预习专题05 整式方程（4知识点+9考点+1易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题05 整式方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.知道一元整式方程与高次方程的有关概念 2.知道含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念初步掌握它们的基本解法 3.通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程，体会分类讨论思想 4.知道二项方程的概念，体验用整体思想解高次方程的将次策略 含字母系数的一元一次方程与一元二次方程 1.字母系数 方程ax=12，中， 是未知数，是用字母表示的已知数，我们把叫作字母系数. 【提示】 含字母系数的一元一次方程应满足两个条件:(1)含字母系数:(2)是关于未知数的一元一次方程.二者缺一不可 2.含字母系数的一元一次方程 方程中，含有字母系数，又是一元一次方程，这个方程是含字母系数的一元一次方程． 【提示】 含字母系数的一元一次方程应满足两个条件:(1)含字母系数:(2)是关于未知数的一元一次方程.二者缺一不可 3.含字母系数的一元二次方程方程 方程 中，含有字母系数 ，又是关于 的一元二次方程，这个方程叫含字母系数的一元二次方程。 【提示】含字母系数的一元二次方程需满足:(1)含字母系数;(2)是关于未知数的一元二次方程，二者缺一不可 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法 1.含字母系数的一元一次方程的解法一般步骤: (1)去分母:方程两边都乘各系数分母的最小公倍数; (2)去括号:利用乘法对加法的分配律和去括号法则去掉括号; (3)移项:把含未知数的项移到方程一边,其他项移到另一边; (4)合并同类项:把方程化为的形式; (5)系数化为:把方程两边同除以,得到方程. 的解 【解题技巧】 一元一次方程 当时，方程有唯一解； 当时，方程无解； 当时，方程有无数解． 【方法总结】 解含字母系数的一元一次方程的基本思路 通过将方程变形,把含有未知数的项归到方程一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程转化为 的形式. 【易混易错提醒】 (1)去分母的依据是等式基本性质2,不要漏乘没有分母的项； (2)运用乘法对加法的分配律去括号时,要乘括号中的每一个因式； (3)移项一定要变号; (4)系数化为1时,有时要对字母系数是否为零进行分类讨论. 如果关于的方程只有一个根x = 0，则_________；b=________． 【题后反思】方程仅有一根的情况，必有． 一元整式方程 1．一元整式方程的概念 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程。 一元整式方程应满足两个条件:(1)只含有一个未知数;(2)含未知数的项都是整式.二者缺一不可. 2．一元次方程 如果经过整理的一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是（是正整数），那么这个方程叫做一元 次方程。 【注意】 （1）判断方程是不是一元次方程应先将原方程整理化简；（2）一元次方程的次数与含未知数的项的最高次数有关，且是正整数． 3．高次方程 在一元次方程中，次数大于2的方程统称为一元高次方程，简称高次方程． 【注意】 当时，一元次方程是一元一次方程；当时，一元次方程是一元二次方程；当（或 且为正整数）时，一元次方程称为高次方程． 4. 解一元一次方程的方法 方程中未知数系数都是数字，将未知数字母系数化成1； 方程中含有字母参数时，确定未知数最高次数是否为零，从而进行分类讨论，方法如下： 一元一次方程 当时，方程有唯一解； 当时，方程无解； 当时，方程有无数解． 二项方程 1.二项方程的概念 一边只含有未知数的一项和非零的常数项，另一边是0的一元次方程； 2.二项方程的解法 关于的一元次二项方程的一般形式：，是正整数) 该方程的根的情况是： 为奇数时，方程有且只有一个实数根； 为偶数时， （1）若，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数； （2）若，那么方程没有实数根． 3.（补充）双二次方程的概念 只含有偶数次项的一元四次方程． 4.双二次方程的解法 （1）换元法解关于x的双二次方程： （2）步骤： ①换元，用新未知数代替方程中的，同时用代替，将原方程转化为关于y的一元二次方程：； ②解一元二次方程：； ③回代． 5.特殊高次方程的解法 对于某些特殊的高次方程，先将方程化为一般式，可尝试将方程左边分解因式，转化为一元一次方程或者一元二次方程来解． 方程类型的判断 例1 判断下列关于的方程，哪些是一元整式方程． 1 ； ②； ③； ④； 5 ；⑥．（、为常数） 【变式1-1】（2024春•金山区期末）下列方程是高次方程的是　　 A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程是关于的一元三次方程的是　　 A． B． C． D． 解含字母的一元一次方程 例2 解关于的方程： （1） ； （2）； （3）． 【变式2-1】关于的方程，分别求为何值时，原方程： （1） 有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解． 