第02讲 无理数和实数 （7个知识清单+8类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪科版2024）

第02讲 无理数和实数 课程标准 学习目标 01无理数 02实数 03 实数的性质 04实数与数轴 05实数大小比较 06估算无理数的大小 07实数的运算 1.能用有理数估计一个无理数的大小。 2.掌握无理数、实数的概念。 3.初步掌握实数分类。 4.能对实数进行正确分类。 5.能将一个无限循环小数化成分数。 6.理解实数与数轴上的点——对应，能在数轴上表示一个无理数。 7.会求一个实数的相反数，绝对值和倒数。 8.会运用加法和乘法法则进行简单的实数的加减乘除乘方运算。 9.能进行部分实数的开方运算。能求一个实数的近似值。会进行实数的大小比较。 知识点01无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 【即学即练】 1．（2023春•蜀山区校级期中）下列各数中，是无理数的是（　　） A．2.5 B． C． D．0 知识点02实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 【即学即练】 2．（2024春•全椒县月考）若实数，满足，则（   ） A．，都是有理数 B．的结果必定为无理数 C．，都是无理数 D．的结果可能为有理数 知识点03 实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 【即学即练】 3．（2024春•舒城县校级月考）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们小组探究发现的结果，内容如下： 我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． (1)试举一个例子来判断猜测的结论是否成立； (2)根据以上结论，若与的值互为相反数，求的值． 知识点04实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【即学即练】 4．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图，已知数轴上的5个点A、O、B、C、D分别表示数、0、1、2、3，则表示数的点P落在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 知识点05实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【即学即练】 5．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 知识点06估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 【即学即练2】 6．（2024春•颍州区校级期末）表示小于a的最大整数，表示不小于b的最小整数，若整数x，y满足，，则的平方根为（    ） A． B． C． D． 知识点07实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 【即学即练】 7.（23-24七年级下·安徽黄山·期末）计算：． 题型01实数概念理解 1．（21-22七年级下·安徽宣城·期中）下列实数是无理数的是（　　） A． B．3.1415926 C． D． 2．（22-23七年级下·安徽亳州·阶段练习）把下列各数填入相应的集合里： ，，，，，（两个之间依次增加一个）． 正数集合：        ； 质数集合：        ； 有理数集合：        ； 无理数集合：        ． 题型02 实数的分类 3．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）下列各数是有理数的是（    ） A． B． C． D． 4．（七年级下·安徽安庆·期中）下列说法：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数和无理数的和一定是无理数；④实数和数轴上的点是一一对应的；⑤无理数与有理数的乘积一定是无理数．其中，正确的有 （填序号）． 5．（22-23七年级下·安徽六安·阶段练习）把下列各数填入相应的集合里： ，，，，，（两个之间依次增加一个）． 正数集合：{___________________}； 负数集合：{___________________}； 有理数集合：{___________________}； 无理数集合：{ } 题型03实数的混合运算 6．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）下列各数中，与的和为有理数的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）计算： ． 8．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 题型04 程序设计与实数运算 9．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．6 C．0 D． 10．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图所示为一个计算程序，若输入的值为4，则输出的结果应为 ． 题型05新定义下的实数运算 11．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）规定一种运算，其中a，b，m均为实数，且．已知当，时，，则当时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ， ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 13．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似． 例如：；． 【应用新知】 （1）填空：______；______． （2）计算：． 题型06 实数运算的实际应用 14．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 15．（七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 题型07与实数运算相关的规律题 16．