16.7二次根式与材料阅读问题重难点培优（分层提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

16.7二次根式与材料阅读问题重难点培优（分层提分练） 1．请阅读下列材料： 问题：已知x2，求代数式x2﹣4x﹣7的值． 小敏的做法是：根据x2得（x﹣2）2＝5， ∴x2﹣4x+4＝5，得：x2﹣4x＝1． 把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6． 即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下面问题： （1）已知x2，求代数式x2+4x﹣10的值； （2）已知x，求代数式x3﹣2x+1的值． 2．求代数式a的值，其中a＝﹣2022．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． 小芳： 解：原式＝aa+1﹣a＝1 小亮： 解：原式＝aa+a﹣1＝﹣4045 （1）　 　的解法是错误的； （2）求代数式a+2的值，其中a＝4． 3．小明在解决问题：已知a，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵a2， ∴a﹣2． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）填空：　 　；　 　； （2）计算：（）•（1）； （3）若a，求2a2﹣12a﹣5的值． 4．阅读并解答问题： ； ； 2； …… 上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题： （1）将的分母有理化； （2）已知a，b，求a+b的值； （3）计算． 5．观察下列一组等式，解答后面的问题： （1）（1）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1， （1）根据上面的规律： ①　 　； ②　 　； （2）计算：（）×（1）． （3）若a，则求a3﹣4a2﹣2a+1的值． 6．爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：来进一步化简． 比如：，∴当x+1≥0即x≥﹣1时，原式＝x+1；当x+1＜0即x＜﹣1时，原式＝﹣x﹣1． （1）仿照上面的例子，请你尝试化简． （2）判断甲、乙两人在解决问题：“若a＝9，求的值”时谁的答案正确，并说明理由． 甲的答案：原式； 乙的答案：原式． （3）化简并求值：，其中． 7．阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号． 例如：1． 解决问题： （1）在括号内填上适当的数：⑤，①：　 　，②：　 　，③　 　，④：　 　，⑤：　 　； （2）根据上述思路，试将予以化简． 8．“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法． 如：3+2． 除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． 如：化简． 解：设x，易知，故x＞0． 由于x2＝（）2＝2222． 解得x，即 根据以上方法，化简：． 9．小马在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了如下探索： 设a+b（m+n）2，（其中a、b、m、n均为正整数）则有a+bm2+2mn2n2． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn． 这样，小马找到了把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b得，a＝　 　，b＝　 　． （2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：　 　+　 　（ 　 　+　 　）2． （3）设x，试用含有x的代数式（各项系数均为有理数）来表示．（要写出必要过程） 10．阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求y的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y． 当x＝2时，分母有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较和的大小； （2）求y3的最大值． 11．像2；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． （1）； （2）． 勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． （3）化简：． 解：设x，易知，∴x＞0． 由：x2＝32．解得x． 即． 请你解决下列问题： （1）2的有理化因式是 　 　； （2）化简：； （3）化简：． 12．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2． 设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　． （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　（　 　+　 　）2； （3）化简 13．小明在解决问题：“已知a，求2a2﹣8a+1的值”时， 他是这样分析与解的： ∵a2 ∴a﹣2，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）求的值； （2）若a， ①求4a2﹣8a+1的值； ②直接写出代数式的值：a3﹣2a2+a﹣2＝　 　； 2a2﹣5a2＝　 　． 14．阅读材料：像（、3、a（a≥0）、b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，1与1，23与23等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号 例如：；3+2 解答下列问题 （1）3与　 　互为有理化因式，将分母有理化得　 　； （2）计算； （3）观察下面的变形规律并解决问题 ①，，，若n为正整数，请你猜想　 　； ②计算：（） 一、解答题 1．（24-25八年级上·北京通州·期末）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如果一个三角形三边长分别为a，b，c ，记，那么三角形的面积为…，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式…，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式． (1)设a，b，c为的三边，当，，时，求的面积． (2)请你对公式②进行变形，推导出公式①． 