1.1.1&1.1.2&1.1.3同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

1.1.1&1.1.2&1.1.3同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方 题型一 幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方） 1．计算的结果等于 ． 2．下列各题能用同底数幂乘法法用进行计算的是（  ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．下列计算中正确的是（） A． B． C． D． 7．计算：． 8．计算： (1)； (2)； (3)． 9．若，求n的值． 10．已知，求的值． 题型二 幂的运算的逆用（同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的逆用） 11．若，则（   ） A．10 B．3 C．7 D．12 12．已知，求． 13．如果，，则 ． 14．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 15．（1）若，求的值； （2）若，求的值． 16．阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 17．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 题型三 用科学记数法表示数的乘法 18．已知10×102=1000=103，102×102=10000=104，102×103=100000=105 猜想：106×104=　 　，10m×10n=　 　（m、n均为正整数） 运用上述结论计算下式：（﹣6.4×103）×（2×106） 19．计算： 题型四 幂的混合运算 20．，，则 ． 21．化简：(x4)3+(x3)4﹣2x4•x8 22．计算：（﹣x）3x5+（2x4）2． 23．计算：． 24．计算：(-2a3)2+(-a2)3-3a2·(-a3)·a 25．规定新运算“”：，如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 26．（1）已知，求m的值； （2）已知，，求的值． 27．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 29．已知，，，，，为正整数，求证：． 30．阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 31．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1&1.1.2&1.1.3同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方 题型一 幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方） 1．计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握公式：是解题法关键． 【详解】解： ， 故答案：． 2．下列各题能用同底数幂乘法法用进行计算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法的法则进行分析即可，熟练掌握同底数幂的乘法法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、的底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故A不符合题意； B、，底数一样，能用同底数幂的乘法的法则运算，故B符合题意； C、只能用合并同类项的法则运算，故C不符合题意； D、，底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故D不符合题意； 故选：B． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方，根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”求解即可． 【详解】解：， 故选D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方，直接利用积的乘方运算法则得出即可． 【详解】解：， 故选：A． 5．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运算可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A、，计算错误，故A选项不符合题意； B、，计算错误，故B选项不符合题意； C、，计算正确，故C选项符合题意； D、，计算错误，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算是解答本题的关键． 6．下列计算中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用同底数幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的乘方法则逐项判定即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； В．，原计算错误，不符合题意； C．原计算正确，符合题意； D．原计算错误，不符合题意； 故选：C． 7．计算：． 【答案】 【分析】题考查同底数幂的乘法计算，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解： ． 8．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算． （1）按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （2）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （3）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 9．若，求n的值． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据公式，得到，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 10．已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，首先根据同底数幂相乘底数不变指数相加，得到，可以得到关于的方程，解方程求出，把代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ． 题型二 幂的运算的逆用（同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的逆用） 11．若，则（   ） A．10 B．3 C．7 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟记同底数幂乘法的计算法则是解题的关键．根据同底数幂乘法法则的逆运算解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 12．已知，求． 【答案】 【分析】根据，代入计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 又， 原式． 13．如果，，则 ． 【答案】75 【分析】此题考查了幂的运算法则．根据幂的乘方、同底数幂的乘法法则得到，把已知条件代入进行解题即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 14．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）675；（2）200 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据幂的乘方的逆用求出和，再根据同底数幂的乘法的逆用计算即可得； （2）先计算积的乘方与幂的乘方可得，再根据幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴ ． 15．（1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）8（2）7 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的应用等知识点， （1）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方将化成，然后将代入求值即可； （2）根据幂的乘方的定义，可化为，即，即可求得a的值，又可化为，即，即可求解b的值，即可求解的值； 熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴． 16．阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 【答案】(1) (2)> 【分析】本题主要考查了实数的大小比较以及乘方的运用，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则． （1）先把底数9写成底数是3的幂，然后比较指数的大小，从而比较这两个数的大小； （2）先逆用幂的乘方法则，把幂写成指数相同的幂，然后根据底数越大，幂就越大，进行比较即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 又， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 17．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①1；②； (2)4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键． （1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果； （2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 题型三 用科学记数法表示数的乘法 18．已知10×102=1000=103，102×102=10000=104，102×103=100000=105 猜想：106×104=　 　，10m×10n=　 　（m、n均为正整数） 运用上述结论计算下式：（﹣6.4×103）×（2×106） 【答案】1010，10m+n；﹣1.28×1010． 【分析】由已知可以得到底数为10的同底幂相乘的积也是底数为10的幂，指数是作为因数的幂指数的和．根据这个规律可以完成猜想和计算． 【详解】猜想：106×104=1010，10m×10n=10m+n； 计算：（﹣6.4×103）×（2×106） =（﹣6.4×2）（103×106） =﹣12.8×109 =﹣1.28×1010． 【点睛】本题考查底数为10的同底幂相乘规律的归纳和应用，认真观察所给算式，总结规律后再去应用是解题关键． 19．计算： 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和科学记数法，先运用积的乘方运算法则运算，然后运用科学记数法记数是解题的关键． 【详解】解： ． 题型四 幂的混合运算 20．，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了积的乘方，幂的乘方逆用．原式先依据积的乘方计算得，再将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 21．化简：(x4)3+(x3)4﹣2x4•x8 【答案】0 【分析】直接利用整式运算法-乘方的运算则计算得出答案． 【详解】解∶原式=x12+x12-2x12 =0 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，正确运用整式运算法-乘方的运算是解答题目的关键． 22．计算：（﹣x）3x5+（2x4）2． 【答案】3x8 【分析】直接利用幂的混合运算即可解答. 【详解】解：原式＝﹣x8+4x8 ＝3x8． 【点睛】本题考查幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解答的关键. 23．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方和积的乘方计算，先计算同底数幂乘法，积的乘方和幂的乘方，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 24．计算：(-2a3)2+(-a2)3-3a2·(-a3)·a 【答案】 【分析】利用同底数幂乘法和幂的乘方运算法则将原式化为整式的加法，再合并同类项即可解 【详解】解：原式=     = 【点睛】本题为同底数幂乘法、幂的乘方与合并同类项的综合计算题，难度不大，熟练掌握相关运算法则是解题关键. 25．规定新运算“”：，如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)8； (2)． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算可得，然后进行计算即可解答； （2）根据定义的新运算可得，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由可得 ． （2）解：由可得．                 因为， 所以,                 解得． 26．（1）已知，求m的值； （2）已知，，求的值． 【答案】； ． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法． 根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得，从而可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； 根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：； 解：， ， ， 整理得：， ， ， ， 整理得：， 解方程组， 得， ． 27．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1)27； (2)32； (3)． 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得，再将式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）将式子变形为，整体代入计算即可得解； （3）由题意可得，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 28．已知求的值 ． 【答案】-7 【详解】试题分析：根据幂的乘方及积的乘方运算法则，将底数变为的形式，然后代入运算即可． 试题解析： 原式= ， 将=3，=2代入， 原式 29．已知，，，，，为正整数，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法法则的逆用．先利用幂的乘方法则的逆用对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法法则的逆用及幂的乘方法则的逆用对所求的式子进行整理即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ 即． 30．阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 【答案】(1)， (2)①1，1；② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）①， ； ② ． 31．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这两个法则是关键； （1）发现指数606，404，202都是101的倍数，于是把这三个数都转化为指数为101的幂，然后通过比较底数的方法，即可比较大小； （2）把化为后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，，， 而， ； （2）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$