热点2-2 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（10题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考通用）

热点2-2 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性 三年考情分析 2025考向预测 近三年高考中，对函数基本性质的考查以选择题和填空题为主，偶尔也会在解答题中渗透考查，分值的占比相对稳定，是高考必考且重点考查的内容之一．常将函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性结合在一起考查，同时还可能与函数图像、函数零点、不等式等知识综合命题．虽然考查形式多样且综合性强，但题目多基于对函数基本性质的理解和应用，部分题目在命题形式和考查角度上具有一定创新性． 预计2025年高考仍将重点考查函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性，尤其是这些性质的综合应用．可能会继续将函数性质与其他数学知识如导数、不等式、数列等结合考查，增加题目的综合性和难度．在保持传统考查方式的基础上，可能会进一步创新命题形式，如设计一些新颖的函数模型或实际应用背景，考查学生运用函数性质解决实际问题的能力． 题型1 函数的单调性（单调区间）的判定 判断函数的单调性的4种方法 1、定义法：按照取值、作差变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性； 2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单调性； 3、直接法：利用已知的结论，直接得出函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接得到 4、导数法：先求导函数，利用导数值的正负确定函数的单调性； 5、性质法：（1）对于有基本初等函数的和、差构成的函数，根据“加减”的性质进行判断；（2）针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性． 【注意】求函数的单调区间，尤其是复合函数的单调区间，一定要注意原相应函数的定义域． 1．（23-24高三上·江苏南通·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东普宁·月考）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川宜宾·一模）下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的是（    ） A． B． C． D． 题型2 利用函数的单调性求参数 利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题． 1．（24-25高三上·陕西渭南·月考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西大同·月考）已知函数在区间单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数满足且，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 题型3 函数奇偶性的判定 1、函数奇偶性的判断方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （3）性质法：同名加减不变，异名加减不可；同名乘除得偶，异名乘除得奇． 2、常见的奇函数与偶函数 （1）（）为偶函数； （2）（）为奇函数； （3）（）为奇函数； （4）（）为奇函数； （5）（）为奇函数； （6）为偶函数； （7）为奇函数． 1．（24-25高三上·天津北辰·期末）下列函数中，图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川自贡·期中）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·青海·期中）设函数，则下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北邢台·月考）已知函数的定义域是，则下列命题中不正确的是（   ） A．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 B．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 C．若是单调递减函数，则也是单调递减函数 D．若是单调递增函数，则也是单调递增函数 题型4 利用函数奇偶性求值求参 1、由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 2、由函数的奇偶性求函数值：若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． 1．（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（24-25高三上·河南南阳·月考）已知定义在R上的偶函数满足当时，则 ． 3．（24-25高三上·湖南·月考）已知是偶函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 4．（24-25高三上·安徽·期中）若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 题型5 “M+N”中值模型的应用 若函数，则我们把它称为准奇函数，求准奇函数最大值+最小值之和（），我们把它叫做中值模型． （1）若为奇函数，则其最大值与最小值和为0，即； （2）若为奇函数，则； （3）常见考向 1．（24-25高三上·山东枣庄·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高三上·河南·期中）已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 3．（23-24高三上·安徽安庆·月考）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 4．（23-24高三下·上海徐汇·月考）若函数在上有最小值（、为常数），则函数在上最大值为 . 题型6 利用单调奇偶比较大小 一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 1．