重庆市2025届高三第一次联合诊断检测数学试题（康德卷）

    第一次联合诊断检测（数学）第 1页 共 4页 2025 年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测 数学 数学测试卷共 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 已知集合 { | 3 6}A x x   ， { | 4}B x x ≤ ，则 A B  A．{ | 3 4}x x ≤ B．{ | 6}x x  C．{ | 4 6}x x ≤ D．{ | 4}x x≤ 2． 已知 aR ，则“ 2 2 0x x a   的解集为R ”是“ 0a  ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3． 已知O 为坐标原点，点 (1 3)A ， ，将OA  绕点O 逆时针方向旋转 3  得到OA  ，则OA OA   的模等于 A．2 B．2 2 C．2 3 D．4 4． 已知平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 的体积为1，若将其截去三棱锥 1 1 1A A B D ，则剩余部分几何体的体积为 A． 7 12 B． 2 3 C． 3 4 D． 5 6 5． 若 2sin cos  ，则 cos 2  A． 5 3 B． 2 5 C． 5 2 D．3 5 6． 已知 ABC△ 的角 A B C，， 的对边分别为a b c，，，若 1a  ， 2b c  ， π 4 A  ，则 sin sinB C  A． 2 2 B． 2 2 3 C．1 D． 2 7． 已知双曲线E ： 2 2 2 2 1 x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的右焦点为 ( 0)F c， ， A，B 是其一条渐近线上的两点，且 | | 2AB a ，若 ABF△ 的面积等于c，则c的最小值为 A． 2 B．2 C．2 2 D．4 8． 已知数列 na 的通项 2na n n  ( R )，若 p ，q N ，且 p q ，使得 120p qa a   ，则 的取 值个数为 A．0 个 B．1个 C．8个 D．无数个     第一次联合诊断检测（数学）第 2页 共 4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6 分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9． 某科研院所共有科研人员 200 人，统计得到如下数据： 欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取 40 名科研人员进行调查，那么 A．若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B．若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取 20 人 C．若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D．若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员 10．声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该 技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率、振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为 π 的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是 3 2 π ( ) sin( ) 4 3 6 f x x  ， 则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有 A． 3 2 π ( ) sin( ) 4 3 6 f x x   B． 3 2 π ( ) cos( ) 4 3 3 f x x  C． 3 2 ( ) cos( ) 4 3 f x x D． 3 2 π ( ) cos( ) 4 3 6 f x x  11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 1( 1 0)F  ， ， 2 (1 0)F ， ，若满足 1 2PF PF a  （a为正常数）的动点 ( )P x y， 的轨迹为C ，则下列说法正确的是 A． 0a  ，使得曲线C 经过原点O B． 1a  ，曲线C 既是轴对称图形，也是中心对称图形 C．当 1.2a  时， 1 2PF F△ 面积的最大值为 5 5 D．当 8a  时，曲线C 围成的面积大于曲线E ： 2 2 1 8 7 x y   围成的面积   性别  数学  物理  化学  生物  合计  女  15   10   24   31  80   男  45   40   18   17   120   合计  60   50   42   48   200   研究  学科      第一次联合诊断检测（数学）第 3页 共 4页 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。  