江西省赣州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

赣州市2024~2025学年度第一学期期末考试 高二数学试卷参考答案 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1 2 3 5 6 7 8 D A D B B 第8题解析：设圆C上点M的坐标为(x),由MA=)MB卧， 可得-+了-G-旷+0-或，化简得，（红-护++旷=4， 则点M(x,y)在圆心为E(L,-)半径为2的圆上， 因此圆C4和圆(x-)+(y+1)=4要有交点，则需要满足： k-2≤Vk-+(k+)≤k+2,解得V6-2≤k≤√6+2. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ABD AC ACD 第11题C,D选项解析： 对于C,当点Q在线段BB上运动，显然当Q与B重合时，平面PQC与底面ABCD所成角 最大， 过B作BM⊥PC,在RT△BCM和RTACPD中，∠BCM=CPD,∠BMC=CDP=90°， ∴.ABCM~△CPD,则 BM BC CDCP .BM CD.BC_2x2 4 BB=25 ->1=tan45o CP 55,BM4 2 故存在点Q,使得平面PQC与平面在ABCD所成角为45°，选项C正确： 对于D,如图取AB中点P,连接PP,由题可得DB⊥AC, AA⊥平面ABCD,连接BD, ,PP//DB,PPC平面ABCD,则PP⊥AC,PP⊥AA, 又ACnA4=A,AC,AAC平面ACC,A4,则PP⊥平面ACCA,又取DD,中点为g, 则Q2/IDB/IPR,有P,R,Q,2四点共面， 则平面PPQg即为平面aW,设平面a与DC,BC交于R,R, 又由两平面平行性质可知，PP/1RR,Pg/1QR,PQ/QR,又P,P,Q,g都是中点， 故R是D,G中点，R是BC中点， 则平面截正方体ABCD-ABCD的截面为正六边形PPOR RO,正方体棱长为2， 则PR=V2, 故截面面积为6×)×2列xsi血60=35，D正确 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.0.35 13.(x-3+y+1)2=10 14.26 第14题解析：如图，设PF=m,PF=n,延长OQ交PF于A,:2|OP=FF, 则PF⊥PF,OQ/PF,O为FF的中点，则A为PF中点， :∠Q4P=∠FPR=子又点Q在∠FPE的平分线上，则∠QPA=号 故△OAP是等腰直角三角形， 4g=lP4=Pf=,o=PAl=m=og+4g=+a,即m-n=e, 又PF+PF=2a,即m+n=2a, m=a+气n=a-分在T△PR中，PFf+Pf=F,即m+r=4, =4c2, 即4a2=72,e2==4,e2 1 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解(1)，n次二项式的展开式中各项的二项式系数和2， 由题意，得2”=128，即n=7, …….2分 由二项式通项公式，得T=Cx( 即7=Cx宁，令7-=1，得r=4. 2 …4分 一展开式中x项的系数为 16 (2)设展开式中第r+1项的系数最大， yc≥grc 则有 3c≥rc …8分 1 1 7-r2(r+1) ,即为 2r+2≥7-r 化简得 1 8-r≥2r ，…………,10分 解得≤r≤8 ……,12分 reN,则r=2,I=C=2x 21 ∴展开式中项的系数最大的项为一x ,13分 16.解(1)由题意，得4p=16,即p=4,则抛物线C的方程为y2=8x,...2分 设直线l的方程为：x=my+8,A(,),B(x2,乃)， x=my+8 联立方程组得： y2=8x ，六2-8my-64=0,且△>0， +乃2=8m,2=64,.5分 0A=(ky),0B=(22) 0.0丽=55+X=是受+54640. 88 ….7分 (2)因为AM=4MB,=-4y,.9分 由(1)知片+乃=8m,乃2=-64， 「-42+=8m 4奶=64 ，解得m=±3 .12分 ∴.直线1的方程为2x-3y-16=0或2x+3y-16=0..... .....15分 17.