精品解析：河北省石家庄市行唐县行唐县第一中学2024-2025学年九年级上学期1月月考数学试题

河北省九年级结业教学质量检测试题 数学（B） 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 3. 如图，某校要在坡度的山坡上进行义务植树，则坡角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图1是由4个相同的小正方体组成的一个几何体，在图1的基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2，则三视图发生改变的是（ ） A 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图 5. 如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上印有一条抛物线及抛物线上一点．若将此透明胶片进行平移后，使点P的坐标为，则此时抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，以为直径作交于点D，则是（ ）． A. 角平分线 B. 中位线 C. 中线 D. 高线 7. 将某班若干名学生的测试成绩分为5组，第1~4组的频率分别为，第5组的频数记为k．若反比例函数的图象如图所示，则该班参加此次测试的学生总人数为（ ） A. 60人 B. 50人 C. 40人 D. 30人 8. 如图，在中，，，．将绕AC的中点O按逆时针方向旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（） A. B. C. D. 9. 我们对一个四边形顶点和边都赋予一个特征值，并定义：两组对边的特征值分别相乘再相加叫做对边值，两组对角所在顶点的特征值分别相乘再相加叫做对角值．如图1，四边形的对边值为，对角值为．现有一四边形特征值如图2，已知该四边形对边值等于对角值，则图中的特征值x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 或10 D. 2或7 10. 如图，在等边中，，当直角三角板的角的顶点P在上移动时，斜边始终经过边的中点D，设直角三角板的另一直角边与相交于点E，设，那么y与x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 如图矩形中，，，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，作直线交于点，连接，点关于的对称点为点，作射线交于点，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 12. 如图，经过坐标原点的抛物线的顶点为A，与x轴的另一交点为M，将绕原点旋转，得到抛物线，其顶点为B，与x轴的另一交点为N，连接．已知，有如下结论： 结论Ⅰ：顺次连接A，M，B，N四点必能得到矩形； 结论Ⅱ：抛物线解析式中b值为． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ） A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. “白色污染”的主要来源有食品包装袋，泡沫塑料填充物等，已知一个塑料快餐盒的污染面积为，若30万名游客每人丢弃一个快餐盒，则造成污染的最大面积用科学记数法表示为，其中n的值为__________． 14. 为了解某班学生一周内做家务所用的时间，将其中25名学生的统计结果绘制成如图所示的条形统计图，则这25名同学一周内做家务时间的中位数是__________． 15. 如图是一个常见铁夹的剖面图，表示铁夹的两个面，C是轴，，垂足为D，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为______ ． 16. 如图，，点O是的平分线上的一点，半径为4的经过点P，将水平向左平移，当与射线相切时，平移的距离是__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 定义：若关于x的一元二次方程中的常数项c是该方程的一个根，我们就将该一元二次方程叫做常数根方程．例如，对于一元二次方程，因为是该方程的一个根，所以该方程是常数根方程． （1）下列方程是常数根方程的有__________（填序号）： ①；②；③； （2）已知关于x的一元二次方程是常数根方程，求m的值． 18. 代数式的值为P． （1）当时，求x值； （2）在（1）的条件下，求P的值． 19. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是，，，，这些小球除标有的数字不同外其他都相同． （1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是负数的概率为__________； （2）先从袋中随机摸出一个小球，不放回，再从袋中摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的两个小球上的数字恰好都是有理数的概率． 20. 如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定：两幢楼间的间距不得小于最高楼的高度，即大于等于．嘉淇想测量一下她家所住楼与邻楼楼是否符合规定，于是她在间的点M处架了测角仪，测得楼顶d的仰角为．已知，． （1）和两幢楼的间距是否符合规定？请说明理由； （2）嘉淇又在家里（点P处）用测角仪再次测得楼顶D的仰角为．若，，请求出楼的高度． 21. 情境 如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点F． 操作 （1）当时，四边形的形状为__________； （2）在旋转过程中，存在使点，，在同一直线上的位置，嘉嘉画出了如图2的情形． ①求证：； ②求出的长； 探究 （3）在（2）的情形中，淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值，”请在图3中画出淇淇所说的情形，并直接写出此时的长． 22. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． （1）分别求出当（即段）和（即段）时，y与x的函数表达式； （2）大棚里栽培的这种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长．则这种蔬菜在这一天内最适合生长的时间有多长？ 23. 已知为的直径，点C和点D为上的动点（两点在的异侧且都不与A，B重合），连接与交于点E，连接，． （1）如图1，若，的长为． ①求的度数； ②若，求的值； （2）如图2，若，，且对任意的点C，弦上都有一点F，使得，连接，直接写出线段的最小值． 24. 如图1，平面直角坐标系中，有抛物线：．设抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，且． （1）求的值． （2）如图2，将抛物线平移得到抛物线，使过点和，求抛物线的解析式． （3）设（2）中在轴左侧部分与在轴右侧的部分组成的新图象记为．