3．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； (2)分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 4．（23-24八年级下·四川达州·期末）阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 5．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）【阅读下列材料】 若，则（注：）． ．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．） 【例】：若，求的最小值． 解：， ． 时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)若，求的最大值； (2)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少． 6．（2024·江苏镇江·二模）中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积 （海伦公式）． 请完成下列问题： (1)一个三角形的三边长依次为5，5，6，则该三角形的面积为 ； (2)请由秦九韶公式推导出海伦公式； (3)若三角形的周长为，一边长为，求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状． 7．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 8．（23-24八年级下·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则______，______，______； (2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当，都是正数时，，，的大小关系是：______（把，，从小到大排列，并用“”或“”号连接）． ③当时，的最大值是______． 9．（23-24八年级下·北京·期中）阅读材料： 材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：， ， ，即． 的最小值为1． 阅读上述材料解决下面问题： (1)_______，______； (2)求的最值； (3)比较和的大小，并说明理由． 10．（19-20八年级上·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： ； (2)m 是正整数， a ，b 且．求 m． (3)已知，求的值． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.7二次根式与材料阅读问题重难点培优（分层提分练） 1．请阅读下列材料： 问题：已知x2，求代数式x2﹣4x﹣7的值． 小敏的做法是：根据x2得（x﹣2）2＝5， ∴x2﹣4x+4＝5，得：x2﹣4x＝1． 把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6． 即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下面问题： （1）已知x2，求代数式x2+4x﹣10的值； （2）已知x，求代数式x3﹣2x+1的值． 【答案】（1）﹣9； （2）0． 【分析】（1）原式配方变形后，将x的值代入计算即可求出值； （2）求出x2的值，原式变形后，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）∵x2， ∴x+2， 则原式＝（x2+4x+4）﹣14 ＝（x+2）2﹣14 ＝（）2﹣14 ＝5﹣14 ＝﹣9； （2）∵x， ∴x2＝（）2， 则原式＝x（x2﹣2）+1 （2）+1 1 1 ＝﹣1+1 ＝0． 2．求代数式a的值，其中a＝﹣2022．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． 小芳： 解：原式＝aa+1﹣a＝1 小亮： 解：原式＝aa+a﹣1＝﹣4045 （1）　小亮　的解法是错误的； （2）求代数式a+2的值，其中a＝4． 【答案】（1）小亮； （2）2． 【分析】（1）根据题意得到a﹣1＜0，根据二次根式的性质计算即可； （2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵a＝﹣2022， ∴a﹣1＝﹣2022﹣1＝﹣2023＜0， ∴1﹣a， ∴小亮的解法是错误的， 故答案为：小亮； （2）∵a＝4， ∴a﹣3＝43＝10， ∴3﹣a， 则a+2 ＝a+2 ＝a+2（3﹣a） ＝6﹣a， 当a＝4时，原式＝6﹣（4）＝2． 3．小明在解决问题：已知a，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵a2， ∴a﹣2． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）填空：　　；　　； （2）计算：（）•（1）； （3）若a，求2a2﹣12a﹣5的值． 【答案】（1）；． （2）2020． （3）﹣3． 【分析】（1）根据分母有理化法则计算； （2）根据分母有理化法则把各个二次根式化简，合并同类二次根式即可； （3）根据分母有理化把a的值化简，根据完全平方公式把原式化简，把化简后的a的值代入计算即可． 【详解】解：（1）； ． 故答案为：；． （2）原式＝（﹣1）•（1） ＝（﹣1）•（1） ＝2021﹣1 ＝2020． （3）∵a， 而2a2﹣12a﹣5＝2（a2﹣6a）﹣5＝2（a2﹣6a+9）﹣18﹣5＝2（a﹣3）2﹣23． ∴2（a﹣3）2﹣23＝2（3﹣3）2﹣23＝﹣3． 4．阅读并解答问题： ； ； 2； …… 上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题： （1）将的分母有理化； （2）已知a，b，求a+b的值； （3）计算． 【答案】（1）2；（2）2；（3）9． 【分析】（1）利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算； （2）先利用平方差公式进行分母有理化计算，从而化简a和b的值，然后代入求值； （3）利用平方差公式进行分母有理化计算，然后通过观察数字变化的规律进行分析计算． 【详解】解：（1）原式 2； （2）a， b， ∴a+b2； （3）原式... 1... 1 ＝10﹣1 ＝9． 5．