（24-25高三上·甘肃兰州·月考）已知定义在上的函数在内为减函数，且为偶函数，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东潍坊·月考）已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北邯郸·模拟预测）已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏镇江·月考）已知，为偶函数，当时，，设，则（    ） A． B． C． D． 题型7 利用单调奇偶解不等式 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响． 【注意】在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式． 1．（24-25高三上·天津红桥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东临沂·月考）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东德州·期末）已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型8 函数的周期性及应用 （是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（） （7）若，则； （8）若，则； 1．（24-25高三上·四川华蓥·月考）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·黑龙江·月考）已知是定义在上的函数，且，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 4．（24-25高三上·河北·月考）已知定义在上的函数，满足，为偶函数，满足，则 ． 题型9 函数的对称性及应用 1、关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 1．（24-25高三上·山东枣庄·月考）函数图象的对称中心的坐标为 ． 2．（24-25高三上·江苏南通·月考）若函数满足，且的图象关于点对称，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北沧州·月考）已知函数，曲线与有两个交点，则（    ） A． B． C． D． 题型10 函数性质的综合应用 1、灵活运用数形结合的思想：根据函数的性质，如奇偶性、周期性等，先画出函数在某个基本区间上的图象，然后利用对称性、周期性等性质，将图象进行平移、翻转或复制，得到函数在整个定义域上的大致图象； 2、代数推导与运算：根据题目给出的函数性质条件，进行代数推导，得到函数的其他性质或具体表达式，若题目给出了函数的具体表达式，可根据表达式进行代数运算，如求导、因式分解、配方等，以求解相关问题； 3、分类讨论与转化思想：当题目中的条件或结论存在多种可能性时，需要进行分类讨论；将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题． 1．（24-25高三上·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 2．（24-25高三上·海南·模拟预测）（多选）已如定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．函数的最小正周期是4 C．函数在上单调递增 D．直线是图象的对称轴 3．（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 4．（24-25高三上·辽宁·期末）（多选）已知函数的定义域为，的导函数为，，，当时，，则（    ） A．为偶函数 B．的图象关于点中心对称 C． D． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·吉林·期末）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建泉州·月考）已知为奇函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高三上·江西宜春·期中）定义在R上的偶函数，满足，在区间上单调递减，设，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河南周口·期末）函数单调递增，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东·月考）已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江西抚州·月考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·福建龙岩·月考）已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 8．（24-25高三上·河北沧州·月考）已知定义在上的函数满足，，若，且对任意的，，当时，都有恒成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·湖南长沙·月考）下列函数既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·河北张家口·期末）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，，且，，都有，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数的定义域为，对任意都有，且，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．为偶函数 三、填空题 12．（24-25高三上·湖南永州·月考）函数是定义在上的偶函数，且，若，，则 ． 13．（24-25高三上·江西·月考）已知函数，则 ． 14．（24-25高三上·海南·月考）已知定义在上的偶函数满足，当时，.设，则与图象的所有交点的横坐标之和为 . 四、解答题 15．（24-25高三上·山西晋中·月考）已知指数函数，且，定义在上的函数是奇函数． (1)求和的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 16．（24-25高三上·江苏·月考）设函数的表达式为（且）． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点2-2 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性 三年考情分析 2025考向预测 近三年高考中，对函数基本性质的考查以选择题和填空题为主，偶尔也会在解答题中渗透考查，分值的占比相对稳定，是高考必考且重点考查的内容之一．常将函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性结合在一起考查，同时还可能与函数图像、函数零点、不等式等知识综合命题．虽然考查形式多样且综合性强，但题目多基于对函数基本性质的理解和应用，部分题目在命题形式和考查角度上具有一定创新性． 预计2025年高考仍将重点考查函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性，尤其是这些性质的综合应用．可能会继续将函数性质与其他数学知识如导数、不等式、数列等结合考查，增加题目的综合性和难度．在保持传统考查方式的基础上，可能会进一步创新命题形式，如设计一些新颖的函数模型或实际应用背景，考查学生运用函数性质解决实际问题的能力． 题型1 函数的单调性（单调区间）的判定 判断函数的单调性的4种方法 1、定义法：按照取值、作差变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性； 2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单调性； 3、直接法：利用已知的结论，直接得出函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接得到 4、导数法：先求导函数，利用导数值的正负确定函数的单调性； 5、性质法：（1）对于有基本初等函数的和、差构成的函数，根据“加减”的性质进行判断；（2）针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性． 【注意】求函数的单调区间，尤其是复合函数的单调区间，一定要注意原相应函数的定义域． 1．（23-24高三上·江苏南通·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是.故选：A 2．（24-25高三上·广东普宁·月考）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，画出函数图象，如图所示： 根据图象知：函数的单调减区间为.故选：B. 3．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， ，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数， 由复合函数单调性可得的单调递减区间为.故选：C. 4．（24-25高三上·四川宜宾·一模）下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，是偶函数，不满足条件． 对于B，，函数是奇函数，由于 均在单调递增，故在单调递增，符合条件， 对于C,，则是奇函数， 在单调递增,且为正，函数在单调递减，不满足条件． 对于D，，函数是奇函数，当时，， ，，此时，不是增函数，不满足条件． 故选：B． 题型2 利用函数的单调性求参数 利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题． 1．（24-25高三上·陕西渭南·月考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于在上单调递减，令，， 因为为减函数，又在区间上单调递增， 由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减， 且在上恒成立，因为为二次函数，开口向下， 对称轴为，由在上单调递减，可得，解得， 由在上恒成立，即，， 可得在上恒成立，则， 综上，实数a的取值范围为故选：D. 2．（24-25高三上·山西大同·月考）已知函数在区间单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增， 要使函数在区间单调递减， 则在单调递增且在恒成立， 所以，解得，所以的取值范围是.故选：A 3．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数满足且，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，函数满足且， ，则是上的增函数， 因此，解得， 所以的取值范围为.故选：C 4．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知函数，当时， 单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增，最小值为； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去).故选：C. 题型3 函数奇偶性的判定 1、函数奇偶性的判断方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （3）性质法：同名加减不变，异名加减不可；同名乘除得偶，异名乘除得奇． 2、常见的奇函数与偶函数 （1）（）为偶函数； （2）（）为奇函数； （3）（）为奇函数； （4）（）为奇函数； （5）（）为奇函数； （6）为偶函数； （7）为奇函数． 1．（24-25高三上·天津北辰·期末）下列函数中，图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数图象关于原点对称，可得函数是奇函数， 对于A，定义域为， ，故为偶函数，其图象关于轴对称，A错； 对于B，定义域为， 且，故为奇函数，其图象关于原点对称，B正确； 对于C，定义域为， 但其图象为开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以既不是奇函数又不是偶函数，C错； 对于D，定义域为， 但，故为偶函数，其图象关于轴对称，D错. 故选：B. 2．（24-25高三上·四川自贡·期中）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为R，且， 故为偶函数，A正确； B选项，的定义域为R，， ，故不为偶函数，B错误； C选项，的定义域为R， ， 故是奇函数，C错误； D选项，的定义域为R，且， 故为奇函数，D错误.故选：A 3．（24-25高三上·青海·期中）设函数，则下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 所以， 所以函数的图象关于对称， 所以的图象关于对称，是奇函数.