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期中）有一列数按如下规律排列：则第2017个数是（　　） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）观察下面的数据：，，，，，，……．寻找规律，第个数据应是 ． 18．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）； (3)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用（为正整数）表示的等式． 题型08无理数整数部分的有关计算 19．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期末）下列整数中，与最接近的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 20．（七年级·安徽·期中）规定用表示一个实数的整数部分（不大于的最大整数），例如，．按此规定的值为 　　． 21．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）已知实数a、b分别是的整数和小数部分，求式子的值． 一、单选题 1．下列各数中最小的数是（    ） A． B． C．0 D．3 2．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列四个实数中，是无理数的是（  ） A． B． C． D． 4．下列数中，是无理数的是( ) A． B． C． D． 5．在0，，－4.3，，3.14，，1.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．在下列实数中，无理数是（    ） A． B． C．0 D． 7．下列说法中，正确的是（  ） A．是正整数 B．是素数 C．是分数 D．是有理数 8．如下是嘉淇的答卷，嘉淇的得分为（    ） 判断题（每小题2分）姓名：嘉淇 1、是无理数（√） 2、3的平方根是（√） 3、若，则（√） 4、（√） 5、数轴上的点表示的数不是有理数就是无理数（√） A．2分 B．4分 C．6分 D．8分 9．下列整数中，与最接近的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．规定一种新的运算“*”：对于任意实数x，y，满足x*y＝x﹣y+xy．如3*2＝3﹣2+3×2＝7，则2*1＝(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．++|﹣1|＝ ． 12．在下列各数3.1415926，，1.010010001……，，，，中，无理数的个数是 13．数轴上表示的点与原点的距离是 ． 14．如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是 ．    三、解答题 15．计算：． 16．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． (1)求的值； (2)若（其中是有理数），比较的大小． 17．小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为．面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 18．现有一根铁丝围成面积为的正方形，将其改造为面积为的长方形，使其长宽之比为，问铁丝是否够用？ 19．小明知道了是无理数,那么在数轴上是否能找到距原点距离为的点呢？小颖在数轴上用尺规作图的方法作出了在数轴上到原点距离等于的点,如图.小颖作图说明了什么？ 20．一个长方形信封，长宽比为，面积为150平方厘米，则此信封长、宽各多少？有一张面积为196平方厘米的正方形贺卡，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？ 21．阅读材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，请解答下列问题： (1)比较大小：_______（填“”“”或“”）； (2)若的整数部分为，是的算术平方根，求的立方根． 22．在一次活动课中，嘉琪同学用一根绳子围成一个长宽之比为，面积为的长方形． (1)求长方形的长和宽； (2)她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 23．阅读材料：材料一：对于一个四位数n，若满足各个数位上的数字均不为零，且千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，则称这个数为“等差数”.例如： ，∵，∴8563是“等差数”； ，∵，∴2715不是“等差数”； 材料二：将一个四位数n（十位上的数字不为零）千位上的数字与十位上的数字交换，百位上的数字与个位上的数字交换可以得到一个新的四位数，记.例如：，，则. 请根据上述材料解决下列问题： (1)判断4312和2817是否为“等差数”，并说明理由； (2)求证：对于任意一个“等差数”m，都能被11整除； (3)若s和t都是“等差数”，其中，（，，，，a，b，x，y均为整数），且，求s的值. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 无理数和实数 课程标准 学习目标 01无理数 02实数 03 实数的性质 04实数与数轴 05实数大小比较 06估算无理数的大小 07实数的运算 1.能用有理数估计一个无理数的大小。 2.掌握无理数、实数的概念。 3.初步掌握实数分类。 4.能对实数进行正确分类。 5.能将一个无限循环小数化成分数。 6.理解实数与数轴上的点——对应，能在数轴上表示一个无理数。 7.会求一个实数的相反数，绝对值和倒数。 8.会运用加法和乘法法则进行简单的实数的加减乘除乘方运算。 9.能进行部分实数的开方运算。能求一个实数的近似值。会进行实数的大小比较。 知识点01无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 【即学即练】 1．（2023春•蜀山区校级期中）下列各数中，是无理数的是（　　） A．2.5 B． C． D．0 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：2.5，﹣，0是有理数； 是无理数． 故选：B． 