第6章 三角（知识归纳+题型突破）（18题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第二册）

1、第6章 三角（18题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 知识点02：轴线角 ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 知识点03：常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 知识点04：扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 知识点05：任意角的三角函数定义 在任意角的终边上任取异于原点的一点， 设其坐标为，并令，必有. 这样，就可以分别定义角的正弦、余弦、正切及余切为 ， ， （），（）. 知识点06：同角三角函数的基本关系 1、平方关系： 2、商数关系:（，） 知识点07：关系式的常用等价变形 1、 2、 知识点08：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） 知识点09：两角和与差的正弦公式 （1） （2） 知识点10：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） 知识点11：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 知识点12：降幂公式 ① ② 知识点13：辅助角公式： (其中) 知识点14：正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ，，（可实现边到角的转化） ⑥ ，，（可实现角到边的转化） 知识点15：解决几何问题的常见公式 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 知识点16：余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 03 题型归纳 题型一　根据图形写出角的范围 例题1：（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】对按奇偶分类讨论可得． 【详解】当时，， 此时的终边和的终边一样， 当时，， 此时的终边和的终边一样． 故选：C． 例题2：（24-25高一上·山西太原·阶段练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是 ．    【答案】 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】确定以边界为终边的角，即可得角的集合. 【详解】由题图，终边对应角为且，终边对应角为且， 所以阴影部分角的集合是. 故答案为： 例题3：（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】直接利用所给角，表示出范围即可. 【详解】图（1）中角x组成的集合为； 图（2）中角x组成的集合为 或 . 巩固训练 1．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】根据给定图形，求出在内阴影部分的边界射线对应的角，进而确定阴影部分对应任意角的范围，即得结果. 【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为， 在内阴影部分对应角的范围是， 所以角的取值范围是. 故选：D. 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】根据阴影部分的边界，写出角的集合. 【详解】阴影部分表示的集合是. 故选：C 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 题型二 确定倍（分）角的范围　 例题1：（2024高三·全国·专题练习）已知为第三象限角，则是第 象限角，是 的角． 【答案】 二、四 第一、二象限或轴的非负半轴上 【知识点】轴线角、确定n倍角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】求出，，即得解. 【详解】是第三象限角，即， ， 当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角； 而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上. 故答案为：二、四；第一、二象限或轴的非负半轴上. 例题2：（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边在第四象限，则角的终边所在 象限. 【答案】第二､第三或第四 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】利用的范围计算的范围，分类讨论计算即可. 【详解】因为为第四象限角，所以， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第三象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二､第三或第四象限. 故答案为：第二、第三或第四 巩固训练 1．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知是第二象限角，那么 为第 象限角 【答案】一或三 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据题意推得，再对是偶数或奇数分类讨论即可得解. 【详解】因为是第二象限，所以，得， 当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角. 故答案为：一或三 2．（2024高一·全国·专题练习）若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是 . 【答案】/ 【知识点】找出终边相同的角、确定n分角所在象限 【分析】根据终边相同角的表示，求得，令，求得，进而得到答案. 【详解】因为角θ的终边与角的终边相同，可得， 所以， 令，解得，所以， 所以在内与角的终边相同的角为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）若角的终边落在第三象限，则的终边落在第 象限； 【答案】二或四 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据已知条件写出的范围，求得的范围，再判断其所处象限即可. 【详解】因为角的终边落在第三象限，故可得， 则，其表示第二或第四象限的角度. 故答案为：二或四. 4．（23-24高一下·全国·课后作业）在第一象限，则在第 象限. 【答案】第一或第二或者y轴正半轴 【知识点】确定n倍角所在象限 【分析】根据角的概念及象限角与轴线角即可判断. 【详解】因为在第一象限，所以， 则，故第一或第二象限或者y轴正半轴. 故答案为：第一或第二或者y轴正半轴. 题型三 角度制与弧度制相互转换　 例题1：（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）将写成的形式，可写为 . 【答案】 【知识点】角度化为弧度 【分析】根据角度制与弧度制的互化计算可得结果. 【详解】易知化成弧度制为， 因此. 故答案为： 例题2：（24-25高一上·上海·随堂练习）将1920°转化为弧度数为 ． 【答案】 【知识点】角度化为弧度 【分析】由角度制化为弧度制公式求解． 【详解】解：， 故答案为： 例题3：（23-24高一下·上海·课后作业）将下列各弧度化成角度. ；     ； ；     . 【答案】 -15° 135° 210° -171°54′ 【知识点】弧度化为角度 【分析】根据弧度制与角度制之间的转化关系可得答案. 【详解】；； ；， 故答案为：-15°；135°；210°；-171°54′. 巩固训练 1．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）将角度化为弧度： . 【答案】/ 【知识点】角度化为弧度 【分析】直接利用角度化弧度公式求解. 【详解】. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海青浦·期中）已知，若与的终边相同，且，则 【答案】 【知识点】找出终边相同的角、弧度化为角度 【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解. 【详解】因为与的终边相同， 且，即， 所以， 故答案为：或 题型四 扇形弧长与面积　 例题1：（24-25高三上·上海·阶段练习）周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题、基本不等式求和的最小值 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 依题意可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值. 