江苏省苏北四市（徐连淮宿）2025届高三第一学期期末调研测试数学试题

江苏省苏北四市（徐连淮宿）2025届高三第一学期期末调研测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知复数z满足，则(    ) A. B. C. D. 3.已知向量，，若，则(    ) A. 3 B. C. 4 D. 0 4.在矩形ABCD中，，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 5.若为偶函数，则(    ) A. B. C. 1 D. 2 6.已知，若，且的最小值为，则(    ) A. B. 1 C. D. 2 7.已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为(    ) A. B. C. D. 8.定义：，两点间的“M距离”为把到两定点，的“M距离”之和为常数的点的轨迹叫“M椭圆”，则“M椭圆”的面积为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.设甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有1个白球和2个红球.现从甲袋中任取1个球放入乙袋，用事件，分别表示从甲袋中取出的是白球和红球.再从乙袋中随机取出1个球，用事件B表示从乙袋中取出的是白球，则(    ) A. ，互斥 B. 与B相互独立 C. D. 10.已知，为锐角，，，则(    ) A. B. C. D. 11.已知数列a，b，c，d，前三项a，b，c成等差数列，且公差不为0，后三项b，c，d成等比数列，则(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当，时，或 D. ，，，可能成等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在中，，，，则          . 13.写出一条与圆和抛物线都相切的直线的方程          . 14.已知函数，则的解集为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 某新能源汽车公司对其销售的A，B两款汽车向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车消费者中各随机抽取10名进行评分调查满分100分，评分结果如下： 数据Ⅰ型车，81，73，80，81，77，86，85，90， 数据Ⅱ型车，76，81，67，72，87，86，95，93， 求数据Ⅰ的25百分位数; 该公司规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的消费者中随机抽取3人沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中购买B型车的消费者人数为X，求X的概率分布及数学期望. 16.本小题15分 如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，D为AC的中点，，侧面底面 证明： 当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 17.本小题15分 已知函数， 当时，求曲线在点处的切线方程; 当时，，求a的取值范围. 18.本小题17分 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，渐近线方程为 求C的方程; 过的直线l分别交C的左、右两支于A，B两点，直线交C于另一点P， ①若，求点P的坐标; ②是否存在常数，使得若存在，请求出的值;若不存在，请说明理由. 19.本小题17分 定义：表示正整数m的各位数之和，如：记 求和 求数列的通项公式; 若正整数m的各位数非零且成等差数列，，求m的值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了交集的运算，属于基础题． 由函数的定义域求得集合B，根据交集的定义即可求出． 【解答】 解：集合， 则 2.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查复数的四则运算以及共轭复数概念，模的计算，属于基础题. 先求出z，再写出其共轭复数，再根据模的公式计算，即可得到答案. 【解答】 解：因为， 所以 所以 所以 故选 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了向量的数量积，属于基础题. 对进行化简求解可得. 【解答】 解：因为，，， 所以可得， 即，所以， 即可得，解得 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题. 由题意可得，根据勾股定理求出，利用椭圆定义即可求离心率． 【解答】 解：，则 因为C在椭圆上，所以由椭圆定义知：， 即 解得 故选 5.【答案】D  【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性 ，注意运用定义法，属于基础题. 根据偶函数的定义即可求得. 【解答】解：因为为偶函数，所以， 则， 即 即 解得， 故选 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查正弦函数的图象与性质，属于基础题. 由，得，，两式作差即可求出结果. 【解答】 解：因为函数    ，满足， 不妨令，，， 两式相减得： 又 故选 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查棱锥的外接球问题，属于一般题. 求出棱锥的斜高和高，求外接球的半径，由球的表面积公式即可求解. 【解答】 解：设正四棱锥的斜高为，高为h，外接球的半径为R， 因为正四棱锥侧面积为，则，解得， 则正四棱锥的高， 则，解得， 则该四棱锥的外接球的表面积 8.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查曲线与方程，直接法求曲线方程，并通过方程研究曲线，属较难题. 直接法求出曲线方程，通过其对称性质先研究它在第一象限的特征，进而得到整个图形特征，求得其面积. 【解答】 解：设，则“M椭圆”方程是，即， 易得“M椭圆”关于x轴，y轴，原点对称， 研究“M椭圆”在第一象限图象， ，时方程为，是一条线段，端点坐标分别为，， ，时方程为，表示一条线段，端点坐标分别为，， 结合曲线的对称性，“ M椭圆”大致图象如图： 四边形OACB是直角梯形，上底长为c，下底长为a，高为，梯形OACB面积为， 所以“M椭圆”面积为 故选： 9.【答案】AC  【解析】【分析】 本题主要考查了互斥事件，相互独立事件，条件概率，属于中档题. 由题意， 是两两互斥的事件，可判断A，，，，可判断C，求得 ，  可判断D，求得，  ，可判断 【解答】 解：由题意  ，   是互斥的事件，故A正确; 且  ，  ，      ，故C正确;             ，故D错误， ，     ，   ，故B错误； 故选： 10.