【变式2-3】已知无论k取何值，x=2总是关于x的方程的解，求a、b的值． 根据含字母的一元一次方程的解的情况求字母取值范围（或值） 例3 已知关于的方程的解是负数，求k的取值范围． 【变式3-1】如果关于的方程无解，那么=_________． 含字母的一元二次方程的解法 例4 解关于的方程： （1） ； （2）； （3）． 【变式4-1】解关于的方程： （1）； （2）； （3）． 【变式4-2】用适当的方法解关于的方程： ． 根据含字母的一元二次方程的解的情况求字母取值范围（或值） 例5 已知（是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）． A． B． C．且 D．一切实数 【变式5-1】若关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【变式5-2】已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值并解这个方程． 【变式5-3】求为什么实数时，方程①有实数根；②没有实数根． 【变式5-4】（2022春•宝山区校级月考）已知是关于的方程的一个根，求的值并解此方程． 二项方程的判断 例6 （2024春•嘉定区期末）下列方程中，是二项方程的是　　 A． B． C． D． 【变式6-1】（2024春•奉贤区期末）下列方程中是二项方程的是　　 A． B． C． D． 【变式6-2】（2024春•奉贤区期中）在下列关于的方程中，不是二项方程的是　　 A． B． C． D． 【变式6-3】（2024春•青浦区期中）下列关于的方程中，二项方程是　　 A． B． C． D． 【变式6-4】（2022春•杨浦区校级期中）下列方程中，二项方程是　　 A． B． C． D． 解二项方程 例7 （2024春•崇明区期末）二项方程的的实数根是　　 A．2 B．4 C． D． 【变式7-1】（2023春•静安区月考）方程的根是　　 A．0， B．， C．0， D．，0， 【变式7-2】（2024春•金山区期末）方程的根是　 　． 【变式7-3】（2024春•杨浦区期末）方程的根是　　 ． 【变式7-4】（2024春•黄浦区期中）方程的根是　 　． 【变式7-5】（2022春•浦东新区校级期末）方程的根是 　 　． 一元次二项方程根的情况 例8 （2022春•青浦区校级期中）在实数范围内，方程的实数根的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】（2022春•徐汇区校级期中）对于二项方程，当为偶数时，已知方程有两个实数根，那么一定　　 A． B． C． D． 根据二项方程根的情况求字母的值 例9 （2024春•浦东新区期中）已知关于的方程是二项方程，那么______． 【变式9-1】（2022春•闵行区校级期中）关于的方程：是二项方程，　 　． 【例1】若关于的方程有实数根，求的取值范围． 【防错警示】 题目中如果只是说方程，并没有说一次方程，还是二次方程的时候，一定要进行分类讨论. 1.下列关于的方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中含字母系数的一元二次方程有 　 　，高次方程有 　 　，分式方程有 　 　，整式方程有 　 　． 2．（2023春•浦东新区校级期末）下列方程中，是关于的二项方程是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•金山区校级月考）方程的根是 　 　． 4．（2024春•浦东新区月考）方程的根是 　 　． 5．（2022春•嘉定区校级期中）方程的根是 　 　． 6．（2024春•徐汇区校级月考）方程的根是 　 　． 7．（2023春•静安区期末）方程的根是　 　． 8．（2022春•静安区校级期中）方程的根是 　 　． 9．（2021春•浦东新区期末）二项方程的实数根是 　 　． 10．关于的方程的解是 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 整式方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.知道一元整式方程与高次方程的有关概念 2.知道含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念初步掌握它们的基本解法 3.通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程，体会分类讨论思想 4.知道二项方程的概念，体验用整体思想解高次方程的将次策略 含字母系数的一元一次方程与一元二次方程 1.字母系数 方程ax=12，中， 是未知数，是用字母表示的已知数，我们把叫作字母系数. 【提示】 含字母系数的一元一次方程应满足两个条件:(1)含字母系数:(2)是关于未知数的一元一次方程.二者缺一不可 2.含字母系数的一元一次方程 方程中，含有字母系数，又是一元一次方程，这个方程是含字母系数的一元一次方程． 【提示】 含字母系数的一元一次方程应满足两个条件:(1)含字母系数:(2)是关于未知数的一元一次方程.二者缺一不可 3.含字母系数的一元二次方程方程 方程 中，含有字母系数 ，又是关于 的一元二次方程，这个方程叫含字母系数的一元二次方程。 【提示】含字母系数的一元二次方程需满足:(1)含字母系数;(2)是关于未知数的一元二次方程，二者缺一不可 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法 1.