故答案为：. 例题2：（24-25高一上·上海奉贤·期末）下图①为一窗子，设此窗子所在的扇形半径为（下图②．已知，圆心角为，且为的中点，则该窗子的面积为 ． 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算得解. 【详解】依题意，， 所以该窗子的面积为（）. 故答案为： 例题3：（23-24高一上·山西长治）已知扇形的周长为30． (1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积; (2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径 . 【答案】(1)，，； (2)，. 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）利用弧长公式，扇形面积公式即得； （2）由题可得，然后利用基本不等式即求. 【详解】（1）由题知扇形的半径，扇形的周长为30， ∴， ∴，，. （2）设扇形的圆心角，弧长，半径为，则， ∴， ∴ 当且仅当，即取等号， 所以该扇形面积的最大值为，此时扇形的半径为. 巩固训练 1．（23-24高一上·河南·期末）已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 . 【答案】2 【知识点】弧长的有关计算 【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设扇形的圆心角为， 因为扇形的半径是，弧长为， 所以由，得，则. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海·期中）已知扇形的周长为6，则面积，该扇形的圆心角大小为 弧度. 【答案】2 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据题意结合扇形的弧长和面积公式列式求解即可. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 由题意可得，解得， 所以该扇形的圆心角大小为2弧度. 故答案为：2. 3．（2024·上海奉贤·一模）申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为． 已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为 ．（用含的表达式表示） 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】连接，求出，可得答案. 【详解】连接，则，， ， ， ， 所以该图形的面积为. 故答案为：. 题型五 终边点（单位圆）法求三角函数　 例题1：（23-24高一·上海·课堂例题）已知角的终边过点，则下列值不存在的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数定义，求值判断即可． 【详解】因为角的终边过点， 由三角函数的定义得， ， ， 不存在， ， 故选：C. 例题2：（24-25高三上·上海·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，若角的终边经过点，则 . 【答案】/-0.2 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义分别计算该交的正弦与余弦值计算即可. 【详解】由题可知，， 所以 故答案为： 例题3：（24-25高一上·上海·课后作业）若为锐角，且，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】由题意，据此可列出关于的不等式组，进一步即可求解. 【详解】由题意，解得. 故答案为：. 巩固训练 1．（23-24高一上·山东）已知角的终边经过点，且，则实数m的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】利用三角函数的定义列方程求解即可. 【详解】由三角函数的定义得， 解得 故选：A 2．（24-25高三上·上海·期中）已知点是角终边上一点，若，则 . 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由任意角的三角函数定义即可求解. 【详解】，又， 解得：， 所以， 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知P是角的边上一点，且P点的坐标为，则 . 【答案】/ 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据余弦的定义，求出余弦值即可. 【详解】因为,可得, 所以. 故答案为：. 题型六　利用平方关系求参数 例题1：（23-24高一上·上海·期末）设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 【答案】C 【知识点】利用平方关系求参数、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】由解得或，然后对、分别进行讨论，即可得出结果. 【详解】因为，，且， 所以，解得或， 若，则，，此时所在象限是第四象限； 若，则，，此时所在象限是第二象限， 所以为第二象限或第四象限角. 故选：C. 例题2：（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，其中，则 . 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、利用平方关系求参数 【分析】根据公式和条件求，再结合公式，即可求解. 【详解】由，得， 解得：或， 当时，，，与矛盾，舍去， 当时，，，成立， 所以. 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则 . 【答案】/ 【知识点】利用平方关系求参数、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用对表达式化简为并代入，即可得到结果， 【详解】. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 【答案】/ 【知识点】利用平方关系求参数、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据根与系数关系并利用同角三角函数值之间的基本关系可求得结果. 【详解】利用方程的根与系数关系可得， 又，即， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，原方程的根为，在区间内，符合题意； 故答案为： 题型七 与 例题1：（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】将两边平方，求出，即可得到且，最后根据计算可得. 【详解】因为，所以， 即，所以，即， 又是三角形的内角，所以，则， 所以. 故选：A 例题2：（2024高一下·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，联立得到正弦和余弦，最后求出正切值. 【详解】由平方得， 所以， 因为，所以，所以， 又因为， 所以， 联立解得，所以， 故答案为：. 例题3：（23-24高一上·上海浦东新·期末）若．则 ． 【答案】8 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】对等式两边同时平方，由同角的平方关系可得，结合同角的三角函数关系化简计算即可求解. 【详解】由，得， 解得， 所以. 故答案为：8 巩固训练 1．（23-24高一上·福建南平·期末）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则 ． 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】直角三角形的两条直角边分别为，可得小正方形的边长为，利用同角三角函数基本关系即可求解. 【详解】直角三角形中较小的内角为， 则直角三角形的两条直角边分别为， 所以小正方形的边长为， 所以， 即， 即， 所以， 所以. 故答案为：. 2．（2023·上海浦东新·模拟预测）已知是关于的方程的两根，则 . 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】先通过根与系数的关系得到的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得. 【详解】由题意：，所以， 所以，即，解得. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海浦东新）已知，，则的值为 ； 【答案】/ 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】由求得，从而判断出的范围，进而可求出的值，得到的值. 