【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 知识点02实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 【即学即练】 2．（2024春•全椒县月考）若实数，满足，则（   ） A．，都是有理数 B．的结果必定为无理数 C．，都是无理数 D．的结果可能为有理数 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键． 根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可． 【详解】解：A、当时，，是有理数，是无理数，故A错误； B、当，那么，所以B错误； C、当时，是有理数，故选项C错误； D、当，那么，所以选项正确，D正确． 故选：D． 知识点03 实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 【即学即练】 3．（2024春•舒城县校级月考）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们小组探究发现的结果，内容如下： 我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． (1)试举一个例子来判断猜测的结论是否成立； (2)根据以上结论，若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)成立，见解析 (2) 【详解】解：（1）如，则，结论成立． （2）由题意，得， ， 知识点04实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【即学即练】 4．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图，已知数轴上的5个点A、O、B、C、D分别表示数、0、1、2、3，则表示数的点P落在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】此题主要考查的是实数的比较大小，无理数的估算，熟练掌握实数比较大小的方法是解决此题的关键．先求出的取值范围，从而求出的取值范围，继而表示数的点P的位置． 【详解】解：∵ ∴ 即， ∴由数轴可知表示数的点应落在线段上， 故选：B． 知识点05实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【即学即练】 5．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 【答案】< 【分析】利用作差法求出与的差为，再利用估算法判断的符号，即可得与的大小． 本题主要考查了利用作差法比较实数的大小，即无理数的估算．熟练掌握以上方法是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ． 故答案为：< 知识点06估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 【即学即练】 6．（2024春•颍州区校级期末）表示小于a的最大整数，表示不小于b的最小整数，若整数x，y满足，，则的平方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，根据题意可得，，然后把，的值代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：，为整数，，， ，， ， 的平方根是， 故选：D． 知识点07实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 【即学即练】 7.（23-24七年级下·安徽黄山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，实数的绝对值，立方根，算术平方根，熟练掌握实数的相关运算法则是解题的关键．结合实数的绝对值，立方根，算术平方根，利用实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 题型01实数概念理解 1．（21-22七年级下·安徽宣城·期中）下列实数是无理数的是（　　） A． B．3.1415926 C． D． 【答案】D 【知识点】实数的分类、实数概念理解、无理数 【分析】根据有理数和无理数的意义、实数的分类解答．　　　　 【详解】解：∵ 是有理数，A不符合； ∵有限小数是有理数，B不符合； ∵分数为有理数，C不符合； ∵2不能被开方尽，故 是无理数，D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查无理数的定义，熟练掌握实数的分类、有理数和无理数的意义是解题关键． 2．（22-23七年级下·安徽亳州·阶段练习）把下列各数填入相应的集合里： ，，，，，（两个之间依次增加一个）． 正数集合：        ； 质数集合：        ； 有理数集合：        ； 无理数集合：        ． 【答案】正数集合：； 负数集合：； 有理数集合：； 无理数集合：． 【知识点】实数的分类、实数概念理解 【分析】根据实数的分类，逐一判断即可解答． 【详解】解：正数集合：； 负数集合：； 有理数集合：； 无理数集合：． 【点睛】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键，实数分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． 题型02 实数的分类 3．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）下列各数是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：由有理数和无理数的定义可知，四个选项中A、B、C三个选项中的数都是无理数，D选项中的数为有理数， 故选：D． 4．（七年级下·安徽安庆·期中）下列说法：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数和无理数的和一定是无理数；④实数和数轴上的点是一一对应的；⑤无理数与有理数的乘积一定是无理数．其中，正确的有 （填序号）． 【答案】②④ 【分析】根据实数的分类及运算、实数与数轴的关系即可得到正确选项． 【详解】①无限小数是无理数，无限循环小数是有理数，所以此选项错误； ②无理数是无限小数，此选项正确； ③无理数和无理数的和不一定是无理数，如 =0，所以此选项错误； ④实数和数轴上的点是一一对应的，此选项正确； ⑤无理数与有理数的乘积不一定是无理数，如：，所以此选项错误． 