解(1)：△PAD为正三角形，O为AD中点，∴.PO⊥AD, ,平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,POc平面PAD, .P0⊥平面ABCD,.2分 由于EO和OD均在平面ABCD内，∴.PO⊥OE,PO⊥OD, 0 :四棱锥P-ABCD的底面是矩形，且O为AD的中点， D E为AC的中点，.EO⊥AD,.OE,OD,OP两两垂直， 以O为原点，OE,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐系，.......3分 A0,-2,0),B22,-2,0),C(2√2,2,0)D0,2,0),P(0,0,2V5),EN2,0,0), AC=(22,4,0),0B=(22,-2,0),0P=(0,0,2), 0B.m=0 2W2x-2y=0 设平面POB的法向量为m=(x,以z),则 即 0p.m=0 2z=0 令x=2,得m=(W2,2,0),5分 可知AC=2m,.AC⊥平面POB,即AC⊥平面POB...7分 2)PMPc,Ec=5,20.F=(-22,-225. am-o-号5.-c+am-c号（号 2),..10分 CD=(-2V2,0,0）,C币=(-22，-2,2W5),设平面PCD法向量为n=(,y,) CD.n=0 -2N2x=0 即 CP.n=0 -2W2x-2y+252=0取y=5,得i=05,,…12分 设直线EM与平面PCD所成角为O, .EM sin=cos(元，EM 3 252 EM -2 2× 45 26 2 直线EM与平面PCD所成角的正弦值 2 15分 法二：：△PAD为正三角形，O是AD中点，.PO⊥AD,:平面PAD⊥平面ABCD,平 面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD,.PO⊥平面ABCD,.2分 又ACc平面ABCD,∴，PO⊥AC,四边形ABCD为矩形，O为AD的中点， A0=4D-号BC=2.在RT△0iB和RTAARC中，：O-=方 AB-BC ∴.RT△OAB~RT△ABC,∴.∠ABO=∠ACB,∠BOA=∠CAB, ∠BAC+∠ABO=∠BAC+∠ACB=90°，∴.AC⊥B0,........6分 又PO,BO在平面POB内且相交，故AC⊥平面PB0..,.,..7分 (2)若采用等体积法等其他方法，请酌情给分 18.解(1)设该选手初赛中答对题目数量为X,X的所有可能取值为0,1,2,3，，1分 .PCX=0)-CC=1 PCX=D-CC=1 C。6' mx=答品x=事瓷动 C%30’…5分 X的分布列为： X 0 1 2 3 P(X) 1 3 1 6 2 10 30 16 ∴.该选手初赛中答对题目数量X的期望EX=0× -+1× 2x3 +3× 6 2 10 3051 ….8分 (2)甲在决赛中总得分大于10分的情况有以下三种情况： 得15分（抢到3次且答对2次、答错1次），得20分（抢到2次且答对2次、1次没抢到）， 得30分（抢到3次且答对3次），.9分 12_2 设甲每轮抢到题目且答对为事件A,P(A)=二× “3×行)，抢到题目且答错的概率为事件B, r@=0-月-没抢到题目为事件C,PO 3 ……….10分 得15分的概率R=C×白xC×咱 4 ………………12分 得20分的概率B=Cx×2=8 381 …………,14分 得30分的概率B=C×守=9/ ,。。。。,。,,,,。。,,,,,。。。。。,16分 92 :甲在决赛中总得分大于10分的概率P=P+B+B=729, 17分 19.解(1)根据(a,四曲线的定义，设(，)，由|OP√几+ud,得VF+=√2+u下 曲线0为(4，-3)曲线，即满足，√2+y=V4-3y2元=4，“=-3得x2+y2=4-3y, 即为x+4y=4,化简得曲线n的方程为+y'=1,故曲线Ω的轨迹为对称中心在坐标原 点、焦点在x轴、长轴长4、短轴长为2的椭圆。，.3分 (2)由题意，当直线I的斜率不存在，则1⊥x轴，AB关于x对称，又Q(2,0), 则kk2<0,不符合题意，……4分 当直线的斜率不存在，设：y=x+b,A(x,片)，B(x2,乃)， B y=kx+b +少2=1'得0+r+8hr+4的-4=0 联立x △=642b2-16(b2-1)1+42)>0,即1+42>b, 8kb 462-1) +6=1中4状：5=1+4状2 …44……………45分 由k:k=产业=±b+D_+x+)+=2, x-2x2-2(:-2x-2)xx2-2(x+x)+4 4k2(b2-1）8k262 ÷+4+4+ 4b-1),16kb 4h+16h+162,则.6分 -4k2+b2 1+4状2+1+4+4 六76+32幼+36k2=(7b+18X6+2k)=0.