【答案】BCD  【解析】【分析】本题考查三角恒等变换，属于中档题. 由已知得到，可对BCD作出判断，从B出发可得到，以此，可判断 【解答】 解：，为锐角，，可得到，① ，得，②，由①②，又，得， 则，B正确； ，C正确； 又，，，从而，D正确； 由B知，则有，， 又，，则，所以，则A错误. 故选： 11.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查等差数列与等比数列的性质，属于较难题. 根据等差数列与等比数列的性质可判断A；取可判断B；设等差数列的公差为m，，可得，求解可判断C；由，，成等比数列，得，根据二倍角公式及两角和差的余弦公式可取，从而可判断 【解答】 解：因为a，b，c成等差数列，b，c，d成等比数列， 所以， 对于A，当时， 则，即 又，所以，所以，故A正确； 对于B，取满足a，b，c成等差数列，b，c，d成等比数列， 又，但，故B错误； 对于C，设等差数列的公差为m，， 则， 因为，， 所以，解得或，故C正确； 若，，成等比数列， 则， 所以， ， ， ， 可取，， 则， 取，则，，，，，，， 此时，，，成等比数列，故D正确. 12.【答案】3  【解析】【分析】 本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题. 由同角三角函数的基本关系得，由正弦定理求得BC，再有余弦定理求得 【解答】 解：在中，由，可得， 由正弦定理得，，即，解得， 由余弦定理得，，整理得，， 即， 解得舍去或， 故答案为 13.【答案】或 填一个即可  【解析】【分析】 本题考查了圆与抛物线的公切线问题，点到直线的距离公式等知识，属于中档题. 对抛物线方程求导，设出直线方程，由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可. 【解答】 解：设公切线与抛物线 切于点 ，，而 x， 所以M处的公切线方程为  ， 即 ， 结合公切线与圆， 即  相切得 ， 解得   1， 所以公切线的方程为或  故答案为或 填一个即可 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于难题． 根据题意，利用导数研究函数的单调性，对a进行分类讨论，即可求解. 【解答】 解：的定义域为R， ， ①：当时，恒成立，故单调递增， 则不等式恒成立，满足题意； ②：当时，，令，可得或，令，可得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 又，则 所以要使不等式成立，只需满足，且，即，且， ③：当时，，令，可得或，令，可得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 因为， 又， 所以要使不等式成立，需满足，再结合，解得 综上所述，不等式的解集为： 故答案为：  15.【答案】解：将数据Ⅰ从小到大排列为：67，73，77，80，81，81，85，86，90， 因为，所以数据Ⅰ的25百分位数为77 数据Ⅰ中75分以下的有67分，73分; 数据Ⅱ中75分以下的有61分，67分，72分， 所以上述不满意的消费者共5人，其中 A车型中2人， B车型中3人. 所以X的所有可能取值为1，2， ， 所以X的概率分布为 数学期望  【解析】本题考查百分位数、离散型随机变量的分布列和数学期望 将数据从小到大排列，根据百分位数的定义进行求解即可； 的所有可能取值为1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列和数学期望。 16.【答案】解：等边三角形ABC中，D为AC中点，所以， 因为侧面底面ABC，侧面底面 平面ABC，所以平面， 又因为平面，所以 在中，，， 所以， 所以， 所以是等腰三角形，又D为AC中点，所以， 由知，，平面， 又平面， 所以， 所以DB，DC，两两垂直. 以为正交基底建立空间直角坐标系 则，，，，， 所以，，设平面的法向量为， 则 不妨取，则，， 所以平面的一个法向量为，  平面的一个法向量为，  记平面与平面的夹角为， 所以，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为  【解析】本题考查面面垂直的性质，线线垂直的判定，及向量法求二面角，考查推理及运算能力，属于中档题. 由面面垂直的性质可得平面，从而可判断； 建立坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，即可得出答案. 17.【答案】解：当时，，， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为 当时，由可知恒成立，符合题意; 当时，由得恒成立， 令，，则， 令得，列表得 x 0 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 所以，则，即 综上所述，  【解析】本题主要考查的是导数的几何意义，利用导数解决函数的恒成立问题，利用导数求函数的最值，属于中档题. 根据条件求得与，即可得到切线方程. 当时显然成立，当时，不等式等价于恒成立，求得在上的最大值，即可得到a的范围. 18.【答案】解：由题意得， 解之得，所以C的方程为 设，， 设，，， 由得， 则， 由得， 则， 因为，所以， 则，整理得， 因为，， 所以， 即， 因为点B在双曲线C上，所以， 则，解之得， 则，所以， 则，即直线BP垂直于x轴，故 由知，，， 所以， 则 ， 而， 所以，即存在满足题意.  【解析】本题考查双曲线中的面积问题，直线与双曲线位置关系应用，属较难题. 由焦距可得c，由渐近线可得a、b关系，再结合a、b、c的平方关系求解即可； ①设，，分别于双曲线联立，由，得，则，结合B在双曲线上，代入可得B坐标，进而求得P坐标； ②由韦达定理可得，进而利用斜率公式可得，，即可得解. 19.【答案】解：， 设的前n项和为，则， 即， 当时，，所以，即 所以，又， 故是以为首项，为公差的等差数列. 所以， 故的通项公式为 设m为位正整数，由m的各位数非零可知，，所以 又，则，所以， 因为，所以，即， 设，则，所以是递减数列. 又，，所以 又，所以或或或 因为m的各位数成等差数列，设公差为 若，当时，，所以，此时 当时，，所以，不满足 若，当时，，所以，此时 当时，，不符合题意; 若，当时，，所以，此时 当时，，不符合题意; 若，当时，，所以，此时 当时，，不符合题意. 综上所述，m的值为  【解析】本题主要考查的是数列的新定义问题，等差数列的判定与通项公式，分组求和，数列的单调性，数列与不等式，属于难题. 由数列的定义求函数的和即可. 设的前n项和为，利用定义可得，由与的关系可得，则，利用等差数列的通项公式求解即可. 显然，则，结合m的范围可得，则，故，设，易判断得是递减数列，结合，，可得，分，4，5，6四种情况逐项判断即可. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$