北京市房山区2024-2025学年高二上学期学业水平调研（二）数学试题

房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研（二） 高二数学 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）在复平面内，复数对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）已知，，如果与为共线向量，则的值为 （A） （B） （C） （D） （3）二次函数的图象是抛物线，该抛物线的焦点坐标为 （A） （B） （C） （D） （4）已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则 （A） （B） （C） （D）直线与平面不相交 （5）已知直线与直线平行，则的值为 （A） （B） （C）或 （D） （6）已知圆与直线交于两点，若，则的值为 （A） （B） （C）或 （D） （7） 条件，条件方程表示的曲线是椭圆，则是的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （9）庑殿（图1）建筑是古代传统建筑中的最高型制．这种建筑形式常用于宫殿、坛庙一类皇家建筑，是北京中轴线上主要建筑最常采取的形式．如故宫午门、太和殿、乾清宫等，都是庑殿式建筑．庑殿殿顶的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，且等腰梯形和等腰三角形所在的平面与平面的夹角都相等．若，，则的长为 图1 图2 （A） （B） （C） （D） （10）已知椭圆的左、右焦点分别是，，若离心率，则称椭圆为“黄金椭圆”．给出下列三个命题： ①在黄金椭圆中，； ②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，，则； ③在黄金椭圆中，以，，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，． 其中正确命题的个数是 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （11）若复数满足，则_____． （12）已知双曲线的左、右焦点分别为，则双曲线的离心率为_____；若是双曲线上任意一点，则_____． （13）直线经过一定点，则点的坐标为_____，以点为圆心且过原点的圆 的方程为_____． （14） 一只盛水的圆柱形茶杯倾斜后得到椭圆形水面，若水面与底面所成的二面角为，则水面 椭圆的离心率为_____． （15） 在空间直角坐标系中，已知点，，，若点在平面ABC内， 则一个符合题意的点P的坐标为_____． （16）如图，在边长为的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②不存在点，使得平面； ③对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面； ④点到的距离的最小值为． 其中正确结论的序号是_____． 三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （17）（本小题13分） 已知抛物线的焦点到准线的距离是. （Ⅰ）求抛物线的方程和准线方程； （Ⅱ）若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长． （）（本小题分） 如图，在长方体，，，点为中点． （Ⅰ）若平面与棱交于点，求证点为的中点； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． （）（本小题分） 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，为线段的中点，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知， 求（i）点到平面的距离； （ii）直线与平面的夹角的正弦值． 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． （20）（本小题满分14分） 已知椭圆的离心率为，且经过点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ） 斜率为的直线与椭圆交于两点（不与重合），直线与轴分别交于两点，求证：是等腰三角形． （）（本小题分） 对于空间向量，定义：，．且． （Ⅰ）若，求及； （Ⅱ）是否存在？若存在，写出一个；若不存在，说明理由； （Ⅲ）证明：对于任意，必存在，使． ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 房山区 2024-2025 学年度第一学期期末学业水平调研 高二数学 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D C C B D C D 二、填空题（每小题5分，共30分） （11） （12） （13） （14） （15） （答案不唯一，满足） （16）①，②，④ 三、解答题（共5小题，共70分） （17）（本小题13分） 解：（Ⅰ）焦点到准线的距离是, 抛物线的方程为，即. 准线方程为. （Ⅱ）焦点， 直线的方程为, 由 消去得. 解方程得.代入得. 得，两点的坐标为 ，， 所以. 解法二：不解方程， 解法三：. （18）（本小题14分） 解：（Ⅰ）解法一：, 平面. 又平面,平面, . 又四边形为平行四边形. , . 又点为中点， 点为的中点. 解法二：连结, 在长方体中，四边形为平行四边形， . 平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， . 又点为中点， 点为的中点. 解法三：(建系求法向量的分值给在第二问) 设，则. 由，得， 点为的中点. （左手法则建系也可以） （Ⅱ）因为两两互相垂直，以为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系， 则，,, ,. 设平面的法向量为，则 令，得. 平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以 . 平面与平面夹角的余弦值为. （19）（本小题14分） 解： （Ⅰ）连结交于点， 是的中点， 是中点 . 又平面， 平面, 平面. 注：建空间直角坐标系的此问得0分. （Ⅱ）选条件①：作为已知， ，，， 平面. . 选条件②：作为已知， 因为等腰三角形中，为线段的中点，所以. 得. 所以，. 平面平面，交线为，， 平面. . 建立如图所示的空间直角坐标系. ，. 设平面的法向量为，则 令，则. 是平面的一个法向量. ， 点到平面的距离为. 设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为 解法二：， . 设直线与平面所成角为，. （20）（本小题14分） 解：（Ⅰ）由题意得 又，解得 所以椭圆的标准方程为. （Ⅱ）设直线方程为，代入得， ，设， 所以，得，. . 当或坐标为时，，，不合题意. 所以 所以. 是等腰三角形． （21）（本小题15分） 解：（Ⅰ）若，则，， ，， 所以， ． （Ⅱ）不存在． 不防设， 所以 相加得． 因为， 所以． 因为，所以不存在满足条件的． （Ⅲ）设， 假设对，即均不为0． 所以．即． 又因为， 所以． 所以． 与矛盾，故假设不正确． 综上，对于任意，必存在，使． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$