【详解】将平方得， 所以， 因为，所以，所以， 而 所以 所以 故答案为： 题型八 正（余）弦齐次式计算　 例题1：（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，则 ． 【答案】0 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】将齐次正余弦的分式，利用同角三角函数商的关系化弦为切，代值计算即得. 【详解】由. 故答案为：0. 例题2：（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/0.6 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】将目标式化为齐次式，结合同角三角函数关系，即可求得结果. 【详解】因为， 则. 故答案为：. 例题3：（23-24高一上·上海·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为 所以，解得 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一下·上海松江·期末）若，则 ． 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】将分式中的分子分母同时除以即弦化切即可求解. 【详解】由题. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·单元测试）若，则 . 【答案】1 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】分子分母同除以即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：1 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，则 ． 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】由，可得 故答案为：. 题型九 两角和差公式的应用　 例题1：（24-25高三上·上海·期中）若，则 . 【答案】2 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由两角和与差的正弦公式展开已知式，然后由商数关系求解． 【详解】因为， 所以， 即， 所以， 故答案为：2. 例题2：（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知是第一象限角，是第四象限角，且满足，则 【答案】 【知识点】给值求值型问题、用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先根据同角三角关系可得，再结合两家和差公式运算求解. 【详解】因为是第一象限角，是第四象限角，， 则， 所以. 故答案为：. 例题3：（24-25高三上·上海·期中）已知，则的值为 . 【答案】3 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】首先根据已知的正弦值求出余弦值，进而得到正切值，最后利用两角和的正切公式求出的值. 【详解】已知，则. 根据， 根据两角和的正切公式，则. 故答案为：3. 巩固训练 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 【答案】-1 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由余切公式及两角和的正切公式求解． 【详解】， 故答案为：-1 2．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】由两角和的正余弦公式求解和进而判断角所在象限. 【详解】， ， ， ， ， ， 是第二象限角． 故选：B． 3．（23-24高二上·海南海口·阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和角正弦公式的逆用求解即得. 【详解】 . 故选：A 题型十　二倍角公式的应用 例题1：（24-25高一上·上海·单元测试）已知是第二象限的角，且，则的值为（    ） A． B． C． D．–3 【答案】C 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、诱导公式二、三、四、二倍角的正切公式 【分析】利用诱导公式求出，根据三角函数的基本关系求出，最后由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又是第二象限的角，所以， 所以， 所以. 故选：C 例题2：（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由，利用倍角公式求出，再利用，借助诱导公式即可求解. 【详解】由，则， 又， 故答案为：. 例题3：（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 . 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角公式求解即可． 【详解】 ， 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式 【分析】借助辅助角公式与二倍角公式计算即可得. 【详解】，即， 则. 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由题设求出，再由正弦倍角公式即可计算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 3．（24-25高三上·上海·期中）若，且，则tanα＝ ． 【答案】/ 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由同角三角函数的关系，结合二倍角公式求解． 【详解】由， 可得， 又，则， 即， 解得， 则， 故． 故答案为：． 4．（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）已知，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】二倍角的正切公式、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据题意，由，结合诱导公式和三角函数的商关系，可得的值，再由二倍角的正切公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一上·云南昭通·期末）若，则 . 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 题型十一 辅助角公式的应用　 例题1：（24-25高一上·上海·课后作业）将化成（，）的形式，以下式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、辅助角公式 【分析】由两角和的正弦公式的逆运算及诱导公式求解. 【详解】 ， 故选：A 例题2：（24-25高一上·上海·期末）当， ． 【答案】或， 【知识点】已知三角函数值求角、辅助角公式 【分析】由辅助角公式可得，再取角即可. 【详解】因为， 所以， 即， 所以或， 即或， 故答案为：或. 例题3：（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知 ． 【答案】/ 【知识点】诱导公式五、六、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式得到，再整体法用诱导公式求出答案. 【详解】，即， ． 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，若，则 . 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、辅助角公式 【分析】将待求式切化弦可得，根据平方可求得的值，然后求出的范围，由此求出的值，代入即可求解. 【详解】， 因为，，两边平方可得，，则， 又因为， 所以，则，， 则，所以， 所以， 则， 故答案为：. 2．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）把化为的形式是 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】 利用辅助角公式与二倍角公式化简即可. 【详解】由三角函数相关性质得原式， ， ， 故答案为： 3．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数，当取得最大值时， . 【答案】/ 【知识点】诱导公式一、诱导公式五、六、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式整理函数解析式，根据正弦函数的性质，结合诱导公式，可得答案. 