过点作直线平行于轴，与图象交于两点，如图3． ①过的最高点作直线交于点（点在点左侧），求的值； ②是图象上一个动点，当点与直线的距离小于4时，直接写出点横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北省九年级结业教学质量检测试题 数学（B） 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，即一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，则这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A 5 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将方程化为一般式，根据可得答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，则， 故选：B． 3. 如图，某校要在坡度的山坡上进行义务植树，则坡角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正切的概念、特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】解：∵斜坡的坡度， ∴， ∴， 故选：A． 4. 如图1是由4个相同的小正方体组成的一个几何体，在图1的基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2，则三视图发生改变的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图对两个组合体进行判断，可得答案． 【详解】在图1基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2，则三视图发生改变的是俯视图， 故选：C． 5. 如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上印有一条抛物线及抛物线上一点．若将此透明胶片进行平移后，使点P的坐标为，则此时抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，坐标与图形变化—平移，先根据平移前后点P的坐标判断出平移方式，再根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律可得答案． 【详解】解：∵在抛物线经过平移后，抛物线上一点P的坐标由变为， ∴抛物线的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度， ∴抛物线向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后的解析式为， 故选：B． 6. 如图，在中，以为直径作交于点D，则是的（ ）． A. 角平分线 B. 中位线 C. 中线 D. 高线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、三角形的相关线段等知识点，掌握圆周角定理成为解题的关键． 由圆周角定理可得，即可得到是的高． 【详解】解：∵以为直径作交于点D， ∴， ∴是的高． 故选D． 7. 将某班若干名学生的测试成绩分为5组，第1~4组的频率分别为，第5组的频数记为k．若反比例函数的图象如图所示，则该班参加此次测试的学生总人数为（ ） A. 60人 B. 50人 C. 40人 D. 30人 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，频数和频率， 先求出第5组的频率，再根据反比例函数的图像求出k，然后用第5组的频数除以频率可得总人数． 【详解】解：第5组的频率是． ∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴第5组的频数是6， 所以该班参加此次测试的学生总人数是（人）． 故选：A． 8. 如图，在中，，，．将绕AC的中点O按逆时针方向旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，易知点E 与点C 第一次重合时，旋转角为，由旋转的性质可得，点A 的运动路径为，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，点O是的中点，， ， ， ， ， 点E与点C第一次重合时，旋转角为， ， 由旋转的性质可得：， 点A的运动路径为， 点A运动路径的长为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弧长公式（求某点弧形运动路径长度），直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，旋转的性质，等边对等角，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 9. 我们对一个四边形顶点和边都赋予一个特征值，并定义：两组对边的特征值分别相乘再相加叫做对边值，两组对角所在顶点的特征值分别相乘再相加叫做对角值．如图1，四边形的对边值为，对角值为．现有一四边形特征值如图2，已知该四边形对边值等于对角值，则图中的特征值x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 或10 D. 2或7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），理解题意，正确列出方程是解题的关键． 由题中的定义求得四边形的对边值和对角值，进而得到关于的一元二次方程，解方程即可求出特征值的值． 【详解】解：由定义可得： 四边形的对边值为：， 对角值为：， 由题意可得：， 即：， 解得：或， 故选：C． 10. 如图，在等边中，，当直角三角板的角的顶点P在上移动时，斜边始终经过边的中点D，设直角三角板的另一直角边与相交于点E，设，那么y与x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题涉及的知识有等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的图像和性质，解题的关键在于判定，并利用相似的性质建立二次函数关系式． 根据等边三角形的性质得，由于，得，根据三角形相似的判定方法得到，利用相似比即可得到，配方得到，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：∵等边中，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 即， 图象开口向下，顶点坐标为， 故选：B． 11. 如图矩形中，，，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，作直线交于点，连接，点关于的对称点为点，作射线交于点，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质、矩形的性质等知识，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．连接，根据对称的性质和垂直平分线的性质求出，从而推出，然后设，则，，在中，根据勾股定理建立方程求解，则可解决问题． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，， 如图，连接， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 由作图可知，为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得，即． 故选：C． 12. 如图，经过坐标原点的抛物线的顶点为A，与x轴的另一交点为M，将绕原点旋转，得到抛物线，其顶点为B，与x轴的另一交点为N，连接．已知，有如下结论： 结论Ⅰ：顺次连接A，M，B，N四点必能得到矩形； 结论Ⅱ：抛物线解析式中b的值为． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ） A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，首先根据旋转和矩形的判定性质，得结论Ⅰ正确；再根据二次函数得到为等边三角形，再通过三角函数的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵绕原点旋转，得到抛物线， ∴，, ∵， ∴ ∴顺次连接A，M，B，N四点必能得到矩形，即结论Ⅰ正确； 如下图，过点A作交OM于点D，连接， ∵抛物线的顶点为A， ∴ ∵ ∴ ∴为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴, ∴ ∴，即结论Ⅱ正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了正三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角函数，旋转的性质，矩形的判定等知识，本题中求得A点坐标，并且找出是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. “白色污染”的主要来源有食品包装袋，泡沫塑料填充物等，已知一个塑料快餐盒的污染面积为，若30万名游客每人丢弃一个快餐盒，则造成污染的最大面积用科学记数法表示为，其中n的值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．先用乘法求出造成污染的最大面积，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：万， ∴． 故答案为：7． 14. 为了解某班学生一周内做家务所用的时间，将其中25名学生的统计结果绘制成如图所示的条形统计图，则这25名同学一周内做家务时间的中位数是__________． 【答案】1.5 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．根据中位数的定义解答即可． 【详解】解：因为共有25名学生，按大小顺序排列在正中间是第13位，一周内做家务时间是及以下人数为，则中位数为． 故答案为：1.5． 15. 如图是一个常见铁夹剖面图，表示铁夹的两个面，C是轴，，垂足为D，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为______ ． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，连结，延长交于H，先证，再根据相似三角形对应边成比例进行求解． 【详解】解：连结，延长交于H，如图， 在中，， 铁夹的剖面图是轴对称图形， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 16. 如图，，点O是的平分线上的一点，半径为4的经过点P，将水平向左平移，当与射线相切时，平移的距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、平移的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质等知识，设为向左平移后与相切的圆，切点为，连接交于，过作于，于，则即为平移的距离，，，先由直角三角形的性质得，再由矩形的性质得，则，由平行线的性质得，求出，然后由直角三角形的性质即可得出答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设为向左平移后与相切的圆，切点为，连接交于，过作于，于，如图所示， 则即为平移的距离，，， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由平移的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即平移的距离为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 定义：若关于x的一元二次方程中的常数项c是该方程的一个根，我们就将该一元二次方程叫做常数根方程．例如，对于一元二次方程，因为是该方程的一个根，所以该方程是常数根方程． （1）下列方程是常数根方程的有__________（填序号）： ①；②；③； （2）已知关于x的一元二次方程是常数根方程，求m的值． 【答案】（1）①③ （2）0或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程与新定义常数根方程、解一元二次方程． （1）将各方程的常数项分别代入方程，验证是否是方程的根，即可判定方程是否为常数根方程； （2）根据常数根方程的定义将，代入方程得，解方程即可得出m的值． 【小问1详解】 解：①将代入得即， 故是常数根方程； ②将代入得即不成立， 故不是常数根方程； ③将代入得即， 故是常数根方程； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：是常数根方程， 方程的一个根为，代入方程得，解得或， 即m的值为0或． 18. 代数式的值为P． （1）当时，求x的值； （2）在（1）的条件下，求P的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，特殊角的三角函数值； （1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解； （2）根据分式的混合运算进行计算，然后将代入进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ， 即x的值为； 【小问2详解】 当时， 19. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是，，，，这些小球除标有的数字不同外其他都相同． （1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是负数的概率为__________； （2）先从袋中随机摸出一个小球，不放回，再从袋中摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的两个小球上的数字恰好都是有理数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）根据概率公式计算即可； （2）列出表格，再根据表格利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，，中负数只有一个， ∴摸出的这个小球上标有的数字是负数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表可知，共有12种等可能的结果，其中两个小球上的数字恰好都是有理数的情况有2种， 摸出的两个小球上的数字恰好都是有理数的概率为． 20. 如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定：两幢楼间的间距不得小于最高楼的高度，即大于等于．嘉淇想测量一下她家所住楼与邻楼楼是否符合规定，于是她在间的点M处架了测角仪，测得楼顶d的仰角为．已知，． （1）和两幢楼的间距是否符合规定？请说明理由； （2）嘉淇又在家里（点P处）用测角仪再次测得楼顶D的仰角为．若，，请求出楼的高度． 