含字母系数的一元一次方程的解法一般步骤: (1)去分母:方程两边都乘各系数分母的最小公倍数; (2)去括号:利用乘法对加法的分配律和去括号法则去掉括号; (3)移项:把含未知数的项移到方程一边,其他项移到另一边; (4)合并同类项:把方程化为的形式; (5)系数化为:把方程两边同除以,得到方程. 的解 【解题技巧】 一元一次方程 当时，方程有唯一解； 当时，方程无解； 当时，方程有无数解． 【方法总结】 解含字母系数的一元一次方程的基本思路 通过将方程变形,把含有未知数的项归到方程一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程转化为 的形式. 【易混易错提醒】 (1)去分母的依据是等式基本性质2,不要漏乘没有分母的项； (2)运用乘法对加法的分配律去括号时,要乘括号中的每一个因式； (3)移项一定要变号; (4)系数化为1时,有时要对字母系数是否为零进行分类讨论. 如果关于的方程只有一个根x = 0，则_________；b=________． 【答案】，． 【解析】方程仅有一根为，则有且，得：，． 【题后反思】方程仅有一根的情况，必有． 一元整式方程 1．一元整式方程的概念 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程。 一元整式方程应满足两个条件:(1)只含有一个未知数;(2)含未知数的项都是整式.二者缺一不可. 2．一元次方程 如果经过整理的一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是（是正整数），那么这个方程叫做一元 次方程。 【注意】 （1）判断方程是不是一元次方程应先将原方程整理化简；（2）一元次方程的次数与含未知数的项的最高次数有关，且是正整数． 3．高次方程 在一元次方程中，次数大于2的方程统称为一元高次方程，简称高次方程． 【注意】 当时，一元次方程是一元一次方程；当时，一元次方程是一元二次方程；当（或 且为正整数）时，一元次方程称为高次方程． 4. 解一元一次方程的方法 方程中未知数系数都是数字，将未知数字母系数化成1； 方程中含有字母参数时，确定未知数最高次数是否为零，从而进行分类讨论，方法如下： 一元一次方程 当时，方程有唯一解； 当时，方程无解； 当时，方程有无数解． 二项方程 1.二项方程的概念 一边只含有未知数的一项和非零的常数项，另一边是0的一元次方程； 2.二项方程的解法 关于的一元次二项方程的一般形式：，是正整数) 该方程的根的情况是： 为奇数时，方程有且只有一个实数根； 为偶数时， （1）若，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数； （2）若，那么方程没有实数根． 3.（补充）双二次方程的概念 只含有偶数次项的一元四次方程． 4.双二次方程的解法 （1）换元法解关于x的双二次方程： （2）步骤： ①换元，用新未知数代替方程中的，同时用代替，将原方程转化为关于y的一元二次方程：； ②解一元二次方程：； ③回代． 5.特殊高次方程的解法 对于某些特殊的高次方程，先将方程化为一般式，可尝试将方程左边分解因式，转化为一元一次方程或者一元二次方程来解． 方程类型的判断 例1 判断下列关于的方程，哪些是一元整式方程． 1 ； ②； ③； ④； 5 ；⑥．（、为常数） 【答案】①⑤⑥． 【解析】根据一元整式方程的定义，只含有一个未知数，且方程两边都是关于未知数的整式， 可知①⑤⑥为一元整式方程，②为无理方程，错误；③为分式方程，错误；④含有两个 未知数，是二元方程，错误；综上所述，①⑤⑥为一元整式方程． 【变式1-1】（2024春•金山区期末）下列方程是高次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据高次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：．方程是二元一次方程，不是高次方程，故本选项不符合题意； ．方程是高次方程，故本选项符合题意； ．方程是分式方程，不是整式方程，不是高次方程，故本选项不符合题意； ．方程是无理方程，不是整式方程，不是高次方程，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了高次方程，能熟记高次方程的定义（含有一个或几个不同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数等于或大于2的整式方程叫高次方程）是解此题的关键． 【变式1-2】下列方程是关于的一元三次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元三次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：．方程是分式方程，不是一元三次方程，故本选项不符合题意； ．方程是二元三次方程，不是一元三次方程，故本选项不符合题意； ．， 整理得：，方程是一元三次方程，故本选项符合题意； ．， 整理得：，方程是一元一次方程，不是一元三次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了高次方程，能熟记一元三次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是3的整式方程叫一元三次方程）是解此题的关键． 解含字母的一元一次方程 例2 解关于的方程： （1）； （2）； （3）． 