载能力为70吨．假设某发射中心储备的、、三种新型运载火箭零部件的数量比为，用分层抽样的方法抽取48个，则抽取的数量为 ． 【答案】9 【分析】利用分层抽样的意义计算即可. 【详解】应抽取的数量为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·上海·课后作业）数据的直接来源 直接来源：通过 或 等途径获取数据．直接获取的数据称为直接数据或一手数据； 【答案】 调查 实验 【分析】略 【详解】略 10．（23-24高一下·全国·课前预习）总体与个体 所考察问题涉及的 是总体.总体中 都是个体. 【答案】 对象全体 每个对象 【分析】略 【详解】略 11．（23-24高二·上海·课堂例题）下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？判断并简要说明理由． (1)某在线商城在网站首页发布问卷调查，调查登录该网站的客户对于该商城的满意度，访问该网站者可以自愿点击填写； (2)检验员抽检一箱零件，每次检验时抽取1个零件，检验后放回箱子里，再进行第二次检验，一共检验了10次． 【答案】(1)不是 (2)不是 【分析】根据简单随机抽样的定义即可判断. 【详解】（1）不是简单随机抽样，因为被抽取的样本个数的总体的个数是无限的， 而简单随机抽样被抽取的样本个数的总体的个数是有限的； （2）不是简单随机抽样，这是有放回抽样，简单随机抽样是不放回抽样. 12．（24-25高二上·上海·课后作业）为了解某商场今年4月份的营业额，抽查了该商场在今年4月份中5天的营业额，结果如下（单位：万元）：2.5，2.8，2.7，2.4、2.6． (1)在这次调查中，总体和样本分别是什么？ (2)小王根据抽查的5天的数据推断：该商场4月份每天的营业额都低于3万元．你同意小王的推断吗？ 【答案】(1)总体：该商场在今年4月份的营业额，样本：抽取的该商场在今年4月份中5天的营业额． (2)不同意 【分析】根据样本与总体的概念，分析即可得答案； 【详解】（1）总体：该商场在今年4月份的营业额，样本：抽取的该商场在今年4月份中5天的营业额； （2）不同意．因为抽取的样本不够全面，而抽取的5天营业额只反映被抽到的5天的情况，不能反映这个月中每天的情况． 13．（24-25高一上·全国·课堂例题）将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2．若用同比例分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从A中抽取多少个个体？ 【答案】50 【分析】根据分层抽样的方法计算即可. 【详解】因为A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2， 总体中每个个体被抽到的概率相等， 所以分层抽样应从A中抽取（个）个体． 14．（24-25高一上·全国·课堂例题）有以下两个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况． (1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程． 【答案】(1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样 (2)答案见解析 【分析】（1）由分层抽样和简单随机抽样的定义即可得出答案； （2）按照分层、确定抽样比、确定各层样本数、按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本、汇总构成一个容量为40的样本的过程求解即可. 【详解】（1）案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样． （2）①分层，将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称及其他人员四层； ②确定抽样比； ③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8，16，10，6； ④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本； ⑤汇总构成一个容量为40的样本． 15．（23-24高二·上海·课堂例题）小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了10天的数据，它们分别是：68、34、70、45、74、126、108、66、36、72．在这个问题中，总体和样本分别是什么？ 【答案】答案见解析 【详解】总体是小明每天花在体育锻炼上的时间，样本是小明连续10天花在体育锻炼上的时间. 学科网（北京）股份有限公司 $$