故选：C 4．（24-25高三上·河北邢台·月考）已知函数的定义域是，则下列命题中不正确的是（   ） A．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 B．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 C．若是单调递减函数，则也是单调递减函数 D．若是单调递增函数，则也是单调递增函数 【答案】C 【解析】对于A，令，则， 所以为偶函数，即是偶函数，故A正确； 对于B，令，则， 所以是偶函数，即是偶函数，故B正确； 对于C，取，则在R上单调递减， 则，在R上单调递增，故C错误； 对于D，因为是单调递增函数，任取，且， 则，所以， 所以也是单调递增函数，故D正确.故选：C. 题型4 利用函数奇偶性求值求参 1、由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 2、由函数的奇偶性求函数值：若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． 1．（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】因是定义在R上的奇函数，则.故选：A. 2．（24-25高三上·河南南阳·月考）已知定义在R上的偶函数满足当时，则 ． 【答案】1 【解析】因是在R上的偶函数，则，故. 3．（24-25高三上·湖南·月考）已知是偶函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为， 由是偶函数，得， 而不恒等于0，则恒成立，即恒成立，所以.故选：A 4．（24-25高三上·安徽·期中）若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，已知是奇函数， 当时，， 函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 此时，函数一定不是奇函数，故， 则有，且，变形可得， 所以的根为，解可得，故， 又因为为奇函数，则有， 即， 即，所以， 即，故.所以.故选：C. 题型5 “M+N”中值模型的应用 若函数，则我们把它称为准奇函数，求准奇函数最大值+最小值之和（），我们把它叫做中值模型． （1）若为奇函数，则其最大值与最小值和为0，即； （2）若为奇函数，则； （3）常见考向 1．（24-25高三上·山东枣庄·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】， 令， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以函数的最大值为，最小值为， 因为， 所以函数是奇函数， 所以，即，所以.故选：B. 2．（24-25高三上·河南·期中）已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】因为，， 令，则， 设，，则， 所以是奇函数，最大值为，最小值为， 则，由，解得.故选：D. 3．（23-24高三上·安徽安庆·月考）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】1 【解析】由题意知，， 设，则， 因为，所以为奇函数， 所以在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 所以． 故答案为：1. 4．（23-24高三下·上海徐汇·月考）若函数在上有最小值（、为常数），则函数在上最大值为 . 【答案】 【解析】考虑函数，定义域为R， 又， 所以是奇函数，则， 设的最大值为，最小值为，则， 又， 所以，， 所以， 则，所以， 故答案为：9. 题型6 利用单调奇偶比较大小 一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 1．（24-25高三上·甘肃兰州·月考）已知定义在上的函数在内为减函数，且为偶函数，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为偶函数，， ，， ，定义在上的函数在内为减函数， ，即，故选：B． 2．（24-25高三上·山东潍坊·月考）已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数满足，得函数的图象关于直线对称， 显然，，而，在上是增函数， 因此，所以.故选：B 3．（24-25高三上·河北邯郸·模拟预测）已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为偶函数，则， 所以关于对称，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，所以， 当时，由得，，则， 由上可得，又在上单调递增， 所以，即， 所以.故选：A． 4．（24-25高三上·江苏镇江·月考）已知，为偶函数，当时，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，是在上递增的奇函数， 当时，，是偶函数，且单调递减， 且，， ， C不成立，D不成立；， A不成立，B成立；故选：B． 题型7 利用单调奇偶解不等式 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响． 【注意】在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式． 1．（24-25高三上·天津红桥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，则即为， 对于任意不等实数，不等式恒成立， 可知在上单调递减，且， 可得，解得.故选：C. 2．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 由，可得， 即，. 因为是定义在上的减函数，所以也是定义在上的减函数， 故，即. 因为，所以，即实数的取值范围是.故选：B 3．（24-25高三上·山东临沂·月考）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，在上单调递增， 且，则，且该函数在上为增函数，， 当时，；当时，； 当时，；当时，. 因为， 当时，即时，，则或，此时，； 当时，即时，，则或，此时，. 综上所述，不等式的解集是.故选：B. 4．