所以正确选项有：②④ 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了实数的分类及其运算，熟记实数的分类是解题的关键． 5．（22-23七年级下·安徽六安·阶段练习）把下列各数填入相应的集合里： ，，，，，（两个之间依次增加一个）． 正数集合：{___________________}； 负数集合：{___________________}； 有理数集合：{___________________}； 无理数集合：{ } 【答案】；（两个3之间依次增加一个0）；；（两个3之间依次增加一个0）． 【知识点】实数的分类、求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了实数的分类根据实数的分类，逐一判断即可解答．实数分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． 【详解】解：， 正数集合：； 负数集合：{（两个3之间依次增加一个0）}； 有理数集合：{}； 无理数集合：{（两个3之间依次增加一个0）}． 题型03实数的混合运算 6．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）下列各数中，与的和为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的定义、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，根据实数的运算法则分别进行计算，再判断是否为有理数即可． 【详解】解：A、，和为无理数，故不符合题意； B、，和为有理数，故符合题意； C、，和为无理数，故不符合题意； D、，和为无理数，故不符合题意； 故选：B． 7．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算减法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】加减消元法、实数的混合运算 【分析】（1）先化简绝对值，计算算术平方根，乘方运算，求解立方根，再合并即可； （2）利用加减消元法求解即可； 【详解】解：（1） ； （2）， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：； 【点睛】本题考查的是实数的运算、解二元一次方程组，涉及化简绝对值，求解算术平方根，立方根，乘方运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 题型04 程序设计与实数运算 9．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．6 C．0 D． 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、程序设计与实数运算 【分析】本题考查了无理数的估算，先得出，不满足，故代入，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则不满足 ∴把代入，得 故选：B 10．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图所示为一个计算程序，若输入的值为4，则输出的结果应为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查了程序图与实数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．按照程序图，利用算术平方根和实数的运算法则计算即可得． 【详解】解：输出的结果为， 故答案为：． 题型05新定义下的实数运算 11．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）规定一种运算，其中a，b，m均为实数，且．已知当，时，，则当时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次方程方程．根据题意先求得，再得到，根据，即可求得的最小值． 【详解】解：当，时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故选：C． 12．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ， ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 【答案】 3 4 4，5，6，7，8 【知识点】新定义下的实数运算、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义： （1）根据新定义可得，估算出，即可得到； （2）根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意得，； ∵， ∴， ∴， 故答案为：3；4； （2）∵， ∴，即， ∴满足题意的的整数值为4，5，6，7，8． 故答案为：4，5，6，7，8 13．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似． 例如：；． 【应用新知】 （1）填空：______；______． （2）计算：． 【答案】（1）1；；（2）． 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查实数的新定义运算，根据题意解答是解题的关键． （1）根据，分别求出、的值即可； （2）把与的实部、虚部分别相加，求出的值即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：1；． （2）． 题型06 实数运算的实际应用 14．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】算术平方根的实际应用、实数运算的实际应用 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 15．（七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为. 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据面积相等得到方程，即可求解． 