【详解】由函数，其中， 当取得最大值，则，解得， 此时. 故答案为：. 题型十二 给值求值（角） 例题1：（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】利用三角函数的定义、同角三角函数的商数关系及二倍角公式计算即可 【详解】由题意知，所以． 故选：A． 例题2：（24-25高一·全国·课后作业）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】由题知，再根据二倍角公式求解即可. 【详解】解：因为，所以， 因为 所以或（舍） 所以. 故答案为： 例题3：（23-24高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】给值求角型问题 【分析】根据角度范围求解，再求解，结合角度范围判断即可. 【详解】∵和均为钝角， ∴，． ∴． 由和均为钝角，得，∴． 故选：D 例题4：（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）若锐角满足，，则 ． 【答案】 【知识点】给值求角型问题、用和、差角的正切公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的正切公式即可求解. 【详解】锐角满足，则， 所以，又， 所以， 由均为锐角，则. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高二下·上海宝山·开学考试）已知，则的值为 . 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】应用二倍角余弦公式求值即可. 【详解】由. 故答案为： 2．（24-25高一·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式、给值求值型问题 【分析】根据正切的两角和公式可得，然后利用二倍角公式即得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】给值求角型问题 【分析】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 4．（23-24高三下·上海黄浦·开学考试）若，且，则的值为 . 【答案】或 【知识点】给值求角型问题、辅助角公式、二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式可得，分类讨论当、时的情况，结合和辅助角公式计算即可. 【详解】由题意知， 则， 即， 当时，，即， 由，得； 当时，， 所以，即， 由，得，所以，得. 故答案为：或 题型十三　应用正（余）弦定理解三角形 例题1：（2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . 【答案】/0.625 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得，而， 因此，即，所以. 故答案为： 例题2：（24-25高二上·上海·期中）在中，若，，．则 ． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据题意利用正弦定理运算求解即可. 【详解】因为，可得. 故答案为：. 例题3：（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，已知，则该三角形最小角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理得到三边之比，再利用余弦定理即可. 【详解】由正弦定理得， 不妨设，根据大边对大角知，该三角形最小角为边长为2的边所对的角， 则根据余弦定理知该三角形最小角的余弦值为. 故答案为：. 巩固训练 1．（24-25高三上·上海浦东新·期末）在中，，，，则 ． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得. 【详解】在中，由，，得， 由正弦定理得，. 故答案为： 2．（2024·上海嘉定·一模）在中，若，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，所以. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·期中）在中，角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c，已知，，，则 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理求解． 【详解】由正弦定理得，解得. 故答案为：． 题型十四 三角形解的个数问题　 例题1：（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，，则三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】由正弦定理得：， 又，有，满足条件的有两个. 故选：B 例题2：（23-24高三上·北京·开学考试）在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据满足条件的有两个，可得出，求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为，，，且满足条件的有两个， 则，即，解得. 故选：B. 例题3：（2024高一·上海·专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据求解即可得答案. 【详解】因为这个三角形有两解，故满足， 即，解得. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）在中，，则的解的个数是（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．1个或2个 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】结合图形，三角形的性质进行判断. 【详解】 如图，在中，因为， 所以， 所以，所以可以构成两个三角形， 所以的解的个数是2个，故A，C，D错误. 故选：B. 2．（23-24高一下·上海徐汇）在中，，，，则的解的个数是 个. 【答案】2 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理即可判断三角形有两解. 【详解】在中，，，， ，由则，如图： 所以此时有两解. 故答案为: 2. 3．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理可求出，由只有一个结合正弦函数的性质可得解. 【详解】由，得， 又，所以， 则当时，三角形只有一个解， 此时， 所以. 故答案为：. 题型十五　三角形形状判断 例题1：（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】充分条件的判定及性质、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【详解】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B 例题2：（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）三角形的三条高的长度分别为，则此三角形的形状是 . 【答案】钝角三角形 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】 设出未知数并根据余弦定理求解即可. 【详解】根据题意，设三条高线对应的边长分别为最大边对应的角为, 由余弦定理可得，则为钝角，故三角形为钝角三角形. 故答案为：钝角三角形. 例题3：（2024高一下·上海·专题练习）在中， (1)若与是方程的两个实根，求角的值； (2)若，判断的形状． 【答案】(1)； (2)等腰三角形或直角三角形. 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用、二倍角的正弦公式、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）利用韦达定理，结合和角的正切公式及诱导公式求解即得. （2）利用正弦定理边化角，再结合二倍角公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】（1）在中，与是方程的两个实根， 则，，， ，又， 所以. （2）在中，由正弦定理及，得，即， 则，即，而， 因此或，即或, 所以为等腰三角形或直角三角形． 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形 【答案】A 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由条件利用余弦定理求得，可得，由，再根据正弦定理和余弦定理再可得，从而得出结论． 