第6章 三角 易错训练与压轴训练（5易错+3压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第二册）

第6章 三角 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 忽略了角的旋转方向 1 易错题型二 角度制与弧度制混合使用 2 易错题型三 忽略角的范围，造成多解 2 易错题型四 忽视锐角中，角的取值范围 3 易错题型五 在中忽视的解 5 压轴题型一　给值求角 6 压轴题型二 三角型面积公式应用 6 压轴题型三　三角形边的代数和 8 02 易错题型 易错题型一 忽略了角的旋转方向　 例题1：（24-25高一上·广东佛山·期中）小明出国旅游，当地时间比北京时间晩一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（    ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高一上·全国·课后作业）若将时钟拨快30min，则分针转过的角度为 ；若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为 . 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若将钟表调慢5min，则分针转动角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 易错题型二 角度制与弧度制混合使用　 例题1：（2024高三·全国·专题练习）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 例题2：（2024高三·全国·专题练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2025高三·全国·专题练习）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 易错题型三 忽略角的范围，造成多解　 例题1：（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知为第四象限角，为其终边上的一点，且，则实数（    ） A． B．4 C． D． 例题2：（24-25高一上·天津河东·阶段练习）（1）已知 α为第二象限角，求cosα， tanα的值. （2）已知，若 求 的值. 巩固训练 1．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）若是第二象限角，为其终边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 易错题型四 忽视锐角中，角的取值范围 例题1：（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）的内角的对边分别为，已知，且． (1)若，求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 例题2：（24-25高二上·重庆·期中）在锐角中，角所对的边分别为，，，且. (1)求证：； (2)若的角平分线交于，且，求线段的长度的取值范围. 巩固训练 1．（2024·湖北·一模）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)证明：. (2)若点在边上，且，求的取值范围. 2．（23-24高一下·福建·期中）从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． (1)求角C的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； 易错题型五 在中忽视的解 例题1：（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）在△中，三个内角、、所对的边分别为、、. （1）若，，求△面积的最大值； （2）若，试判断△的形状，并说明理由. 例题2：（2024高一·全国·专题练习）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．判断的形状； 巩固训练 1.（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 03 压轴题型 压轴题型一　给值求角 例题1：（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 例题2：（24-25高三上·河北·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 压轴题型二 三角型面积公式应用 例题1：（2024·重庆·三模）若圆内接四边形满足，，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 例题2：（23-24高一下·山东青岛·期中）已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)在中，，其外接圆直径为（如图），，求和． 巩固训练 1.（2024高三·全国·专题练习）锐角中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积是1，则的取值范围是 ． 2．（23-24高一下·广西南宁·期中）已知锐角三角形的内角的对边分别为且． (1)求角的大小； (2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围． 压轴题型三　三角形边的代数和 例题1：（23-24高一下·江苏盐城·期中）锐角的角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为 . 例题2：（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)若，的面积为，D为边的中点，求的长度； (2)若E为边上一点，且，，求的最小值． 巩固训练 1．（23-24高一下·辽宁大连）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围为 ． 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，M是的中点，若，则的最大值为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 三角 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 忽略了角的旋转方向 1 易错题型二 角度制与弧度制混合使用 2 易错题型三 忽略角的范围，造成多解 4 易错题型四 忽视锐角中，角的取值范围 6 易错题型五 在中忽视的解 11 压轴题型一　给值求角 13 压轴题型二 三角型面积公式应用 16 压轴题型三　三角形边的代数和 22 02 易错题型 易错题型一 忽略了角的旋转方向　 例题1：（24-25高一上·广东佛山·期中）小明出国旅游，当地时间比北京时间晩一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧度的概念、任意角的概念 【分析】由于是晚一个小时，所以需要把表调慢，即按逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为． 【详解】由题意，小明需要把表调慢一个小时，即将表的时针逆时针旋转弧度. 故选：B. 例题2：（24-25高一上·全国·课后作业）若将时钟拨快30min，则分针转过的角度为 ；若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为 . 