【详解】（1）如图， ∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据题意得， ∴（负值舍去） 答：拼成的正方形边长为． 【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 题型07与实数运算相关的规律题 16．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期中）有一列数按如下规律排列：则第2017个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、与实数运算相关的规律题 【分析】由，则可得分子、分母的规律及符号的规律，从而可得结果． 【详解】解：，符号两项负一项正循环，而，则第2017项的符号为负；分子是从2开始的连续自然数的算术平方根，即，则第2017项的分子为；分母是以2为底数的乘方，且指数从1开始，且分子的被开方数比分母指数大1，即，则第2017项的分母为，综合得第2017个数是； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数规律的探索，找到规律是解题的关键． 17．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）观察下面的数据：，，，，，，……．寻找规律，第个数据应是 ． 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查找规律，正确通过观察，分析、归纳发现其中的规律，根据二次根式的性质，把根号外面的数都平方转化到根号内，便不难发现规律，然后写出第n个即可． 【详解】第1个数据， 第2个数据， 第3个数据， 第4个数据， 第5个数据， 第个数据， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）； (3)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用（为正整数）表示的等式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了与实数运算相关的规律；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解． （1）由所给等式得到规律不难写出第6个式子； （2）利用上述规律可知即可求值； （3）分析所给的等式的形式即可得出第n个等式 【详解】（1）解：①； ②； ③； …… 可得第6个等式为： （2）解： ； （3）解：用（为正整数）表示的等式为： 题型08无理数整数部分的有关计算 19．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期末）下列整数中，与最接近的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】先对进行估算，判断更接近于4，再对进行估算即可． 【详解】∵ ， ∴且更接近于4， ∴且最接近5． 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题关键． 20．（七年级·安徽·期中）规定用表示一个实数的整数部分（不大于的最大整数），例如，．按此规定的值为 　　． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】根据平方运算先估算出的值，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 21．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）已知实数a、b分别是的整数和小数部分，求式子的值． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查的是无理数的估算，实数的混合运算，先估算，可得，，再代入计算即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴ ． 一、单选题 1．下列各数中最小的数是（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握正数>0>负数，负数绝对值大的反而小．据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ， ∴最小的是， 故选：B． 2．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，无理数指的是无限不循环小数，一般无理数有三种形式：以及含的式子（例）、带根号且开不尽方的数（例）、无限不循环小数（例（每两个1之间0的个数增加1））． 【详解】解：A，是无理数，符合题意； B，是有理数，不合题意； C，是有理数，不合题意； D，是有理数，不合题意； 故选A． 3．下列四个实数中，是无理数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即可求解． 【详解】解：A、2.5是有理数，故选项错误； B、π是无理数，故选项正确； C、是有理数，故选项错误； D、1.414是有理数，故选项错误． 故选B． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义．初中常见的无理数有三类：①π类；②开方开不尽的数，如；③有规律但无限不循环的数，如0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）． 4．下列数中，是无理数的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 是整数，有理数，不合题意； B.0是整数，有理数，不符合题意； C.是无理数，符合题意； D.是分数，是有理数，不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数，熟知无理数的定义是解题关键． 5．在0，，－4.3，，3.14，，1.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据无理数的定义即可求解（无理数为无限不循环小数）． 【详解】解：在0，，－4.3，，3.14，，1.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有，1.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）这2个数， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数． 