故b=-18k或b=-2k,.7分 > 当6时，4C:少=k-号，此时过定点学0： 当m=-2k时，AC:y=k(x-2),此时过顶点(2,0)，不符合题意，舍去： 上，直线AC过定点(8,0，得证.9 x=少+4 (3)设直线1的方程为x=y+4(t≠0)，联立 +y=1即(+42+8+12=0， x 4 8t 12 则+为=+45+4 4=(81y-4×12(t+4)=16(t2-12)>0,则1>23或1<-25，.......10分 点B与点D关于x轴对称，则D(x,-2),设点N(x,O), :4ND三点共线，则kw=kN,即=当，即yG-x)=-化-七)， X-Xo x2-x0 即+x=0+),得6=±5=2+y+》_2业4， +2 片+乃 +乃2 点N,0)为定点，…13分 6F-12 S.av =IS.Aw-S.mwl=M-yy+x.)-4y:= 2+4 ，…15分 令x=VP-12(x>0),·S.ABw= 6x 6 63 +16x+16 .164 当且仅当x=4时取等号，“△ABN的面积的最大值为子 …….17分赣州市2024-2025学年度第一学期期末考试 高二数学试卷 2025年1月 (考试时间120分钟，试卷满分150分) 第I卷（选择题共58分）》 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.在空间直角坐标系中，AL,-1,-2),B(-1,-2,),则A,B两点间的距离为 A.√6 B.0 C.4 D.√22 2.对于直线1：√5x-3y+4=0,下列选项正确的是 A.直线I倾斜角为写 B.直线I经过第四象限 C.直线1在y轴上的截距为-骨 D.直线1的一个方向向量为(3，√5) 3.复数z满足(4-3)z=3+4州，则z的共轭复数z= 5+ c D. 4.如图，在四面体OABC中，OA=a,O丽=i,OC=c,ON=2NA,BM=2MC,则NM= A. 2a+6+2 B.2a-2+ 333 3”33 2-,2五1 c.-a+- + 5.某工厂有甲、乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9， 乙车间生产的产品合格率为085，若将两车间的产品混合堆放在一起 且甲、乙车间的产品数量比例为2：3，现从中随机取出一件产品，则取 出的产品是合格品的概率为 A.0.85 B.0.86 C.0.87 D.0.88 6.已知动点P到定点F(2,0)的距离比它到直线x+1=0的距离大1，直线I与动点P的轨迹交于 A,B两点，且线段AB的中点为(4,2)，则直线1的方程为 A.x-2y=0 B.x-y-2=0C.2x-y-10=0D.2x-y-6=0 赣州市期末考试高二数学试卷第1页（共4页） 扫描全能王创建 7.2024年是红军长征出发九十周年、习近平总书记考察江西于都五周年，为弘扬红色文化、促进健 康生活方式，江西省体育局、赣州市人民政府共同举办了一场2024于都红色半程马拉松比赛。 某单位6名志愿者准备分成三组前往比赛途径的中央红军长征出发地纪念碑、金山大道、于都体 育中心这三个站点进行志愿者活动，要求每组至少有1名且最多有3名志愿者，则不同安排的方 法数为 A.540 B.450 C.360 D.180 8.设有一组圆C:(x-k)2+0y-k)子=k2(k>0),A,0),B(1,3),圆C4上存在点M,使得 MA=)M,则k的取值范围为 A.2-5≤k≤2+5 B.√6-2≤k≤√6+2 C.2≤k≤4 D.5-2≤k≤√5+2 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则下列选项正确的是 X 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 a+0.1 A.a=0.1 B.EX=6 C.E(2X+1)=12 D.D(2X+)=33.6 0,已知4B为双曲线C香=a>0,b>0)的左、右顶点，R,乃分别为双曲线的左、右焦点 离心率为2且焦点到渐近线的距离为2√5，P为双曲线上不同于顶点的动点，则下列选项正确 的是 A.双曲线C的方程为芝二=1 B.直线y=V3x-6与双曲线C有两个交点 412 C.直线PA,PB的斜率之积为3 D.若∠FPF=120°，则△FPF2的面积为12√3 11.