【答案】 【知识点】任意角的概念 【分析】根据角的定义即可按比例求解. 【详解】若将时钟拨快30min，则分针转过的角度为， 若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为. 故答案为：；. 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若将钟表调慢5min，则分针转动角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】任意角的概念 【分析】根据分针转一圈60min共求解即可. 【详解】分针转一圈60min共，将钟表的分针调慢5min，为逆时针， 则分针逆时针转过． 故选：B． 2．（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧度的概念、任意角的概念 【分析】根据任意角的概念即可求解. 【详解】将钟表的分针拨快20分钟，时针顺时针旋转， 所以时针转过的角度为. 故选：B. 易错题型二 角度制与弧度制混合使用　 例题1：（2024高三·全国·专题练习）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角度化为弧度、用弧度制表示角的集合 【分析】利用弧度制表达出，进而表达出与角的终边相同的角的集合. 【详解】因为，且角度和弧度不能在一个集合中同时使用， 故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D 例题2：（2024高三·全国·专题练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用弧度制表示角的集合、找出终边相同的角 【分析】根据角度的表示方法分析判断AB，根据终边相同的角的定义分析判断CD. 【详解】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误． 与终边相同的角可以写成的形式， 时，，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确． 故选：D． 巩固训练 1．（2025高三·全国·专题练习）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】找出终边相同的角、用弧度制表示角的集合 【分析】将化为弧度，利用终边相同的角的定义可得结果. 【详解】因为，故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D. 2．（23-24高一上·全国·课后作业）与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用弧度制表示角的集合、找出终边相同的角 【分析】根据弧度制和角度制的互化、终边相同的角的表示方法可判断出结果. 【详解】对于AB，弧度和角度属于不同度量单位，不能混用，A错误，B错误； 对于CD，换算成弧度制为，与角终边相同的角的集合为或，C错误，D正确. 故选：D. 易错题型三 忽略角的范围，造成多解　 例题1：（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知为第四象限角，为其终边上的一点，且，则实数（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据任意角三角函数的定义分析求解即可. 【详解】由题意可知：，且， 可得，解得. 故选：C. 例题2：（24-25高一上·天津河东·阶段练习）（1）已知 α为第二象限角，求cosα， tanα的值. （2）已知，若 求 的值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式进行求解； （2）由求得，求出，进而结合求出，即可得答案. 【详解】（1）因为，且， 所以， 又为第二象限角， 则，； （2）由两边平方，得， 即， ∴， ∵，∴，即， ∴， ∴. 巩固训练 1．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）若是第二象限角，为其终边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数定义相关知识求解. 【详解】因为是第二象限角，为其终边上一点， 所以，， 解得（舍去）或， 所以. 故选：B 2．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】将已知条件平方，得，从而得，再将平方，求解即可. 【详解】解：因为， 平方得：， 所以， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以. 故选：A. 易错题型四 忽视锐角中，角的取值范围 例题1：（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）的内角的对边分别为，已知，且． (1)若，求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理可得，结合已知可得，进而利用余弦定理可求得； （2）结合（1）可得，根据为锐角三角形，可得，求解即可. 【详解】（1）由，得． 因为，所以，即． ． （2）由，得， 因为为锐角三角形，所以 则，解得，即的取值范围为． 例题2：（24-25高二上·重庆·期中）在锐角中，角所对的边分别为，，，且. (1)求证：； (2)若的角平分线交于，且，求线段的长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可求得，再由角的范围可得； （2）由正弦定理可得，再由锐角三角形限定出角的范围，根据三角函数值可得的长度的取值范围. 【详解】（1）证明：由，根据正弦定理可得， 即，所以； 可得， 所以， 即，显然， 故，， 所以. （2）在中，由正弦定理可得，可得， 即，所以， 因为是锐角三角形，且，所以 解得，可得，所以， 所以线段长度的取值范围是. 巩固训练 1．（2024·湖北·一模）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)证明：. (2)若点在边上，且，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】（1）化简已知等式结合余弦定理可得，再利用两角和的正弦公式即可证明结论； （2）由已知条件结合正弦定理可得，根据锐角确定角C的范围，即可求得答案. 【详解】（1）证明：因为，所以， 整理得. 又，所以，从而， 整理得，则. 由，得， 即，结合锐角中，， 则，即. （2）如图，由，可得，则. 在中，由正弦定理得， 整理得. 因为，且是锐角三角形，所以解得， 则， 从而，即的取值范围为. 2．（23-24高一下·福建·期中）从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． (1)求角C的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； 【答案】(1)； (2)； 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）选①，由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求角，选②，由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换求角； （2）由条件，结合三角形面积公式可得，根据正弦定理可得，结合内角和关系可得，结合条件确定的范围，由此求结论； 【详解】（1）选择条件①，， 在中，由正弦定理得， 整理得， 则由余弦定理可得，，又， 所以． 