6．在下列实数中，无理数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】直接根据无理数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、是分数，是有理数，故本选项错误； B、是无理数，故本选项正确； C、0是整数，是有理数，故本选项错误； D、是整数，是有理数，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 7．下列说法中，正确的是（  ） A．是正整数 B．是素数 C．是分数 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据正整数，素数，分数，有理数的概念判断即可. 【详解】A.0既不是正数，也不是负数，故错误. B.1不是素数，最小的素数是2，故错误. C.是无理数，不是分数，故错误. D.是有理数,正确. 故选D. 【点睛】考查实数的相关概念，熟练掌握这些概念是解题的关键. 8．如下是嘉淇的答卷，嘉淇的得分为（    ） 判断题（每小题2分）姓名：嘉淇 1、是无理数（√） 2、3的平方根是（√） 3、若，则（√） 4、（√） 5、数轴上的点表示的数不是有理数就是无理数（√） A．2分 B．4分 C．6分 D．8分 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，无理数的定义，平方根的性质，无理数的估算等知识内容，据此相关性质进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：1、是无理数，是正确的， 2、3的平方根是，故是错误的； 3、若，则，故是错误的； ∵ ∴ 即4、是正确的， 5、数轴上的点表示的数不是有理数就是无理数是正确的； （分） ∴嘉淇的得分为分， 故选：C． 9．下列整数中，与最接近的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先对进行估算，判断更接近于4，再对进行估算即可． 【详解】∵ ， ∴且更接近于4， ∴且最接近5． 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题关键． 10．规定一种新的运算“*”：对于任意实数x，y，满足x*y＝x﹣y+xy．如3*2＝3﹣2+3×2＝7，则2*1＝(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】∵x*y=x﹣y+xy， ∴2*1=2﹣1+2×1=1+2=3， 故选B． 二、填空题 11．++|﹣1|＝ ． 【答案】﹣． 【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式＝+0.2﹣2+1﹣ ＝﹣． 故本题答案为：-. 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简是解题关键． 12．在下列各数3.1415926，，1.010010001……，，，，中，无理数的个数是 【答案】3个 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：， 所以1.010010001……，，为无理数，共3个； 故答案为：3个． 【点睛】本题考查无理数的定义．熟练掌握无理数的概念是解题的关键． 13．数轴上表示的点与原点的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查实数与数轴，先化简，再根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：数轴上表示的点与原点的距离是； 故答案为：3． 14．如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是 ．    【答案】3 【分析】本题主要考查了无理数的估算，结合无理数范围的估算方法，即可得到该正方形的边长最接近的整数值． 【详解】解：∵正方形的面积为12， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴最接近的整数为3． 故答案为：3． 三、解答题 15．计算：． 【答案】4.2 【分析】本题考查了根式的化简与计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. 先开方再进行计算即可得到结果. 【详解】解：. 16．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． (1)求的值； (2)若（其中是有理数），比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目规定的运算方法，直接代入计算即可； （2）根据题目规定的运算方法求出的值，再进一步作差比较即可． 【详解】（1）解：由定义可知： （2）解：由定义可知： ； ∵ ∴ 【点睛】本题主要考查了新定义运算，根据题目所规定的运算方法，列出代数式是解题的关键． 17．小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为．面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为； (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． （1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）∵信封的长、宽之比为， ∴设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ∴（负值舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）面积为的正方形贺卡的边长是． ∵， ∴ ∴ ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 18．现有一根铁丝围成面积为的正方形，将其改造为面积为的长方形，使其长宽之比为，问铁丝是否够用？ 【答案】铁丝够用 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，设改造后的长方形的长为，宽为， 先根据正方形面积公式求出正方形的边长为，则铁丝的总长度为，再由长方形面积公式列出方程，解得，进而得到改造后的长方形的周长为，再只需要比较与80的大小即可得到结论． 