第6章 三角（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第二册）

第6章 三角（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知角的终边经过点，则 . 2．若，则 ． 3．敦煌莫高窟飞天壁画折扇的展开图如图1所示，其平面简化图如图2所示，该扇子的扇面（扇环形）可视为扇形截去扇形所剩余的部分．已知，，，则该扇子的扇面面积为 ． 4．在中，若，且的面积为，则 ． 5．已知，，则 ． 6．如图，点A为半径为2千米的圆形海岛的最东端，点B为最北端，在点A的正东4千米C处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在B处有一小船正以速度v（千米/小时）向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为3v（千米/小时）．为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应向西偏北 度方向行驶．（结果精确到整数） 7．在中，，则 . 8．下面有四个命题： ①若点为角的终边上一点，则； ②同时满足，的角有且只有一个； ③如果角满足，那么角是第二象限的角； ④满足条件的角的集合为. 其中真命题的序号为 . 9．若，则 . 10．某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 11．已知是第二象限角终边上的一个点，且，将OP绕原点O顺时针旋转至，则点的坐标为 . 12．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德·费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点.已知点为的费马点，角A、B及C的所对边的边长分别为a、b及c，若，且，则的值为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且 只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知，，则（   ） A． B． C． D． 15．设，．若关于的等式恒成立，则满足条件的有序实数对的对数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．在中，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）. 化简： (1)； (2)． 18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）. 已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 19．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题6分）. 已知. (1)分别求和的值； (2)求的值. 20．（本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角B； (2)若，求的值； (3)若，求b的值. 21．（本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）. 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设. (1)问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值. (2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求. (3)求面积的最大值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 三角（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知角的终边经过点，则 . 【答案】 【分析】由终边上的点和三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以由三角函数的定义可得， 故答案为：. 2．若，则 ． 【答案】 【分析】直接利用二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 3．敦煌莫高窟飞天壁画折扇的展开图如图1所示，其平面简化图如图2所示，该扇子的扇面（扇环形）可视为扇形截去扇形所剩余的部分．已知，，，则该扇子的扇面面积为 ． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式计算. 【详解】由题意得该扇子的扇面面积为. 故答案为：. 4．在中，若，且的面积为，则 ． 【答案】 【分析】代入三角形面积公式求解即可. 【详解】解：因为，且的面积为， ，解得：. 故答案为： 5．已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合两角差的正切公式，准确计算，即可求解. 【详解】由题意知：，， 可得． 故答案为：. 6．如图，点A为半径为2千米的圆形海岛的最东端，点B为最北端，在点A的正东4千米C处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在B处有一小船正以速度v（千米/小时）向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为3v（千米/小时）．为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应向西偏北 度方向行驶．（结果精确到整数） 【答案】 【分析】由题意，设经过小时，缉私艇在的延长线上拦截小船，由，求出，得到，，进而可求出结果； 【详解】为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应该在OB的延长线上与小船相遇， 设经过t小时，缉私艇在OB的延长线上拦截小船， 此时，，， 则有，解得：或（舍）， 此时，， 因此，则， 即缉私艇应向西偏北37°的方向行驶． 故答案为：37 7．在中，，则 . 【答案】或 【分析】由三角形面积公式求出，分类讨论得到，由余弦定理得出的值. 【详解】 ∴， 当时，， 由余弦定理得， 当时，， 由余弦定理得， ∴或， 故答案为：或. 8．下面有四个命题： ①若点为角的终边上一点，则； ②同时满足，的角有且只有一个； ③如果角满足，那么角是第二象限的角； ④满足条件的角的集合为. 其中真命题的序号为 . 【答案】④ 【分析】①根据正弦函数定义求正弦值判断；②注意任意角定义即可判断；③直接判断角所在象限即可；④根据正切值及任意角定义求角即可判断. 【详解】①若点为角的终边上一点，（注意参数a的符号不确定），假命题； ②同时满足，，只要终边与相同的角都满足，假命题； ③如果角满足，那么角是第三象限的角，假命题； ④满足条件的角，，真命题. 故答案为：④ 9．若，则 . 【答案】 【分析】由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可． 【详解】， 故答案为： 10．某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 【答案】 【分析】令，，在中应用余弦定理及基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得答案. 【详解】令，，且， 在中，， 当且仅当米时，取最小值，此时最大. 故答案为： 11．已知是第二象限角终边上的一个点，且，将OP绕原点O顺时针旋转至，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意正切函数的二倍角公式可得，利用三角函数定义以及两角差的正弦、余弦公式计算可得结果. 【详解】设， 由可得（舍）或， 由正切函数定义可得，解得； ，，， 可得 . 即点的坐标为. 故答案为： 12．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德·费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点.已知点为的费马点，角A、B及C的所对边的边长分别为a、b及c，若，且，则的值为 . 【答案】8 【分析】由可得，由可得，借助等面积法可得，结合面积公式计算即可得. 【详解】由， 即， 即，又，故， 即，即，故， 由，又， 故，即， 由， 则有， 即， 即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助，结合面积公式计算即可得. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且 只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】在中，，通过解不等式即可求解. 【详解】在中，，一方面，若，则，所以； 另一方面，若，取，则； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 14．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出、，再由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为， ，解得， 所以. 故选：A 15．设，．若关于的等式恒成立，则满足条件的有序实数对的对数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同求得有序实数对即可． 【详解】因为对于任意实数都有， 则函数的周期相同，， 若，此时， 因为，此时. 若，则方程, 因为，则， 综上满足条件的有序实数组为，共有2组. 故选：B. 16．在中，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理以及三角恒等变换公式将化为，再根据的范围可求得结果. 【详解】在中，，，由及正弦定理， 得 ， 由，，得，且， 则，因此，， 所以的取值范围为. 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）. 化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)0. 【分析】（1）利用诱导公式及同角公式化简即得. （2）利用诱导公式化简即得. 【详解】（1） . （2）. 18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）. 已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助诱导公式可得，再借助弦化切后计算即可得； （2）结合三角函数基本关系，将弦化切后计算即可得. 【详解】（1），即， 则； （2） . 19．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题6分）. 已知. (1)分别求和的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断，，再利用同角三角函数的平方关系可求和的值； （2）结合（1），利用两角和的余弦公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求的值 【详解】（1）因为 所以，又因为， 所以，则， 因为 所以，又因为， 所以，则， （2） 即， 可得 20．（本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角B； (2)若，求的值； (3)若，求b的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得； （2）由二倍角公式求得，后再由两角和的正弦公式可求值； （3）由正弦定理求得，再由余弦定理求得. 【详解】（1），由正弦定理得，， ， 即， ，， 又，. （2）由已知得， ， ， . （3）由正弦定理，得， 由（1）知，结合，， ，由余弦定理得，，. 21．（本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）. 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设. (1)问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值. (2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求. (3)求面积的最大值. 【答案】(1)时，四边形的面积取得最大值为 (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理得，四边形的面积为与的面积和，表示面积即可得到结果. （2）由定理得，取等号时，由余弦定理求出，即可得到. （3）由正弦定理结合辅助角公式可求得的面积最大值. 【详解】（1）在中由余弦定理得 ， 所以，， 于是四边形的面积为 ， 当，即时，四边形的面积取得最大值为. （2）因为， 且为等边三角形，，， 所以，所以， 即的最大值为，取等号时， 所以，不妨设， 则，解得， 所以，所以. （3）设，（，所以为锐角）， 在中，由正弦定理得，， ， 当，即时，的面积取得最大值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$