第05讲 整式方程与分式方程（讲义）-【寒假自学课】2023年八年级数学寒假精品课（沪教版）

第5讲-整式方程与分式方程 ( 学习目标 ) 1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念； 2．理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法； 3．会解可化成一元二次方程的分式方程． ( 考点剖析 小课堂 ) 1．一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程． 2．一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n（n是正整数），这个方程叫做一元次方程． 3．一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n，若次数n是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程． 4．（1）二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程． （2）二项方程的一般形式为 （3）二项方程根的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根 当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数； 如果ab>0，那么方程没有实数根. 5．下面四个方程中是整式方程的是（　　）． A． B． C． D． 6．下面四个关于的方程中，次数和另外三个不同的是（　　）． A． B． C． D． 7．下列方程中，是二项方程的是（ ） A. ； B.； C.； D. . 参考答案：5．C； 6．A； 7．C 例题1：用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3） （4） 教法说明：首先回顾下解一元二次方程的四种方法：开平方法、因式分解法、配方法、公式法，要求灵活应用四种方法解一元二次方程，可以让学生观察四个方程分别用什么方法解比较简单。 强调：求根公式要求学生熟练掌握 参考答案：（1）开平方法：； （2）公式法： （3）配方法：； （4）因式分解法： 例题2：解下列关于的方程 （1） （2） 教法说明：首先要求学生理解方程和方程的解得情况，可以让学生相互讨论。 强调：解关于字母系数的方程需要注意分类讨论 参考答案： 解：（1）去括号，得 移项，合并同类项，得 ※ 当时，方程※是一元一次方程，解得 ； 当时，方程※变成 ，因此方程无解。 所以，当时，原方程的根是；当时，原方程无解。 （2）移项，合并同类项，得 因为，所以 两边同除以，得 ※ 当时，由方程※解得 ； 当时，方程※中，这时方程没有实数根。 所以，当时，原方程的根是，；当时，原方程没有实数根。 例题3：解下列方程 （1） （2） （3） （4） 教法说明：解简单的高次方程思路：用因式分解法把一元高次方程转化成一元一次方程或一元二次方程 解双二次方程的思路：用换元法就将双二次方程转化为一元二次方程 参考答案：（1）； （2）； （3）；（4） 例题4：解方程： 教法说明：解分式方程的一般思路如下，需要特别强调验根。 参考答案： 解：原方程变为：， 去分母，得 ， 整理后，得 . 解这个方程，得 . 检验：，代入 所以原方程的解为. 例题5：解下列方程（1）； （2）. 参考答案： （1）设，则原方程可化为 ，解得 . 当时，即； 当时，即. 所以均为原方程的根. （2）设，那么，于是原方程变形为， 去分母，得 ，解得：， 当时，， 去分母并整理，得，解得 . 当时，即， 去分母并整理，得：， 解得 检验：把分别代入原方程的分母，各分母都不等于0 所以原方程根是：. 一、单选题 1．若关于x的分式方程有增根，则k的值是（） A． B．﹣ C． D．2 2．已知关于x的分式方程无解，则m的取值为（  ） A． B．或2 C．或或2 D．不能确定 3．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 4．下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 5．如果用换元法解分式方程，并设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（    ） A．是二项方程； B．是二元二次方程； C．是分式方程； D．是无理方程． 7．在实数范围内，方程x4﹣16＝0的实数根的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A． B．2 C．1 D． 9．下列方程中，属于二项方程的是（    ） A． B． C． D． 10．若整数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等