【详解】解：设改造后的长方形的长为，宽为， ∵面积为的正方形的边长为， ∴铁丝的总长度为， 由题意得，， 解得（负值舍去）， ∴改造后的长方形的周长为， ∵， ∴， ∴， ∴铁丝够用． 19．小明知道了是无理数,那么在数轴上是否能找到距原点距离为的点呢？小颖在数轴上用尺规作图的方法作出了在数轴上到原点距离等于的点,如图.小颖作图说明了什么？ 【答案】①每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,也就是数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数；②到原点距离等于某一个数的实数有两个. 【分析】小颖作图说明无理数也可以在数轴上表示出来，一般应把它整理为直角边长为有理数的斜边的长． 【详解】①每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,也就是数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数；②到原点距离等于某一个数的实数有两个. 【点睛】本题考查了实数与数轴以及勾股定理的运用，要知道，无理数与数轴上的点也是一一对应关系． 20．一个长方形信封，长宽比为，面积为150平方厘米，则此信封长、宽各多少？有一张面积为196平方厘米的正方形贺卡，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？ 【答案】贺卡不折叠不能放入此信封，理由见解析 【分析】本题考查了实数的运算，找出信封的宽及贺卡的边长是解题的关键． 设长方形信封得长为厘米，则宽为厘米，根据长方形信封的面积为150平方厘米，即可得出关于的方程，根据二次根式即可得出的值，进而可得出长方形信封的宽，由正方形贺卡的面积可求出贺卡的边长，将长方形信封的宽与正方形贺卡的边长比较后即可得出结论． 【详解】解：贺卡不折叠不能放入此信封， 理由：设长方形信封得长为厘米，则宽为厘米， 依题意得：， 即， ∵， ∴ ， 正方形贺卡的边长为(厘米)． ， ∴不能将这张贺卡不折叠的放入此信封． 21．阅读材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，请解答下列问题： (1)比较大小：_______（填“”“”或“”）； (2)若的整数部分为，是的算术平方根，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的应用，平方根、算术平方根、立方根的意义，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据材料的思路求出的取值范围，进而得到，即可求解； （2）根据材料的思路求出的取值范围，进而得到值，再根据算术平方根的定义求出，最后把、代入代数式即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 的整数部分为， 是的算术平方根， ， ， 的立方根为． 22．在一次活动课中，嘉琪同学用一根绳子围成一个长宽之比为，面积为的长方形． (1)求长方形的长和宽； (2)她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)长方形的长为，宽为 (2)不正确，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的实际应用： （1）根据题意设长方形的长为，宽为，列出方程进行求解即可； （2）设正方形的边长为，列出方程求出值，进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意设长方形的长为，宽为， 则，即， ∵， ∴， ∴， 答：长方形的长为12cm，宽为4cm． （2）不正确． 设正方形的边长为，根据题意可得，， ∵， ∴， ∵原来长方形的宽为4cm， ∴正方形的边长与长方形的宽之差为：， ∵，即， ∴， 所以她的说法不正确． 23．阅读材料：材料一：对于一个四位数n，若满足各个数位上的数字均不为零，且千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，则称这个数为“等差数”.例如： ，∵，∴8563是“等差数”； ，∵，∴2715不是“等差数”； 材料二：将一个四位数n（十位上的数字不为零）千位上的数字与十位上的数字交换，百位上的数字与个位上的数字交换可以得到一个新的四位数，记.例如：，，则. 请根据上述材料解决下列问题： (1)判断4312和2817是否为“等差数”，并说明理由； (2)求证：对于任意一个“等差数”m，都能被11整除； (3)若s和t都是“等差数”，其中，（，，，，a，b，x，y均为整数），且，求s的值. 【答案】(1)4312不是“等差数”，2817是“等差数”，理由见解析 (2)见解析 (3)8912和5612 【分析】（1）根据“等差数”定义分别计算验证即可； （2）设一个“等差数”为：，（p，q，a，b均为正整数），则，然后将这两个表达式代入中，进行整式的化简，结合“等差数”定义，即可证出结果； （3）根据“等差数”的定义，得出，，然后求出和，然后代入，结合“等差数”的定义，化简得出，根据a，b，x，y的范围，分类讨论，即可解决问题． 【详解】（1）解：4312不是“等差数”，2817是“等差数”，理由如下： ∵4-3=1≠1-2=-1， ∴4312不是“等差数”， ∵2-8=-6=1-7=-6， ∴2817是“等差数”； （2）证明：设一个“等差数”为：，（p，q，a，b均为正整数）， 则， 则 = ∵是“等差数”， ∴， ∴， ∵p，q，a，b均为正整数， 故F(m) 都能被11整除； （3）解：∵和都是“等差数”， ∴，即， ∵t是“等差数”， ∴，即， ∵ ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ， ∵，，，，a，b，x，y均为整数， ∴当a=2时，x=8，此时y=x-4=4，b=a+3=5， ， ； 当a=4时，x=5，此时y=x-4=1，b=4+3=7， ， ； 当a=6时，x=2，y=2-4=-2（不符合题意）； ∴s为8912和5612． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，数的规律探索和列代数式等，解题的关键是能正确理解新定义的运算和分类讨论． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$