【详解】在中， ， ，， 又由可得， ，故是等边三角形. 故选：A. 2．（23-24高三上·福建三明·开学考试）在中，，，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦定理化角为边得，再代入另一已知条件得，从而得三角形形状． 【详解】由正弦定理，所以， 代入得，∴， 所以，三角形为等边三角形， 故答案为：等边三角形． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断三角形ABC的形状： (1)； (2)． 【答案】(1)等腰三角形或直角三角形； (2)等腰三角形或直角三角形. 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用、二倍角的正弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用诱导公式及和差角的正弦公式化简即可得解. （2）利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦及诱导公式求解即得. 【详解】（1）在中，，由， 得，整理得， 则或，而，于是或， 所以是等腰三角形或直角三角形. （2）在中，由及正弦定理得，即， 而，因此，即， 由，得， 因此或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断三角形ABC的形状： (1)； (2)． 【答案】(1)等腰三角形 (2)直角三角形. 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）利用余弦定理即可化简得，即可判断三角形形状； （2）利用两角和的余弦公式即可得，则，即可判断三角形形状. 【详解】（1）由余弦定理知，得，则， 所以为等腰三角形. （2）， 所以，从而有， 即，又因为， 故，三角形为直角三角形. 题型十六 三角形周长问题　 例题1：（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知的内角的对边分别为，若. (1)求； (2)若，求的周长. 【答案】(1)或； (2). 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、辅助角公式、特殊角的三角函数值 【分析】（1）应用辅助角公式得出再结合角的范围求角； （2）根据正弦定理和三角形内角和化简得出即可求角，最后应用正弦定理角化边得出周长即可. 【详解】（1）依题意，， 所以， 因为，所以或，所以或. （2）由， 根据正弦定理和三角形内角和定理可得， 又，所以，即， 又，所以， 在中，因为，则，所以， 所以. 根据正弦定理可得，即， 所以， 所以的周长为. 例题2：（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，中的三个内角，，的对边长分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，结合正弦性函数性质计算即可得解； （2）结合正弦定理可将边化为角，结合三角恒等变换可将周长用表示，结合锐角三角形定义可得的范围，即可得周长的取值范围. 【详解】（1） ， 由，则，则， 即，又，故； （2）由正弦定理可得， ， 则 ， 由为锐角三角形，，则有，解得， 则，由在上单调递增，故， ，， 故，故， 即周长的取值范围为. 例题3：（2024·四川内江·一模）在中，，，分别为内角所对的边，且满足． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解即可； （2）利用余弦定理可得，再结合不等式可得，即可得结果. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 且，即， 又因为，则， 可得，即，所以. （2）由余弦定理可得：， 即，可得， 又因为，可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为. 巩固训练 1．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知在锐角中，三边的对角分别为，且 (1)求角的值； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理边角转化和余弦定理即可求解； （2）用正弦定理把边化角，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的值域求解即可. 【详解】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理得，可得， 将其代入，可得 ， 根据余弦定理得， 由此可得，又为锐角，所以； （2）由（1）正弦定理， ， ， 又因为为锐角三角形，所以， 又， ， ，即， 所以， 又，，即， 故锐角的周长的取值范围为. 2．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可. （2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质求解取值范围即可. 【详解】（1）在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以， ， ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 3．（24-25高三上·河北沧州·期中）记的内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求A； (2)若的面积为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理及和差角公式结合题意可得，最后由辅助角公式可得答案； （2）由面积公式可得，结合及（1）分析可得a，最后由余弦定理可得，即可得答案. 【详解】（1）由正弦定理及， 可得 ，因，则， 则，结合， 则； （2）因的面积为，则， 则，由正弦定理及， 则，则. 由余弦定理，， 则， 则三角形周长为. 4．（2024·广东韶关·一模）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为6 【知识点】基本不等式求积的最大值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式，可得，再根据三角形的内角和公式和诱导公式，可得，进而得角. （2）法一：利用余弦定理，结合基本不等式可求三角形周长的取值范围. 法二：利用正弦定理，表示出，再利用三角函数的恒等变换，可得三角形的周长为，再根据角的取值范围，可求周长的最大值. 法三：数形结合，把问题转化成圆的弦长中，直径最大，再根据直角三角形的边角关系求圆的直径. 【详解】（1）由b及正弦定理得 所以 因为 化简得 因为，所以，所以 所以. （2）法一：由余弦定理 有 因为 所以 即，所以，当且仅当时等号成立. 所以的周长. 即周长的最大值为6. 法二：由正弦定理，即 的周长 因为，所以 所以 因为，所以当时取得最大值为6 法三：（几何法）：如图1所示，延长到点，使得 使得， 要使的周长最大，则需满足长度最大 将问题转化为已知一边，一对角，求另一边的长度的最大值 由图2可得.当为该圆直径时，最大. 即 所以.    题型十七 三角形边（边的代数和）问题　 例题1：（24-25高三上·湖北·期中）已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值可能为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】B 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】由三角形面积公式建立等式，解得，由正弦定理得出表达式，由角取值范围得出取值范围即可得到可能的取值. 【详解】依题意，得，故，则， 因为为锐角，所以. 依题意，， 而故，故， 则， 故选：B. 例题2：（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由余弦定理可得出，求出角的取值范围，利用正弦定理结合两角和的正弦公式求出的取值范围，再利用双勾函数的基本性质以及反比例函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即，即， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）由（1）得， 所以，， 因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，，则， 则， 因为双勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 当或时，， 所以，函数在上的值域为， 因为，则， 故. 因此，的取值范围为. 