（24-25高三上·山东德州·期末）已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设，所以， 则， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 又是偶函数，所以， 即也是偶函数，则其在上单调递减， 因为，所以， 则， 所以，解之得．故选：D 题型8 函数的周期性及应用 （是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（） （7）若，则； （8）若，则； 1．（24-25高三上·四川华蓥·月考）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是定义域为的奇函数，则， 则，故是以为周期的周期函数， 由，则.故选：B. 2．（24-25高三上·黑龙江·月考）已知是定义在上的函数，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以当时，，又，所以． 又由，可得， 所以， ， 故函数是以4为周期的函数，所以．故选：C． 3．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【解析】因为偶函数，故，又因为奇函数，故， 则，故有， 由可得4是函数的一个周期. 又因为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称， 因函数的定义域为则，解得， 故当时，， 于是，， ， 故.故选：A. 4．（24-25高三上·河北·月考）已知定义在上的函数，满足，为偶函数，满足，则 ． 【答案】 【解析】因为为偶函数，则， 所以函数的图象关于直线对称， 因为，所以函数的图象关于点中心对称， 所以函数的周期， 令，则，得，则， 又，令，则，得， 则，所以， 则. 故答案为：. 题型9 函数的对称性及应用 1、关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 1．（24-25高三上·山东枣庄·月考）函数图象的对称中心的坐标为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 又， 所以函数图象的对称中心的坐标为. 故答案为： 2．（24-25高三上·江苏南通·月考）若函数满足，且的图象关于点对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的图象关于点对称，所以，， 又，所以，则，故B错误； 由，所以，所以， 又，所以，则，故D正确； 由于只有，无法得知、的值，故A、C错误.故选：D 3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域为，且， 故函数为偶函数，图象关于轴对称， 函数的图象为函数的图象向右平移1个单位长度得到， 故函数的图象关于直线对称， 而函数的图象为函数的图象向左平移1个单位长度得到， 故函数的图象关于直线对称，则可排除B,D选项； 又函数的图象关于直线对称， 因此函数的图象关于直线对称. 而又函数的图象关于点对称，故排除A选项.故选：C. 4．（24-25高三上·河北沧州·月考）已知函数，曲线与有两个交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，， 当时，，， 所以当时，，所以函数为奇函数， 所以函数的图象关于点对称， 函数，所以函数为奇函数， 函数的图象也关于点对称. 则两点也关于点对称，所以， 则，故选：D. 题型10 函数性质的综合应用 1、灵活运用数形结合的思想：根据函数的性质，如奇偶性、周期性等，先画出函数在某个基本区间上的图象，然后利用对称性、周期性等性质，将图象进行平移、翻转或复制，得到函数在整个定义域上的大致图象； 2、代数推导与运算：根据题目给出的函数性质条件，进行代数推导，得到函数的其他性质或具体表达式，若题目给出了函数的具体表达式，可根据表达式进行代数运算，如求导、因式分解、配方等，以求解相关问题； 3、分类讨论与转化思想：当题目中的条件或结论存在多种可能性时，需要进行分类讨论；将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题． 1．（24-25高三上·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【解析】对于A，因为的对称中心为，所以， 将变为，变形得：，故选项A正确； 对于B，由A选项知，即， 结合已知，即， 令，得，故选项B错误； 对于C，由的对称中心为得，则， 令，则，定义域为， 所以为奇函数，故选项C正确； 对于D，对，令得：， 即，故， 令，定义域为，所以， 所以为偶函数，故选项D正确；故选：ACD. 2．（24-25高三上·海南·模拟预测）（多选）已如定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．函数的最小正周期是4 C．函数在上单调递增 D．直线是图象的对称轴 【答案】ACD 【解析】由，得，所以函数为奇函数， 由是偶函数，得函数关于对称， 则直线是图象的对称轴，故D正确； 且，则， 所以，则， 所以函数的周期为8，故B错误； 对于A，由，若，则，故A正确； 对任意的，，当时，都有， 即，所以在上递减， 结合奇函数知，函数在上递减，即函数上函数递减， 由于函数关于对称， 所以函数在上单调递增，故C正确.故选：ACD. 3．（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 【答案】D 【解析】由是奇函数，知的图象关于点对称， 所以，，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以. 则，所以，所以为偶函数， 则也为偶函数，故，项错误. 由，得，所以，故项错误. 因为，所以，所以函数的周期为. 由，得，所以. 因为，所以， 所以， 因为，所以，故正确.故选：. 4．（24-25高三上·辽宁·期末）（多选）已知函数的定义域为，的导函数为，，，当时，，则（    ） A．为偶函数 B．的图象关于点中心对称 C． D． 【答案】AB 【解析】对于A，由，得， 由，得，所以， 则，所以， 则，所以的一个周期为4， 由与， 得，即，所以为偶函数，故A正确； 由，得，所以的图象关于点中心对称， 又，所以的图象关于中心对称，故B正确； 因为当时，，所以当时，， 因为，所以的图象关于直线对称， 所以当时，，所以在上单调递减， 所以，故C不正确； 因为，又，所以， 又，， 所以，故D不正确.故选：AB. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·吉林·期末）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在上均为减函数， 函数在上为增函数.故选：B. 2．（24-25高三上·福建泉州·月考）已知为奇函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为为奇函数，所以， 即，所以.故选：A 3．（24-25高三上·江西宜春·期中）定义在R上的偶函数，满足，在区间上单调递减，设，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为定义在R上的偶函数，满足， 所以，所以的周期为4， 因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递增， .故选：A. 4．（24-25高三上·河南周口·期末）函数单调递增，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据指数函数的单调性可得，在上单调递增， 于是单调递增时只需，则； 又因为在上单调递增， 且，则，即 于是.故选：C 5．（24-25高三上·广东·月考）已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件得，，，在上递增. 由得， 则或．故选：B． 6．（24-25高三上·江西抚州·月考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵是奇函数，∴①； ∵是偶函数，∴②. 令，由①得：，由②得：， ∵，∴，即， 令，由①得：，∴，∴， 解得：，，∴. 而，故，故周期为4， ∴.故选：D. 7．（24-25高三上·福建龙岩·月考）已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】因为的图象关于对称，所以． 因为①， 则，即②， ①②得，， 所以的图像关于对称． 令，则是奇函数， 所以，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数． 因为，所以． 因为是以4为周期的周期函数，所以也是以4为周期的周期函数， 由，取，，所以． 因为，所以，所以． 由，取，所以，所以， 所以.故选：B． 8．（24-25高三上·河北沧州·月考）已知定义在上的函数满足，，若，且对任意的，，当时，都有恒成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，， 令，则，即， 令，则，即， 又，即， 所以，，A，B选项错误； 又， ， 即，C选项错误； 又任意的，，当时，都有恒成立， 所以当时，为定值， 又，所以，D选项正确；故选：D. 二、多选题 9．（24-25高三上·湖南长沙·月考）下列函数既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对A函数为奇函数.且当时，单调递增； 根据奇函数的性质，在上也单调递增，在上为增函数，故A正确； 对B函数的定义域为函数为非奇非偶函数，故B错误； 对C函数不是奇函数，故C错误； 对D为奇函数， 且均随的增大而增大，即在上为增函数，故D正确.故选：AD 10．（24-25高三上·河北张家口·期末）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，，且，，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，因为，，都有， 所以，即，则， 又，故，故A错误； 对于B，则，即， 又，则， 因为是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称， 所以，，则， 所以，故B正确； 对于C，，即，则，所以，故C正确； 对于D，因为， 所以 又，即是周期为的周期函数， 所以，故D错误.故选：BC. 11．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数的定义域为，对任意都有，且，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．为偶函数 【答案】AC 【解析】∵，则的图象关于直线对称，故A正确，B错误； ∵函数的图象关于直线对称，则，又， ∴，则， 即，∴函数的周期为8， 则，故C正确； ∵， 所以为奇函数，故D错误．故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高三上·湖南永州·月考）函数是定义在上的偶函数，且，若，，则 ． 【答案】 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且， 则，即， 所以，函数为周期函数，且为该函数的一个周期， 当时，，则. 故答案为：. 13．（24-25高三上·江西·月考）已知函数，则 ． 【答案】 【解析】令，则， 因为 ， 所以函数为奇函数，可得， 则 故答案为：. 14．（24-25高三上·海南·月考）已知定义在上的偶函数满足，当时，.设，则与图象的所有交点的横坐标之和为 . 【答案】 【解析】由为偶函数，故，即， 由，故关于对称，且， 即有，故周期为，则也关于对称； 由，故， 由， 即关于对称， 由时，，作出及图象如图所示： 当时，，， 故当时，与图象无交点， 由图象可知，当时，，有一个交点， 当时，与图象存在一个交点，设该点横坐标为， 则结合函数对称性可知，当， 与图象必有两交点，且两交点横坐标分别为，， 故与图象的所有交点的横坐标之和为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高三上·山西晋中·月考）已知指数函数，且，定义在上的函数是奇函数． (1)求和的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）设且，可得 即是定义在上的奇函数， 因此， 即对恒成立，解得， 所以； （2）易知， 因此可得为定义在上的单调递减函数； 恒成立， 所以恒成立， 即恒成立，因此恒成立， 可得，解得. 16．（24-25高三上·江苏·月考）设函数的表达式为（且）． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数，求的值． 【答案】(1)奇函数，理由见解析；(2) 【解析】（1）的定义域为，且， ， 为上的奇函数． （2）由（1）知，为上的奇函数，即， 令取，得， ，， ， 令，得，即， ， 即． 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