【解析】（1）整理方程得，由此进行分类讨论： 当，即时，方程无解；当，即时，方程解为； （2）整理方程得，由，得，则方程解为； （3）整理方程得，由此进行分类讨论： 当且，即且时，方程无解； 当且，即且时，方程有无数解； 当，即时，方程解为． 【变式2-1】关于的方程，分别求为何值时，原方程： （1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解． 【答案】（1），n为任意数；（2）且；（3）且． 【解析】方程整理成一般形式即为，由此进行分类讨论： 当，即时，方程有唯一解； 当且，即且时，方程有无数解； 当且，即且时，方程无解． 【变式2-3】已知无论k取何值，x=2总是关于x的方程的解，求a、b的值． 【答案】， 【解析】总是方程的解，即满足方程，代入可得，化作关于的方 程可整理得，无论取何值，式子都成立，可视作这个关于的方程有无数解，由此可得且，得，． 根据含字母的一元一次方程的解的情况求字母取值范围（或值） 例3 已知关于的方程的解是负数，求k的取值范围． 【答案】． 【解析】解方程得：，方程解为负数，即，得：． 【总结】考查方程解得意义，先解方程，再根据题目要求求解． 【变式3-1】如果关于的方程无解，那么=_________． 【答案】 【解析】整理方程得，方程无解，则有且，得． 【总结】考查方程无解的情况，则有，． 含字母的一元二次方程的解法 例4 解关于的方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】略． 【解析】（1）时，方程无解；时，得，得：，； （2） 直接开平方法得，解得：，； （3） 当，即时，必有，方程有无数解； 当，即时，方程有唯一解． 【总结】考查含有字母系数的一元二次方程根的求解，注意分类讨论． 【变式4-1】解关于的方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】略． 【解析】（1）当，即时，原方程即为，解得：； 当，即时，方程为一元二次方程，分解因式得， 解得：，； （2） 配方法得，即，由，得，则有，解得：，； （3） 整理方程得，由此可得，即时，方程无解； 当，即时，则有，解得：，． 【总结】考查含有字母系数的一元二次方程形式的方程与方程根的判别式的结合应用，注意对二次项系数进行分类讨论． 【变式4-2】用适当的方法解关于的方程： ． 【答案】， ． 【解析】对该方程用分解因式可得，则有 或，由且， 由此即可解得方程的根为：，． 【总结】考查用适当的方法解一元二次方程，本题注意观察各项系数之间的关系，即可得分解因式进行求解． 根据含字母的一元二次方程的解的情况求字母取值范围（或值） 例5 已知（是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）． A． B． C．且 D．一切实数 【答案】C 【解析】方程是一元二次方程，则必有，得且， 故选C． 【总结】考查一元二次方程的定义，二次项系数不能为0． 【变式5-1】若关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】且． 【解析】方程有两个实数根，方程为一元二次方程，则有二次项系数，且有方程根的 判别式，即得且． 【总结】考查一元二次方程根的判别式，注意二次项系数不能为0的前提条件． 【变式5-2】已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值并解这个方程． 【答案】，方程解为． 【解析】方程有两个相等的实数根，方程为一元二次方程，则有二次项系数，且有方 程根的判别式，即得，此时方程即为 ，整理得：，解得：． 【总结】考查一元二次方程根的判别式的运用，注意二次项系数不能为0的前提条件． 【变式5-3】求为什么实数时，方程①有实数根；②没有实数根． 【答案】①；②． 【解析】①当，即时，方程为一元一次方程，必有实数根；当，即 时，方程为一元二次方程，方程有实数根，则有，得且； 综上，的取值范围为； ②方程没有实数根，则有，得． 【总结】考查含有字母系数的方程与一元二次方程根的判别式的结合应用，由于本题中并未说明是什么方程，因此要对二次项系数进行分类讨论． 【变式5-4】（2022春•宝山区校级月考）已知是关于的方程的一个根，求的值并解此方程． 【答案】；，，． 【分析】先把代入方程求出，再把的值代入方程利用因式分解法求出方程的解． 【解答】解：是关于的方程的一个根， ． ． 原方程为． ． ． ，，． 【点评】本题主要考查了解高次方程，掌握方程解的意义和解方程的因式分解法是解决本题的关键． 二项方程的判断 例6 （2024春•嘉定区期末）下列方程中，是二项方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二项方程的定义判断即可． 【解答】解：方程的右边不是零， 该方程不是二项方程． 不合题意． 的左边没有非零常数项， 该方程不是二项方程． 不合题意． 方程的左边没有非零的常数项， 该方程不是二项方程， 不合题意． 方程的右边为零，左边含有非零常数项， 是二项方程． 符合题意． 故选：． 【点评】本题考查二项方程的定义，掌握二项方程的特征是求解本题的关键． 【变式6-1】（2024春•奉贤区期末）下列方程中是二项方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数，这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项；方程的右边是0，结合选项进行判断即可． 