12．已知 2i 1  ，若复数 (1 i)(1 i) 2iz     ，则 | |z  ． 13．已知圆 1C ： 2 2 2 0x y x   ， 2C ： 2 2 4 8 4 0x y x y     ，P ，Q分别是 1C ， 2C 上的动点，则 | |PQ 的最大值为 ． 14．若函数 ( ) (2 ) | 1|xf x x a x    有且仅有一个零点 0x ，且 0 0x  ，则实数a的取值集合为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分） 已知函数 1 ( ) 2 2 lnf x x a x x    （ aR ）． （1）当 1a   时，求 ( )f x 在 (1 (1))f， 处的切线方程； （2）已知a为整数，若 ( )f x 在 (2 3)， 上单调递减，且在 (4 )， 上单调递增，求a． 16．（15 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA底面 ABCD ， ABCD 为矩形， 2 2 AB AD PD  ，点E 在棱 PB 上，且直线 PD与CE 所成的角为 π 6 ． （1）证明：点E 为棱PB的中点； （2）求直线CD 与平面 ACE 所成角的正弦值． 17．（15 分） 已知抛物线C ： 2 4y x ，过点 (1 0)F ， 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点， A在 x轴上方， AM ，BN 均 垂直于C 的准线，垂足分别为M ， N ． （1）当 3AB BN 时，求直线 l 的方程； （2）已知O 为坐标原点，证明： OA OB OM ON   ． A B C  D P E     第一次联合诊断检测（数学）第 4页 共 4页 18．（17 分） 2019 年 7 月 30 日国家市场监督管理总局第 11 次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自 2019 年 10 月 1 日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标 准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于55%为优级品，固形物含量低于55%且不低于50%为一级品， 固形物含量低于50%为二级品或不合格品． （1）现有6 瓶水果罐头，已知其中 2 瓶为优级品， 4 瓶为一级品． （i）若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第 2 次抽到一级 品的概率； （ii）对这6 瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6 瓶罐头的等级时终止检验，记检 验次数为 X ，求随机变量 X 的分布列与期望； （2）已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为 p （0 1p  ），且各件产品是否为优级品相互独立，若在 10次独立重复抽检中，至少有8次抽到优级品的概率不小于 97 0.75 （约为0.5256 ），求 p 的最小值． 19．（17 分） 由边长为1 21，， 的等腰直角三角形出发，用两种方法构造新的直角三角形： ①以原三角形的短直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边； ②以原三角形的长直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边． 设 0 )2(1 1k  ；； ，由方法①，②均可得到 1 3(1 )2k  ； ； ，接下来继续使用上述两种方法，得到三角形序 列 ( )n n n n nk k a b c ； ； （其中 n n na b c， ， 是直角三角形 nk 的三条边，且 n na b≤ ， nc 为斜边），满足对于任意 n N ，有 2 22 ( )n n n n nk a ac c ； ； ， 2 2 2 1 ( )n n n n nk c bb c  ； ； ． （1）设 12 ( )nnt k n  N ，求 nt 的通项公式； （2）若 6 )1(5 6nk  ；； ，求 n ； （3）证明：在直角三角形序列 nk 中，若 i j ，则 j i j i aa b b  ．       第一次联合诊断检测（数学）第 5页 共 4页 2025 年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测 数学参考答案 一、单选题 1～8 BAAD BDBC 8 题提示：由题意， p q，是 2 120 0n n   的两个正整数根，所以 2 480 0    ，且 120pq  ．