【答案】（1）和两幢楼的间距符合规定；理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）过点N作于点G，解直角三角形得出，证明四边形为矩形，得出，，从而得出，，即可得解； （2）过点P作于点H，则四边形为矩形得出，，设，则，，，再解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：和两幢楼的间距符合规定；理由如下： 过点N作于点G，如图， 在中，，， ，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ，， ，即和两幢楼的间距符合规定； 【小问2详解】 解：过点P作于点H，如图， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 设， ，，， 在中，， ，即， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 即楼的高度为． 21. 情境 如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点F． 操作 （1）当时，四边形的形状为__________； （2）在旋转过程中，存在使点，，在同一直线上的位置，嘉嘉画出了如图2的情形． ①求证：； ②求出的长； 探究 （3）在（2）的情形中，淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值，”请在图3中画出淇淇所说的情形，并直接写出此时的长． 【答案】（1）正方形；（2）①见解析；②；（3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，即可判定四边形的形状； （2）①证明，即可得出； ②根据，可得，根据勾股定理求得，即可求解； （3）根据题意补全图形即可；由证明，得，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）如图1， 四边形是矩形， ， 将边绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； 故答案为：正方形； （2）如图2 四边形是矩形， ，，， ，，， 在和中， ， ② ； 在中，由勾股定理得 ， （3）当旋转角大于直角则小于平角大于直角时，补全图形如图3； 同理，， ； 在中，由勾股定理得 ， 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 22. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． （1）分别求出当（即段）和（即段）时，y与x的函数表达式； （2）大棚里栽培的这种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长．则这种蔬菜在这一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】（1）（1）当时，y与x的函数表达式为；当时，y与x的函数表达式为； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用． （1）利用待定系数法分别求出一次函数和反比例函数解析式即可． （2）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的x值，相减就是结论． 【小问1详解】 解：当时，设线段所在的直线解析式为， ，在线段上， ， 解得， 当时，y与x的函数表达式为； 当时，设所在的双曲线解析式为， 在双曲线段上， ，解得， 当时，y与x的函数表达式为． 【小问2详解】 解：蔬菜在温度为到的条件下最适合生长， 当时，，解得， 当时，，解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 即这种蔬菜在这一天内最适合生长的时间有． 23. 已知为的直径，点C和点D为上的动点（两点在的异侧且都不与A，B重合），连接与交于点E，连接，． （1）如图1，若，的长为． ①求的度数； ②若，求的值； （2）如图2，若，，且对任意的点C，弦上都有一点F，使得，连接，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①连接，求出度数为，再由圆周角定理可得，，即可得解；②连接，由①可得：，，得出，求出，由勾股定理可得：，证明，由相似三角形的性质即可得解； （2）连接、、，证明为等边三角形，得出，证明，得出，即点在以为直径的圆上，设点为的中点，连接，交于点，当点在点处是，最小，过点作于，求出，得出，再求出，即可得解． 【小问1详解】 解：①如图，连接， ∵， ∴， ∵的长为， ∴的度数为， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； ②如图，连接， 由①可得：，， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图：连接、、， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上，设点为的中点，连接，交于点，当点在点处是，最小，过点作于， ， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24. 如图1，平面直角坐标系中，有抛物线：．设抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，且． （1）求的值． （2）如图2，将抛物线平移得到抛物线，使过点和，求抛物线的解析式． （3）设（2）中在轴左侧的部分与在轴右侧的部分组成的新图象记为．过点作直线平行于轴，与图象交于两点，如图3． ①过的最高点作直线交于点（点在点左侧），求的值； ②是图象上一个动点，当点与直线的距离小于4时，直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②，且 【解析】 【分析】（1）由题意得到，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由平移性质及题中图象可知抛物线过，设抛物线的解析式为，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （3）①根据题意，得到，求解得出，，由两点距离公式求出，代值求解即可得到答案；②利用二次函数图象与性质，根据题意分类讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 将代入，得； 【小问2详解】 解：由平移性质及题中图象可知抛物线过， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：①由（1）得，抛物线的解析式为， 抛物线顶点， 依题意，过点作直线平行于轴，则直线为；过的最高点作直线，则直线m为， 令，解得或， ∵点在点左侧， ∴，， ∴，， ∴， ②点横坐标的取值范围是，且． 由的图象及直线为可知，当时，，解得或，则， 当点位于点左侧时，， 令，解得或（舍去），此时的取值范围是； 由（2）得抛物线：，可得顶点坐标为，而直线l为，则顶点与直线的距离恰好为4， 当点在之间，且不与顶点重合时，与的距离小于4，此时的取值范围是，且； 当点在之间时，均符合题意，此时的取值范围是； 当点位于点右侧时，， 令，解得或（舍去），此时的取值范围是； 综上，点横坐标的取值范围是，且． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象平移、二次函数图象与性质、两点距离公式等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$