【解答】解：、不是二项方程，故本选项错误； 、不是二项方程，故本选项错误； 、不是二项方程，故本选项错误； 、是二项方程，故本选项正确； 故选：． 【点评】本题考查了二项方程的定义，注意二项方程的左边只有两项，一项含未知数，一项是常数，右边为0． 【变式6-2】（2024春•奉贤区期中）在下列关于的方程中，不是二项方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二项方程的定义逐个判断得结论． 【解答】解：把各方程移项，使等号右边为0，满足二项方程的是、、， 由于方程移项后左边是三项，故选项不是二项方程． 故选：． 【点评】本题考查了二项方程的定义，二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数，这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项；方程的右边是0． 【变式6-3】（2024春•青浦区期中）下列关于的方程中，二项方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二项方程的定义，判断求解即可． 【解答】解：二项方程的一边只有两项，其中一项含未知数，这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项；方程的另一边是0， 、不是二项方程； 、不是二项方程； 、不是二项方程； 、是二项方程， 故选：． 【点评】本题考查的是高次方程，熟练掌握二项方程的定义是解题的关键． 【变式6-4】（2022春•杨浦区校级期中）下列方程中，二项方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二项方程的定义判断求解． 【解答】解：有三项，不符合二项方程定义， 不合题意． 左边是二项式，右边为0，不符合二项方程的定义． 不符合题意， ，可得，符合二项方程定义． 符合题意． 是分式方程， 不合题意． 故选：． 【点评】本题考查二项方程的定义，掌握二项方程的定义是求解本题的关键． 解二项方程 例7 （2024春•崇明区期末）二项方程的的实数根是　　 A．2 B．4 C． D． 【答案】 【分析】先移项，再方程两边都乘2，再求出答案即可． 【解答】解：， ， ， ， 即， 所以原方程的实数根是． 故选：． 【点评】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键． 【变式7-1】（2023春•静安区月考）方程的根是　　 A．0， B．， C．0， D．，0， 【答案】 【分析】把方程进行因式分解得到，据此求解即可． 【解答】解：， ， ， 解得或， 故选：． 【点评】本题主要考查了利用因式分解法解高次方程，正确对方程进行因式分解是解题的关键． 【变式7-2】（2024春•金山区期末）方程的根是　 　． 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解： 或（舍去） 故答案为： 【点评】本题考查高次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【变式7-3】（2024春•杨浦区期末）方程的根是　　． 【分析】把方程变形为形为，利用立方根求解即可． 【解答】解：（法方程可变形为， 因为， 所以方程的解为． 故答案为： （法方程可变形为， 所以． 故答案为： 【点评】本题考查了立方根的意义，解决本题可利用立方的办法． 【变式7-4】（2024春•黄浦区期中）方程的根是　 　． 【答案】． 【分析】首先移项变为，然后利用即可求解． 【解答】解：， ， 而， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了高次方程，同时也利用了幂的定义，解题的关键是利用求解． 【变式7-5】（2022春•浦东新区校级期末）方程的根是 　 　． 【答案】或． 【分析】运用直接开方法进行解答便可． 【解答】解：， ， ， 或， 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了高次方程的解法，掌握直接开方法是解题的关键． 一元次二项方程根的情况 例8 （2022春•青浦区校级期中）在实数范围内，方程的实数根的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】先移项得出，再根据四次方根的定义求出方程的解即可． 【解答】解：， ， ， 即方程的实数根的个数是2， 故选：． 【点评】本题考查了解高次方程，能求出是解此题的关键． 【变式8-1】（2022春•徐汇区校级期中）对于二项方程，当为偶数时，已知方程有两个实数根，那么一定　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据偶数次方的非负性求解． 【解答】解：， ， 为偶数时，已知方程有两个实数根， ， ． 故选． 【点评】本题考查高次方程的解，注意偶数次方的非负性是求解本题的关键． 根据二项方程根的情况求字母的值 例9 （2024春•浦东新区期中）已知关于的方程是二项方程，那么______． 【分析】根据关于的方程是二项方程，即不含这一项，可得． 【解答】解：关于的方程是二项方程， ，即， 故答案为：0． 【点评】本题考查了高次方程，利用方程的项数得出方程不含一次项是解题关键． 