( )p q， 只 能取到 (1 120)， 或 (120 1)， ， (2 60)， 或 (60 2)， ， (3 40)， 或 (40 3)， ， (4 30)， 或 (30 4)， ， (5 24)， 或 (24 5)， ，(6 20)， 或 (20 6)， ，(8 15)， 或 (15 8)， ，(10 12)， 或 (12 10)， ，共8对．故 ( )p q    共有 8个不同的值． 二、多选题 9．AD 10．AB 11．ABD 11 题提示：由题意，轨迹C 的方程为： 2 2 2 2( 1) ( 1)x y x y a        ①． 选项 A：取 1a  ，①即为 2 2 2 2( 1) ( 1) 1x y x y      ，曲线C 经过原点O ．A 正确． 选项 B：若 0 0( )M x y， 是曲线C 上一点，则 2 2 2 2 0 0 0 0( 1) ( 1)x y x y a      ． 1 0 0( )P x y， ， 2 0 0( )P x y ， ， 3 0 0( )P x y ， 也满足①，所以曲线C 关于 x 轴， y 轴和原点O 对称．B 正确． 选项 C：当 1.2a  时，①即为 2 2 2 2( 1) ( 1) 1.2x y x y      ．若 5 (0 ) 5 P ， ，则 1 2PF F△ 的 面积为 5 5 ；若 0(1 )P y， ，由曲线C 的对称性，不妨设 0 0y  ，则 2 0 5.44 2 0.2y    ，所以 0 5 5 y  ，此时 1 2PF F△ 的面积大于 5 5 ．C 错误． 选项 D：当 8a  时，由 2 1 2 1 2 8 2 PF PF PF PF           ，得 1 2 4 2PF PF  ．曲线 E ： 2 2 1 8 7 x y   上任意一点Q满足 1 2 4 2QF QF  ．所以曲线 E “包含于”曲线C ，两条曲线的 公共点仅有 (0 7)， ， (0 7)， ，曲线C 围成的面积大于曲线 E 围成的面积．D 正确． 三、填空题 12． 2 2 13．10 14． 1 ( , 1] 2             第一次联合诊断检测（数学）第 6页 共 4页 14 题提示：令 (2 ) | 1| 0xx a x     ，则 | 1| 2 x x a x    ，由题意， 0x  ．结合函数 2 xy a  和 | 1|x y x   的图象，知 1a   或 1 2 a  ．  四、解答题 15．（13 分） 解： ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 2 2 2 2 2 ( 2 1 2 1 ) a x f x x x ax x       ． ……2 分 （1）当 1a   时， 1 ( ) 2 2lnf x x x x    ， 2 2 2 ( 1 ) 2x f x x x   ，  所以 (1) 1f  ， (1) 1f   ． ( )f x 在 (1 (1))f， 处的切线方程为 y x ． ……7 分 （2）令 2( 1) 2 2g x xx a  ．由题意，当 (2 3)x ， 时， ( ) 0g x  ；当 (4 )x ， 时， ( ) 0g x  ． 只需 (2) 0g  ， (3) 0g  ， (4) 0g  ，  解得： 33 19 8 6 a    ， 因为a为整数，所以 4a   ． ……13 分 16．（15 分） 解：以 A为原点， AB  的方向为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系． 不妨设 2AB  ，则 2 2PD  ， 2PA  ， (0,2,0) (0,0,2) (2,2,0) (2,0,0)D P C B， ， ， ． ……3 分 （1）证明：设 (2 ,0, 2 )PE PB       ，则 (2 ,0, 2 2 )(0 1)E      ， 故 (0, 2,2) (2 2, 2,2 2 )DP CE          ， ， 由题意， 2 8 4 3 cos , 22 2 2(2 2) 4 DP CE DP CE DP CE                    ，得 1 2   ， 所以，点E为棱PB的中点． ……9 分 （2） ( 2,0,0) (2,2,0) (1,0,1)CD AC AE       ， ， ， 设平面 ACE 的法向量为 ( , , )n x y z  ，则 0 0. AC n AE n           ， 即 2 2 0 0. x y x z      ， 取 (1, 1, 1)n     ．     第一次联合诊断检测（数学）第 7页 共 4页 设直线CD与平面 ACE 所成角为 ，则 2 3 sin | cos , | | | 32 3 n CD        ， 所以，直线CD与平面 ACE 所成角的正弦值为 3 3 ． ……15 分 17．（15 分） 解：由题意， (1 0)F ， 为抛物线C 的焦点．设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 1 0y  ． 设直线 l的方程为： 1x ay  ，代入 2 4y x ，得： 2 4 4 0y ay   ． 则 0  ， 1 2 4y y a    ①， 1 2 4y y   ②． ……4 分 （1）因为 3AB BN ，所以 2AF BF ，即 1 22y y  ③． 由①③得： 1 8y a ， 2 4y a  ．