16.5二次根式的化简求值重难点培优30题（4大类型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

16.5二次根式的化简求值重难点培优30题（4大类型提分练） 类型一、二次根式与分式的化简求值 1．（23-24七年级下·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将除法转化为乘法运算，再进行加减运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 2．（2023·福建厦门·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的化简，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 3．（22-23八年级下·广西南宁·期中）先化简，再求值：． 【答案】； 【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解：原式         当时，原式 ， ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力． 4．（21-22八年级上·湖南益阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】通分后进行分式加法计算，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式加法的计算法则． 5．（22-23八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】根据分母有理化和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将、的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 6．（2021·四川成都·三模）先化简，再求值：（1﹣），x＝． 【答案】， 【分析】根据运算顺序，将括号内的代数式通分，再根据因式分解的方法计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝， 当x＝时，原式＝． 【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，解决本题的关键是熟练掌握通分的方法及平方差公式． 7．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）先化简，再求值：，其中：． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 8．（23-24八年级上·河南漯河·期末）化简求值 (1)先化简，再从0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值； (2)先化简，再求值，已知，求的值． 【答案】(1)，当x取1时，原式的值为 (2)， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式有意义的条件，分母有理化； （1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得． （2）先得出，则；进而根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的x的值代入计算可得． 【详解】（1）解： ， 且，， ， 当时，原式 ． （2）解：∵ ∴ 当时，原式 类型二、已知字母的值求代数式的值 9．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将的值代入，分母有理化即可得出答案； （2）先计算出，把变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ， ． 10．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）计算：已知：，，求． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则． 先根据二次根式的运算法则求出和的值，再把变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 11．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知，，求． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，把的值代入代数式，根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 12．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，，求代数式的值： (1)； (2) ． 【答案】(1)16 (2)4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的运用，注意整体思想的运用； （1）先分别计算出的值，由完全平方公式得，再代入求值即可； （2）原式化为，再整体代入即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； （2）解：． 13．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．先求出，然后将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 14．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）已知， 求的值．（用两种不同的方法计算） 【答案】 【分析】方法一，直接将代入代数式，根据完全平方公式及平方差公式计算，再由二次根式加减运算法则求解即可得到答案；方法二，先利用完全平方和公式配方，再将代入，根据完全平方公式及平方差公式计算，再由有理数减法运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：方法一： 当时， ； 方法二： 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查整数的化简求值，涉及二次根式混合运算、完全平方公式、平方差公式等性质，熟练掌握完全平方公式及二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 15．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)22 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． （1）利用平方差公式可计算出答案； （2）将原式变形为，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：已知， 那么 （2）解：原式= 其中， 那么原式 16．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，将式子变形为，代入计算即可得解． 【详解】解： ∵，， ∴ ． 17．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是已知条件式，求解代数式的值，先求解，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 18．（23-24八年级下·河南洛阳·阶段练习）已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式以及分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再把代入计算，即可作答． （2）先通分得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ． 类型三、已知条件式求代数式的值 19．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 20．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知：，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先化简二次根式，再整体代入，求值即可． 【详解】解：由，得，， ∴ 21．（23-24七年级下·上海·期中）已知实数满足，求的值． 【答案】2007 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解法巧妙，先求出a的取值范围然后去掉绝对值号是解题的关键，也是本题的突破口．根据被开方数大于等于0可以求出，然后去掉绝对值号整理，再两边平方整理即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴原式可化为：， 即=2006， 两边平方得， ∴． 故答案为． 22．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：由题意知， 解得：， 则， ∴原式． 23．（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的运算等知识．熟练掌握完全平方公式的变形，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，根据，代值求解即可； （2）同理（1）计算求解即可； （3）同理（1）可得，进而可求 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴的值为． （2）解： ， ∴， ∴的值为； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 24．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知，为实数，且满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件得到，则，再由分式有意义的条件推出，据此求出，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵要有意义， ∴，即， ∴， ∴， 又∵分式有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 25．（22-23八年级下·北京西城·期中）已知，是两个连续的正偶数，，，． (1)当时，__________； (2)当为任意正偶数时，的值是定值吗？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)2； (2)定值，2． 【分析】（1）根据，得，然后代入求得，再代入计算即可； （2）设(x为任意正整数)，则，代入计算得，再代入计算得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是两个连续的正偶数，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：设(x为任意正整数)，则， ∴， ∴ ． ∴当为任意正偶数时，的值是定值，这个定值为2． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握根据二次根式的性质化简二次根式是解题的关键． 26．（21-22八年级下·广东河源·期末）已知 ，且 为奇数，求的值． 【答案】 【分析】由二次根式的非负性可确定的取值范围，再根据为奇数可确定的值，然后对原式先化简再代入求值． 【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得， 解得，且为奇数， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解． 类型四、分母有理数与求值温柔 27．（22-23八年级下·福建福州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1) ___________； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分母有理化计算； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1） 故答案为： （2）解：原式= ； （3） ， ， ，即． ． ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 28．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)11 【分析】本题考查的是分母有理化，分子有理化，理解题意，熟悉阅读部分的运算要求与运算法则，再解决问题即可． （1）根据分母有理化是要求把原式化简， 再比较即可得到答案； （2）根据分子有理化是要求把原式变形为， 再计算出结果， 再比较大小即可； （3）依次把每一项分母有理化，再合并即可； （4）把进行分母有理化化简，再将其代入即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解： ， ， 由， ， ． （3）解： ； （4）解：， ∴． 29．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化： （1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，，再根据完全平方公式的变形求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ，， ∴； （2）解： ． 30．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)14 【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，把与的值代入计算即可求出值； （2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，再变形，最后把与的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）∵，， ∴原式 ； （2）∵，， ∴， ∴原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，分式的加减法，以及分母有理化，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.5二次根式的化简求值重难点培优30题（4大类型提分练） 类型一、二次根式与分式的化简求值 1．（23-24七年级下·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中 2．（2023·福建厦门·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 3．（22-23八年级下·广西南宁·期中）先化简，再求值：． 4．（21-22八年级上·湖南益阳·期末）先化简，再求值：，其中． 5．（22-23八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 6．（2021·四川成都·三模）先化简，再求值：（1﹣），x＝． 7．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）先化简，再求值：，其中：． 8．（23-24八年级上·河南漯河·期末）化简求值 (1)先化简，再从0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值； (2)先化简，再求值，已知，求的值． 类型二、已知字母的值求代数式的值 9．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 10．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）计算：已知：，，求． 11．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知，，求． 12．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，，求代数式的值： (1)； (2) ． 13．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）已知，求代数式的值． 14．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）已知， 求的值．（用两种不同的方法计算） 15．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知， (1)求的值； (2)求的值． 16．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）已知，，求的值． 17．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知，求代数式的值． 18．（23-24八年级下·河南洛阳·阶段练习）已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 类型三、已知条件式求代数式的值 19．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 20．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知：，，求的值． 21．（23-24七年级下·上海·期中）已知实数满足，求的值． 22．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 23．（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 24．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知，为实数，且满足，求的值． 25．（22-23八年级下·北京西城·期中）已知，是两个连续的正偶数，，，． (1)当时，__________； (2)当为任意正偶数时，的值是定值吗？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由． 26．（21-22八年级下·广东河源·期末）已知 ，且 为奇数，求的值． 类型四、分母有理数与求值温柔 27．（22-23八年级下·福建福州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)___________； (2)化简：； (3)若，求的值． 28．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：； (4)若，求的值． 29．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 30．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$