观察下列一组等式，解答后面的问题： （1）（1）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1， （1）根据上面的规律： ①　　； ②　5﹣2　； （2）计算：（）×（1）． （3）若a，则求a3﹣4a2﹣2a+1的值． 【答案】（1）①； ②5﹣2； （2）2021； （3）1116． 【分析】（1）①根据平方差公式得出答案即可； ②先分母有理化，再求出答案即可； （2）根据得出的规律进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算，最后根据二次根式的乘法法则和平方差公式进行计算即可； （3）求出a的值，再求出a2的值，再代入多项式a3﹣4a2﹣2a+1，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ② ＝5﹣2， 故答案为：5﹣2； （2）（）×（1） ＝（1•••）×（1） ＝（1）×（1） ＝（）2﹣12 ＝2022﹣1 ＝2021； （3）∵a1， ∴a2＝（1）2＝2﹣21＝3﹣2， ∴a3﹣4a2﹣2a+1 ＝（3﹣2）×（1）﹣4×（3﹣2）﹣2×（1）+1 ＝33﹣4+212+822+1 ＝1116． 6．爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：来进一步化简． 比如：，∴当x+1≥0即x≥﹣1时，原式＝x+1；当x+1＜0即x＜﹣1时，原式＝﹣x﹣1． （1）仿照上面的例子，请你尝试化简． （2）判断甲、乙两人在解决问题：“若a＝9，求的值”时谁的答案正确，并说明理由． 甲的答案：原式； 乙的答案：原式． （3）化简并求值：，其中． 【答案】（1）当m0即m时，原式＝m， 当m0即m时，原式＝﹣m． （2）乙的答案正确． （3）23． 【分析】（1）仿照上面的例子，分类讨论即可化简； （2）根据a＝9，得1﹣a＜0，即可判断出答案； （3）根据，得x﹣1＞0，2﹣x＜0，即可化简求值． 【详解】解：（1） ＝|m|， ∴当m0即m时，原式＝m， 当m0即m时，原式＝﹣m． （2）∵a＝9， ∴1﹣a＜0， ∴原式． ∴乙的答案正确． （3）∵， ∴x﹣1＞0，2﹣x＜0， ∴ ＝x﹣1 ＝x﹣1+x﹣2 ＝2x﹣3 ＝23． 7．阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号． 例如：1． 解决问题： （1）在括号内填上适当的数：⑤，①：　9　，②：　5　，③　3　，④：　　，⑤：　3　； （2）根据上述思路，试将予以化简． 【答案】（1）①：9，②：5，③：3，④：，⑤：3； （2）5． 【分析】（1）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可； （2）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可． 【详解】解：（1） ＝3． 故答案为：①：9，②：5，③：3，④：，⑤：3； （2）原式 ＝5． 8．“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法． 如：3+2． 除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． 如：化简． 解：设x，易知，故x＞0． 由于x2＝（）2＝2222． 解得x，即 根据以上方法，化简：． 【答案】17﹣13． 【分析】根据题目提供的方法先计算．再计算，进而进行计算即可． 【详解】解：设x，易知，故x＜0， 由于x2＝（）2＝3322， 所以x，即， 所以原式 ＝17﹣12 ＝17﹣13． 9．小马在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了如下探索： 设a+b（m+n）2，（其中a、b、m、n均为正整数）则有a+bm2+2mn2n2． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn． 这样，小马找到了把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b得，a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　． （2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：　13　+　4　（ 　1　+　2　）2． （3）设x，试用含有x的代数式（各项系数均为有理数）来表示．（要写出必要过程） 【答案】（1）m2+3n2，2mn； （2）13，4，1，2； （3）． 【分析】（1）已知等式右边利用完全平方公式展开，表示出a与b即可； （2）令m＝1，n＝2，确定出a与b的值即可； （3）先把已知条件变形得到x，再两边平方得到x2﹣2x+2＝3，然后用x表示即可． 【详解】解：（1）∵（m+n）2＝m2+2mn3n2， 而a+b（m+n）2， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn； 故答案为m2+3n2，2mn； （2）令m＝1，n＝2，则a＝m2+3n2＝1+3×4＝13，b＝2mn＝4， ∴13+4（1+2）2； 故答案为13，4，1，2； （3）∵x， ∴x， ∴（x）2＝3， ∴x2﹣2x+2＝3， ∴． 10．阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求y的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y． 当x＝2时，分母有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较和的大小； （2）求y3的最大值． 【答案】（1）； （2）y有最大值是3． 【分析】（1）先将两数变形为、，再由知，从而得出答案； （2）根据二次根式有意义的条件得出x≥1，据此知有最小值，从而得到y的最大值． 【详解】解：（1）， ， 而， ∴， ∴； （2）∵x+1≥0，x﹣1≥0， ∴x≥1， ∵y， 当x＝1时，分母有最小值， ∴y有最大值是3． 11．像2；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． （1）； （2）． 勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． （3）化简：． 解：设x，易知，∴x＞0． 由：x2＝32．解得x． 即． 请你解决下列问题： （1）2的有理化因式是 　23　； （2）化简：； （3）化简：． 【答案】（1）23； （2）3； （3）． 【分析】（1）找出原式的有理化因式即可； （2）原式各式分母有理化，计算即可求出值； （3）设x，判断出x小于0，将左右两边平方求出x的值即可． 【详解】解：（1）23的有理化因式是23； 故答案为：23； （2）原式1+2 3； （3）设x，可得，即x＜0， 由题意得：x2＝6﹣36+3212﹣6＝6， 解得：x， 则原式． 