又由②，解得 2 4 a   ． 因为 1 0y  ，所以 2 4 a  ．直线 l 的方程为 2 2 2 2 0x y   ． ……9 分 （2）由题意， 2( 1, )N y ， 1 1( , )OA x y  ， 2( 1, )ON y   ． 因为 2 1 2 1 2 1 1 1 1 04 y y x y y y y y       ，所以 //OA ON   ，O 在线段 AN 上． 同理，O 在线段 BM 上． 因为 //AM BN ，所以 AOM△ 与 NOB△ 相似，  从而 OA OM ON OB  ，即 OA OB OM ON   ． ……15 分 18．（17 分） 解：（1）（i）设第 1 次抽到优级品为事件 A，第 2 次抽到一级品为事件B，则      1 1 2 4 2 6 4 2 5 6 C C P AB A P B A P A    ． ……4 分 （ii）根据题意可知 X 的取值可能为 2,3,4,5． 则   2 2 2 6 1 2 15 A P X A    ，   1 1 2 4 2 2 3 6 3 1 2 5 C C A A P X    ，    4 1 2 3 4 2 4 3 4 6 15 4 4 A C C A A P X     ，   1 3 4 1 1 4 2 4 4 2 4 4 5 6 5 1 8 5 C C A C X C A P A    ．      第一次联合诊断检测（数学）第 8页 共 4页 则 X 的分布列为：  X 2   3   4   5   P 1 15 2 15 4 15 8 15 所以   12 3 42 4 5 15 15 1 8 64 5 15 15 E X          ． ……10 分  （2）设在10次抽检中至少有8 次抽到优级品的概率为 ( )f p ，则 8 8 2 9 9 10 10 10( ) (1 ) (1 )f p C p p C p p p     8 2 9 1045 (1 ) 10 (1 )p p p p p     8 2(36 80 45)p p p   ，0 1p  ． 因为 7 2( ) 360 ( 1) 0f p p p    ，所以 ( )f p 在 (0,1)单调递增． 注意到 93 3( ) 7 ( ) 4 4 f   ，所以 3 4 p  ，故 p 的最小值为 3 4 ． ……17 分 19．（17 分） 解：（1） 1 1 1 12 2 2 2( ; ; )n n n nnt k a b c     ，由 1 1 (1; 2; 3)t k  ， 2 2 (1; 3; 4)t k  ， 3 4 (1; 4; 5)t k  ， 由 1 12 2n na b  且 1 2 3 12 ,2 ,2 , ,2n n n    均为偶数得 12 1na   ， 又因为 2 2 21 2 2 2(1; ; )n n nnt k b c     ，其中 2 12 2n nc b  ，所以有 2 1 2 2 2 2 2 1 ( ) ( )n nb b   ， 所以有 1 2 2 ( ) 1nb n   ，所以 (1; 1; 2)nt n n   ． ……4 分 （2）若 (5;6 61)nk  ，因为 2 2 26 5 11 5   ，所以n是奇数，则 1 2 ( 11;5;6)nk   ， 又因为 2 2 25 ( 11) 14 ( 11)   ，所以 1 2 n  是偶数，所以 1 4 ( 11; 14;5)nk   ， 同理有 5 8 ( 3; 11; 14)nk   ， 5 16 ( 3; 8; 11)nk   ， 5 32 ( 3; 5; 8)nk   ， 37 64 ( 2; 3; 5)nk   ， 101 128 (1; 2; 3)nk   ，所以 101 1 128 n  ，则有 229n  ． ……10 分 （3）设{ }nk 中有两个及以上的直角三角形满足 i i a m b n  （ ,m n互质）， 在所有的 m n 中，取分母最小者，并在这些分母最小的有理数中取分子最小者， 将得到的有理数记作 ( 1) r r s s  ．     第一次联合诊断检测（数学）第 9页 共 4页 设 ( ; ; )l l l lk a b c ，则 l l a r b s  ，则 ( ; ; 1 )l l l l r r k b b b s s   ， 它的前序三角形（即得到 lk 的三角形）应为 ( ; ; )l l l s r r b b b s s  或 ( ; ; )l l l r s r b b b s s  ①若 r s r  ，则 l 为偶数，应存在不同的偶数2 ,2m n，使得 2 2 2 2 m n m n a a r b b s   ， 这就有 m n m n a a r s r r b b s s s r       ，由于 s r s  ，这与 r s 取法矛盾， ②若 r s r  ，则 l 为奇数，应存在不同的奇数 2 1,2 1m n  ，使得 2 1 2 1 2 1 2 1 m n m n a a r b b s       ， 此时 m n m n a a s r r s r b b s s r       ，同样与 r s 取法矛盾， 所以假设不成立，所以不存在两个及以上的三角形满足 ( )ji i j aa i j b b   ，命题得证．……17 分