例题3：（24-25高三上·河北沧州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求的大小； (2)若，且的面积是，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理、两角差的正弦公式，求出，结合的范围即可求解； （2）由三角形的面积公式求出，再由余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，所以 因为，所以，所以， 所以，即， 所以，又，所以. （2）因为的面积是，所以，解得. 由余弦定理可得，又，即， 则，即，故. 巩固训练 1．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、与二次函数相关的复合函数问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再利用诱导公式即正弦的和角公式求解； （2）把转化为的函数，利用余弦定理及三角函数单调性分析的范围 ，最后再利用二次函数的单调性求范围. 【详解】（1）根据正弦定理可知：， 因为，所以，所以. （2）由余弦定理可知：，因为，所以，，， 因为，所以，， 由正弦定理得：， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以时，取得最小值， 并且， 所以的范围是. 2．（2024高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，，且． (1)当时，试判断的形状； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)为等腰三角形或直角三角形． (2)． 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理边角转化，得出，求出角进而判断三角形形状； （2）根据为锐角三角形得出，由正弦定理得，因为，进而得出取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得， ， 所以， 即，又，，， 所以或． 若，则，与矛盾， 所以，此时或． 当时，，当时，， 即为等腰三角形或直角三角形． （2）由（1）得， 所以或． 当时，，而为锐角三角形， 所以，，，即． 当时，，此时为钝角，不符合题意． 由余弦定理的推论得， 由正弦定理得 ． 因为，所以， 所以， 即，所以的取值范围是． 3．（24-25高三上·山东·开学考试）如图，在中，，，，P为内一点，．    (1)若，求PA； (2)（i）若，求． （ii）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）,（ii） 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形 【分析】（1）在中运用余弦定理可解； （2）（i）设，由已知得，在中，由正弦定理可解.（ii）设，则,运用锐角三角函数将转化为关于的正弦型函数，求值域即可. 【详解】（1）由已知易得，所以. 在中，由余弦定理得，故. （2）（i）设，由已知得， 在中，由正弦定理得， 化简得，所以，即. （ii）设，则. 根据题意知道. 则. 由于，则.则. 则.则的取值范围. 题型十八 三角形面积问题　 例题1：（23-24高三上·上海·开学考试）在中，角A、B、C的对边分别a、b、c，已知，，且． (1)求角C的大小； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正弦公式、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据二倍角公式可得，即可求解得解， （2）利用余弦定理可得，即可由面积公式求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即，因为，即， 所以，即， 所以（舍去）或，由于，所以； （2）因为，且， 所以， 又，，所以，整理得， 又，则． 例题2：（23-24高一下·上海松江·期末）在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大 (3)设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大 【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）先由余弦定理求出，即可由面积公式求解. （2）设米，先由余弦定理求出与的关系式，进而得，进而代入面积公式结合一元二次函数的性质研究最值即可得解. （3）先利用正弦定理求得，接着代入结合三角恒等变换公式计算即可求解. 【详解】（1）若，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为. （2）设米，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为， 所以当即时，烧烤区的面积最大为，此时米， 所以修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大. （3）由（2）得米， 所以在中由题意得，即， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以当即时，有最大值为， 此时，， 所以在（2）条件下，设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大. 【点睛】思路点睛：对求花卉观赏区的面积最大值，先在中利用正弦定理得，接着代入结合三角恒等变换公式计算化简得，再利用三角函数值的有界性即可求出解. 例题3：（2025·上海·模拟预测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 例题4：（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 巩固训练 1．（24-25高三上·上海·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则的面积为 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，再由，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，因为， 可得，且，， 由正弦定理得， 又因为， 可得， 所以的面积为. 故答案为：. 2．（2024·上海长宁·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、特殊角的三角函数值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据正弦定理边角互化化简得出正切，结合范围求角； （2）应用面积公式计算得出，再结合余弦定理得出边长即可判断. 【详解】（1）由正弦定理可得, 因为，所以，,所以. （2）, 所以, 由余弦定理，得, 即，解得, 所以是等边三角形. 3．（24-25高三上·上海·期中）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B； (2)若△ABC的面积为，求a． 【答案】(1)； (2)6． 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解； （2）由（1）得，由三角形面积求得，再由余弦定理即可求得a． 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得，故， 所以，又， 所以； （2）由（1）知，又，所以， 所以，所以，， 因为，所以，所以， 所以由余弦定理得,所以. 4．（24-25高三上·上海嘉定·期中）对于函数，其中. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)在锐角中，若，，求的面积. 【答案】(1)， (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、用定义求向量的数量积 【分析】（1）由二倍角正弦、余弦公式及辅助角公式化简，进一步可得周期，根据复合函数的单调性求出结果； （2）由（1）及条件求出角A，根据数量积的定义及三角形面积公式可得结果. 【详解】（1） ， 函数的最小正周期为， 令，则，函数为增函数， 当时函数为增函数， 即，得， 所以函数的单调增区间是． （2）由已知，所以， 因为，所以，即，所以， 又，所以， 所以的面积． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1、第6章 三角（18题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 知识点02：轴线角 ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 知识点03：常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 知识点04：扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 知识点05：任意角的三角函数定义 在任意角的终边上任取异于原点的一点， 设其坐标为，并令，必有. 