12．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2． 设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　． （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　21　+　4　（　1　+　2　）2； （3）化简 【分析】（1）将（m+n）2用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案； （2）设a+b，则m2+2mn+5n2，比较完全平方式右边的值与a+b，可将a和b用m和n表示出来，再给m和n取特殊值，即可得答案； （3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可． 【详解】解：（1）∵，m2+2mn+3n2 ∴a＝m2+3n2，b＝2mn 故答案为：m2+3n2，2mn． （2）设a+b 则m2+2mn+5n2 ∴a＝m2+5n2，b＝2mn 若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4 故答案为：21，4，1，2． （3） 13．小明在解决问题：“已知a，求2a2﹣8a+1的值”时， 他是这样分析与解的： ∵a2 ∴a﹣2，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）求的值； （2）若a， ①求4a2﹣8a+1的值； ②直接写出代数式的值：a3﹣2a2+a﹣2＝　2　； 2a2﹣5a2＝　2　． 【分析】（1）根据题目中的例子，将题目中的式子分母有理化，然后计算即可求得所求式子的值； （2）①根据题目中的例子，将a的分母有理化，然后即可得到a﹣1的值和a2﹣2a的值，将所求式子变形即可解答本题； ②将所求式子变形，再根据a2﹣2a的值，即可解答本题． 【详解】解：（1） （） （1） （11﹣1） 10 ＝5； （2）①∵a1， ∴a﹣1， ∴（a﹣1）2＝2， ∴a2﹣2a+1＝2， ∴a2﹣2a＝1， ∴4a2﹣8a+1 ＝4（a2﹣2a）+1 ＝4×1+1 ＝4+1 ＝5； ②∵由①知，a2﹣2a＝1，a﹣1， ∴a3﹣2a2+a﹣2 ＝a（a2﹣2a）+a﹣2 ＝a×1+a﹣2 ＝a+a﹣2 ＝2a﹣2 ＝2（a﹣1） ＝2 ＝2， 2a2﹣5a2 ＝2， 故答案为：2，2． 14．阅读材料：像（、3、a（a≥0）、b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，1与1，23与23等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号 例如：；3+2 解答下列问题 （1）3与　3　互为有理化因式，将分母有理化得　　； （2）计算； （3）观察下面的变形规律并解决问题 ①，，，若n为正整数，请你猜想　　； ②计算：（） 【分析】（1）根据互为有理化因式的定义和化简有理化因式的方法可解； （2）先把其中的二次根式中的分母有理化，再合并同类二次根式即可； （3）①利用分母有理化化简即可； ②由①的结论化简第一个括号内的式子，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）根据互为有理化因式的定义可知，3与3 互为有理化因式； 故答案为：3；． （2） ＝2 ＝2 ＝2 故答案为2． （3）① 故答案为：． ②（） ＝（1）×（1） ＝（1））×（1） ＝2019﹣1 ＝2018 故原式的值为2018． 一、解答题 1．（24-25八年级上·北京通州·期末）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 【答案】(1)4， (2)y的最小值为 【分析】本题考查了二次根式和完全平方公式的应用，读懂题意，能熟练仿照示例是解题的关键． （1）根据示例，得到，即可求出x的值，得到最小值； （2）仿照示例，，得到最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当且仅当时，， 解得， ∴当时，的最小值为4，此时， 故答案为：4，； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，的最小值为， ∴y的最小值为． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如果一个三角形三边长分别为a，b，c ，记，那么三角形的面积为…，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式…，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式． (1)设a，b，c为的三边，当，，时，求的面积． (2)请你对公式②进行变形，推导出公式①． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和利用平方差公式对整式变型， （1）根据给定的算法求得p，在分别求得，和，代入计算即可； （2）结合已知求得，和，利用平方差公式对秦九韶公式进行变型，进行化简即可得到海伦公式． 【详解】（1）解：当，，时，， ∴，，， ∴＝． （2）解：∵ ∴，， ∴＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 3．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； (2)分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 4．（23-24八年级下·四川达州·期末）阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)1，2 (2)3. (3) 【分析】此题考查了二次根式性质和运算的应用，掌握题目提供的结论是解题的关键． （1）对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．据此即可进行解答； （2）把函数变形为，根据题意进行解答即可； （3）设，则，得到，根据四边形面积，即可得到答案． 【详解】（1）解；当时，， 当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为2. 故答案为：1，2 （2）当时，函数， ∵ 当且仅当即，即时取等号， 当时，有最小值，最小值为3. （3）设， 由题意可知，， 则 则， ∴四边形面积， 当且仅当时，等号成立， ∴四边形面积的最小值为． 5．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）【阅读下列材料】 若，则（注：）． ．