在边长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，P为线段AD上的中点，点2在线段BB,上运动，则 下列选项正确的是 A.三棱锥C-PQC的体积为定值 B.点2在线段BB,上运动时，Q4+№G的最小值为2+2瓦 C.存在点Q,使得平面PQC与平面在ABCD所成夹角为45° D.当Q为BB,的中点时，过P,2作平面a⊥平面ACC,4,则平面a截正方体ABCD-AB,C,D 的截面面积为3√5 赣州市期末考试高二数学试卷第2页（共4页） 扫描全能王创建 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知随机变量X~N1,σ2)，P(X≤-)=0.15，则P1≤X≤3)的值为 13.经过O(0,0),B(4,-4)两点，且圆心C在直线：x+2y-1=0上的圆的标准方程为 已知R,乃分别为椭圆C:。+长=1(@>b>0)的左、右焦点，0为坐标原点，若椭圆上 62 在一点P,使得2O=FF引，点2在∠FPE的平分线上，O2∥P听，且Og=号，则椭 圆C的离心率为 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)》 已知任+，》的展开式中各项的二项式系数之和为128。 2√F (1)求展开式中x项的系数： (2)求展开式中项的系数最大的项. 16.(本小题满分15分》 已知O为坐标原点，抛物线C:y2=2px经过点(2,4)，直线1经过点M(8,0)且与抛物线C相 交于A,B两点. (1)证明：OA.OB为定值： (2)若AM=4MB,求直线I的方程. 17.(本小题满分15分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2√2，BC=4, △PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD,O为AD的中点， M在线段PC上且满足PM=二PC,AC与BD相交于点E. 3 D (1)求证：AC⊥平面PBO: B (2)求直线EM与平面PCD所成角的正弦值. 赣州市期末考试高二数学试卷第3页（共4页） 扫描全能王创建 18,(本小题满分17分) 2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太 空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志 着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索莫定了坚实的基础。为进一步宜 传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空， 爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行。初赛环节规则如下：每位选手从10 道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛。决赛环节进行三轮抢答，规则如下： 每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢 到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰， (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题 目数量的分布列和期望： (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为二， 能回答正确的概率为 ,求甲 在决赛中总得分大于10分的概率. 19.(本小题满分17分) O为坐标原点，P为坐标平面上与O不重合的点，d表示点P到x轴的距离，OP表示点O到 点P的距离，若满足OP=√几+ud2（元，4均为常数)，则称点P的轨迹为（亿，）曲线。 已知曲线2是(4，-3)曲线，直线I与曲线Ω交于A,B两点（不与曲线Ω的顶点重合）. (1)求曲线2的方程： (2)若点Q(2,0)在曲线2上，直线QA斜率为k,直线QB斜率为k2,且k·k2=2,求证： 直线I过定点： (3)若直线I经过点M(4,O),点B与点D关于x轴对称，直线AD与x轴交于点N,求 △ABN面积的最大值. 赣州市期末考试高二数学试卷第4页（共4页） 扫描全能王创建