这样，就可以分别定义角的正弦、余弦、正切及余切为 ， ， （），（）. 知识点06：同角三角函数的基本关系 1、平方关系： 2、商数关系:（，） 知识点07：关系式的常用等价变形 1、 2、 知识点08：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） 知识点09：两角和与差的正弦公式 （1） （2） 知识点10：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） 知识点11：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 知识点12：降幂公式 ① ② 知识点13：辅助角公式： (其中) 知识点14：正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ，，（可实现边到角的转化） ⑥ ，，（可实现角到边的转化） 知识点15：解决几何问题的常见公式 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 知识点16：余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 03 题型归纳 题型一　根据图形写出角的范围 例题1：（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．B．C．D． 例题2：（24-25高一上·山西太原·阶段练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是 ．    例题3：（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 巩固训练 1．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 题型二 确定倍（分）角的范围　 例题1：（2024高三·全国·专题练习）已知为第三象限角，则是第 象限角，是 的角． 例题2：（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边在第四象限，则角的终边所在 象限. 巩固训练 1．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知是第二象限角，那么 为第 象限角 2．（2024高一·全国·专题练习）若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是 . 3．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）若角的终边落在第三象限，则的终边落在第 象限； 4．（23-24高一下·全国·课后作业）在第一象限，则在第 象限. 题型三 角度制与弧度制相互转换　 例题1：（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）将写成的形式，可写为 . 例题2：（24-25高一上·上海·随堂练习）将1920°转化为弧度数为 ． 例题3：（23-24高一下·上海·课后作业）将下列各弧度化成角度. ；     ； ；     . 巩固训练 1．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）将角度化为弧度： . 2．（23-24高一下·上海青浦·期中）已知，若与的终边相同，且，则 题型四 扇形弧长与面积　 例题1：（24-25高三上·上海·阶段练习）周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 例题2：（24-25高一上·上海奉贤·期末）下图①为一窗子，设此窗子所在的扇形半径为（下图②．已知，圆心角为，且为的中点，则该窗子的面积为 ． 例题3：（23-24高一上·山西长治）已知扇形的周长为30． (1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积; (2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径 . 巩固训练 1．（23-24高一上·河南·期末）已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 . 2．（23-24高一下·上海·期中）已知扇形的周长为6，则面积，该扇形的圆心角大小为 弧度. 3．（2024·上海奉贤·一模）申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为． 已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为 ．（用含的表达式表示） 题型五 终边点（单位圆）法求三角函数　 例题1：（23-24高一·上海·课堂例题）已知角的终边过点，则下列值不存在的是（    ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高三上·上海·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，若角的终边经过点，则 . 例题3：（24-25高一上·上海·课后作业）若为锐角，且，则实数m的取值范围是 . 巩固训练 1．（23-24高一上·山东）已知角的终边经过点，且，则实数m的值是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高三上·上海·期中）已知点是角终边上一点，若，则 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知P是角的边上一点，且P点的坐标为，则 . 题型六　利用平方关系求参数 例题1：（23-24高一上·上海·期末）设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 例题2：（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，其中，则 . 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则 . 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 题型七 与 例题1：（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 例题2：（2024高一下·全国·专题练习）已知，则 ． 例题3：（23-24高一上·上海浦东新·期末）若．则 ． 巩固训练 1．（23-24高一上·福建南平·期末）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则 ． 2．（2023·上海浦东新·模拟预测）已知是关于的方程的两根，则 . 3．（23-24高一上·上海浦东新）已知，，则的值为 ； 题型八 正（余）弦齐次式计算　 例题1：（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，则 ． 例题2：（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，则 ． 例题3：（23-24高一上·上海·期末）已知，则 ． 巩固训练 1．（23-24高一下·上海松江·期末）若，则 ． 2．（24-25高一上·上海·单元测试）若，则 . 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，则 ． 题型九 两角和差公式的应用　 例题1：（24-25高三上·上海·期中）若，则 . 例题2：（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知是第一象限角，是第四象限角，且满足，则 例题3：（24-25高三上·上海·期中）已知，则的值为 . 巩固训练 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 2．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．（23-24高二上·海南海口·阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D． 题型十　二倍角公式的应用 例题1：（24-25高一上·上海·单元测试）已知是第二象限的角，且，则的值为（    ） A． B． C． D．–3 例题2：（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，则 ． 例题3：（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 . 巩固训练 1．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期末）已知，则的值为 ． 3．