【变式9-1】（2022春•闵行区校级期中）关于的方程：是二项方程，　0　． 【答案】0． 【分析】根据二项方程的定义求． 【解答】解：二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数，另一项是常数项，方程的右边是0． ． 故答案为：0． 【点评】本题考查了二项方程，掌握二项方程的定义是解决本题的关键． 【例1】若关于的方程有实数根，求的取值范围． 【分析】分类讨论：当，即，且，原方程为一元一次方程，有解；当，即，关于的方程有实数根，则有△，即△，解得，即且；最后综合得到的取值范围． 【解答】解：当，即，且，原方程为一元一次方程，有解； 当，即， 关于的方程有实数根， △，即△，解得， 且； 所以的取值范围为． 【点评】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式△．当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．同时考查了一元一次方程和一元二次方程的定义以及分类讨论思想的运用． 【防错警示】 题目中如果只是说方程，并没有说一次方程，还是二次方程的时候，一定要进行分类讨论. 1.下列关于的方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中含字母系数的一元二次方程有 　 　，高次方程有 　 　，分式方程有 　 　，整式方程有 　 　． 【答案】②⑧，①⑤，③⑦，①②④⑤⑥⑧⑨． 【分析】根据分式方程的定义、一元二次方程的定义即可． 【解答】解：①是高次方程，是整式方程； ②是含字母系数的一元二次方程，是整式方程； ③是分式方程； ④是整式方程； ⑤是高次方程，是整式方程； ⑥是整式方程； ⑦是分式方程； ⑧含字母系数的一元二次方程，是整式方程； ⑨是整式方程． 其中含字母系数的一元二次方程有②⑧，高次方程有①⑤，分式方程有③⑦，整式方程有①②④⑤⑥⑧⑨． 故答案为：②⑧，①⑤，③⑦，①②④⑤⑥⑧⑨． 【点评】本题考查了分式方程、一元二次方程等知识，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程；只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程是解题的关键． 2．（2023春•浦东新区校级期末）下列方程中，是关于的二项方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程． 【解答】解：根据二项方程的定义，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查高次方程，解题的关键是理解题意，属于中考基础题． 3．（2024春•金山区校级月考）方程的根是 　 　． 【答案】． 【分析】由可得，即可得出答案． 【解答】解：， ， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查高次方程，熟练掌握降次是关键． 4．（2024春•浦东新区月考）方程的根是 　 　． 【答案】． 【分析】把高次方程转化成低次方程解此题即可． 【解答】解：原方程变形为：， ， 开方得：或（舍去）， 开方得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了高次方程，熟练掌握降次是解答本题的关键． 5．（2022春•嘉定区校级期中）方程的根是 　 　． 【答案】，，． 【分析】先把方程的左边分解因式，即可得出三个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：， ， ， 或或， 解得：，，， 故答案为：，，． 【点评】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键． 6．（2024春•徐汇区校级月考）方程的根是 　 　． 【答案】，，． 【分析】通过因式分解化为低次方程求解即可． 【解答】解：， ， 或， 解得，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查了解高次方程，能因式分解化为低次方程是解题的关键． 7．（2023春•静安区期末）方程的根是　 　． 【分析】先移项，再开立方即可． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键． 8．（2022春•静安区校级期中）方程的根是 　 　． 【答案】，． 【分析】利用直接开方法解方程． 【解答】解：， ， ， ，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了高次方程的解，类似于解一元二次方程的直接开平方法． 9．（2021春•浦东新区期末）二项方程的实数根是 　 　． 【答案】． 【分析】先求的解，再求实数根即可． 【解答】解：． ． （负值舍去）． ． 故答案为：． 【点评】本题考查高次方程的解法，关键在于降次，利用开平方即可降次是关键． 10．关于的方程的解是 　 　． 【答案】． 【分析】方程的两边都乘以3，把的积写成幂的形式，利用开五次方得结论． 【解答】解：， ． 即． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了高次方程，把的积写成3的幂的形式是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$