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．） 【例】：若，求的最小值． 解：， ． 时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)若，求的最大值； (2)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少． 【答案】(1) (2)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； (3)菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）根据基本不等式即可求解； （2）设这个长方形的长为x米，则另一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （3）设一边为，则另一边长为，则，根据基本不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最大值为； （2）解：设这个长方形的长为x米，另一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （3）解：设一边为，则另一边长为，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时的最大值为 ∴当时，菜园的面积有最大值为平方米， 答：菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米． 6．（2024·江苏镇江·二模）中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积 （海伦公式）． 请完成下列问题： (1)一个三角形的三边长依次为5，5，6，则该三角形的面积为 ； (2)请由秦九韶公式推导出海伦公式； (3)若三角形的周长为，一边长为，求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的最大值为，三角形是等腰三角形． 【分析】（1）直接利用海伦公式计算即可； （2）先把开方数利用平方差公式分解因式，再继续分解因式，结合，从而可得结论； （3）设另一边为，则第三边为，可得，结合，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵一个三角形的三边长依次为5，5，6， ∴． ∴ ； （2）解： ∵， ∴， ∴ ； （3）∵三角形的周长为，一边长为， 设另一边为，则第三边为， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为， 此时，三边分别为，，， ∴三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，三角形面积的计算，二次根式的应用，二次函数的性质，熟练的利用公式以及二次函数的性质解题是关键． 7．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 8．（23-24八年级下·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则______，______，______； (2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当，都是正数时，，，的大小关系是：______（把，，从小到大排列，并用“”或“”号连接）． ③当时，的最大值是______． 【答案】(1) (2)①见详解；②；③ 【分析】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质，较难的是题（2）③，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． （1）将分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得； ②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论，③根据可得即结合完全平方公式可求得即可求解． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ， 故答案为∶； （2）①， 用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ， 用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ②根据（2）①中的所画的图形可得，当且仅当时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 故答案为：； ③， 当时，N取得最大值， 此时即， 整理可得：， ， ， ， N的最大值为：． 9．（23-24八年级下·北京·期中）阅读材料： 材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：， ， ，即． 的最小值为1． 阅读上述材料解决下面问题： (1)_______，______； (2)求的最值； (3)比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)的最小值为 (3)，见解析 【分析】此题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式及配方法的应用． （1）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解； （2）利用完全平方公式配方即可求解； （3）首先计算和，然后比较即可． 【详解】（1）， ； 故答案为：；； （2）∵ ∴的最小值为； （3） ∵ ∴． 10．（19-20八年级上·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： ； (2)m 是正整数， a ，b 且．求 m． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)m=2 (3) 【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可； （2）先求出再由进行变形再求值即可； （3）先得到，然后可得，最后由，求出结果 【详解】（1）原式 ， （2）∵a ，b ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴2， ∵m 是正整数， ∴m=2． （3）由得出， ∴， ∵， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$