（24-25高三上·上海·期中）若，且，则tanα＝ ． 4．（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）已知，则的值为 ． 5．（23-24高一上·云南昭通·期末）若，则 . 题型十一 辅助角公式的应用　 例题1：（24-25高一上·上海·课后作业）将化成（，）的形式，以下式子正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高一上·上海·期末）当， ． 例题3：（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知 ． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，若，则 . 2．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）把化为的形式是 3．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数，当取得最大值时， . 题型十二 给值求值（角） 例题1：（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高一·全国·课后作业）已知，，则 ． 例题3：（23-24高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 例题4：（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）若锐角满足，，则 ． 巩固训练 1．（23-24高二下·上海宝山·开学考试）已知，则的值为 . 2．（24-25高一·全国·课后作业）已知，则 ． 3．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·上海黄浦·开学考试）若，且，则的值为 . 题型十三　应用正（余）弦定理解三角形 例题1：（2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . 例题2：（24-25高二上·上海·期中）在中，若，，．则 ． 例题3：（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，已知，则该三角形最小角的余弦值为 . 巩固训练 1．（24-25高三上·上海浦东新·期末）在中，，，，则 ． 2．（2024·上海嘉定·一模）在中，若，则 . 3．（24-25高二上·上海·期中）在中，角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c，已知，，，则 题型十四 三角形解的个数问题　 例题1：（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，，则三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 例题2：（23-24高三上·北京·开学考试）在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（　　） A． B． C． D． 例题3：（2024高一·上海·专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是 巩固训练 1．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）在中，，则的解的个数是（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．1个或2个 2．（23-24高一下·上海徐汇）在中，，，，则的解的个数是 个. 3．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是 . 题型十五　三角形形状判断 例题1：（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 例题2：（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）三角形的三条高的长度分别为，则此三角形的形状是 . 例题3：（2024高一下·上海·专题练习）在中， (1)若与是方程的两个实根，求角的值； (2)若，判断的形状． 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形 2．（23-24高三上·福建三明·开学考试）在中，，，则的形状为 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断三角形ABC的形状： (1)； (2)． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断三角形ABC的形状： (1)； (2)． 题型十六 三角形周长问题　 例题1：（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知的内角的对边分别为，若. (1)求； (2)若，求的周长. 例题2：（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，中的三个内角，，的对边长分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 例题3：（2024·四川内江·一模）在中，，，分别为内角所对的边，且满足． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 巩固训练 1．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知在锐角中，三边的对角分别为，且 (1)求角的值； (2)若，求的周长的取值范围． 2．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 3．（24-25高三上·河北沧州·期中）记的内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求A； (2)若的面积为，，求的周长． 4．（2024·广东韶关·一模）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 题型十七 三角形边（边的代数和）问题　 例题1：（24-25高三上·湖北·期中）已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值可能为（   ） A． B．1 C．3 D．5 例题2：（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 例题3：（24-25高三上·河北沧州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求的大小； (2)若，且的面积是，求的值． 巩固训练 1．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且，求的取值范围. 2．（2024高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，，且． (1)当时，试判断的形状； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 3．（24-25高三上·山东·开学考试）如图，在中，，，，P为内一点，．    (1)若，求PA； (2)（i）若，求． （ii）求的取值范围． 题型十八 三角形面积问题　 例题1：（23-24高三上·上海·开学考试）在中，角A、B、C的对边分别a、b、c，已知，，且． (1)求角C的大小； (2)求的面积． 例题2：（23-24高一下·上海松江·期末）在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 例题3：（2025·上海·模拟预测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 例题4：（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 巩固训练 1．（24-25高三上·上海·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则的面积为 . 2．（2024·上海长宁·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 3．（24-25高三上·上海·期中）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B； (2)若△ABC的面积为，求a． 4．（24-25高三上·上海嘉定·期中）对于函数，其中. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)在锐角中，若，，求的面积. 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$