选择条件②，， 于是， 在中，由正弦定理得，， 因为，则， 即， 因为，因此， 即，又， 所以． （2）由三角形面积公式可得， 的面积，又 ， 所以， 由正弦定理可得，所以， 又， 所以， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，， 所以， 所以，故， 所以 ， 所以的面积的取值范围为. 易错题型五 在中忽视的解 例题1：（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）在△中，三个内角、、所对的边分别为、、. （1）若，，求△面积的最大值； （2）若，试判断△的形状，并说明理由. 【答案】（1）；（2）等腰三角形，理由见解析 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由余弦定理可得：及基本不等式可求的范围，然后结合三角形的面积公式可求面积的最大值； （2）将代入已知等式，利用和差化积公式变形，根据与，即可确定出三角形形状． 【详解】（1），， 由余弦定理可得：，可得， ，当且仅当时取等号， 面积的最大值； （2）将代入已知等式得：， 整理得：， 当，即为直角时，满足题意，此时为直角三角形； 当时，得到，即，此时为等腰三角形， 则为等腰三角形或直角三角形． 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题． 例题2：（2024高一·全国·专题练习）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．判断的形状； 【答案】直角三角形或等腰三角形 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】 先根据题目条件和正弦定理边化角得出；再利用及两角和的正弦公式得出，进而可判断的形状. 【详解】为等腰三角形或直角三角形. 证明如下： 由及正弦定理得: ， 即， 即， 整理得:， 所以， 故或， 又因为A、B、C为的内角， 所以或， 因此为等腰三角形或直角三角形． 巩固训练 1.（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、给值求角型问题、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系可化简函数的解析式； （2）由已知条件可得出的值，结合弦化切可得出所求代数式的值； （3）首先可得、，再由两角和的正切公式求出，结合角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为. （2）因为，则， 所以，. （3）由，， 可知，， 所以. 因为、，则， 且，可得， 则，所以. 03 压轴题型 压轴题型一　给值求角 例题1：（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】二倍角的余弦公式、解正弦不等式、已知正（余）弦求余（正）弦、给值求角型问题 【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公式求得的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为所以则 所以 则， 因为，所以， 又则， 所以 故 因为所以 则. 故选：A. 例题2：（24-25高三上·河北·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】给值求角型问题、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】先根据已知求出，再根据两角和的余弦公式求出即可得解. 【详解】由，得，所以， 又， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 巩固训练 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求角型问题、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】由，可得， 又，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以. 故选：C 2．（2024高三·全国·专题练习）若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】给值求角型问题、用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由题设条件分别求出和的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得. 【详解】因则.又，则， 可得. 又则 由，可得 由 . 因则 . 故选：A. 压轴题型二 三角型面积公式应用 例题1：（2024·重庆·三模）若圆内接四边形满足，，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】由正弦定理结合圆的性质分别得到和，再利用三角形的面积公式和两角和与差的正弦展开式求解. 【详解】    设， 则，，， 在和中，由正弦定理可得；同理， 所以四边形的面积 ， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角形面积公式表示出四边形面积，再结合正弦定理求解. 例题2：（23-24高一下·山东青岛·期中）已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)在中，，其外接圆直径为（如图），，求和． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理解三角形、正余弦定理与三角函数性质的结合应用、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）化简函数，由，得到，即可求解； （2）由（1）知，可得，求得，结合，即可求解； （3）设，圆的半径为，利用正弦定理，列出方程求得的值，结合直角三角形的性质和面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为，可得，即， 又因为，可得，所以，可得. （2）解：由（1）知，可得, 因为为锐角，所以，解得， 则， 因为，可得，所以， 所以的取值范围为. （3）解：因为为圆直径，所以且 设，可得，， 设圆的半径为，在中，可得， 在中，可得， 所以，即，可得， 又因为，解得， 所以， 又由， 所以， 四边形的面积为 . 巩固训练 1.（2024高三·全国·专题练习）锐角中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积是1，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】利用正弦定理求出和的关系，求出的范围，求出的范围，根据的面积是1得到，化为：再化简即可求解. 【详解】， 由正弦定理可得：， 即， 化为：， 是锐角三角形，， 解得， ，解得 ，， ，的面积是1， ，化为： 故答案为： 2．（23-24高一下·广西南宁·期中）已知锐角三角形的内角的对边分别为且． (1)求角的大小； (2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用正弦定理，将等式中的边化为角，根据和角公式以及同角三角函数的商式公式，可得答案； （2）法1：根据锐角三角形内角的性质，可得角的取值范围，利用正弦定理，用角表示边，将三角形的面积整理为三角函数，可得答案；法2：利用内切圆的性质得到内切圆半径关于角的表达式，利用三角恒等变换，结合锐角三角形内角的性质得到解的范围，从而得解. 【详解】（1）， 由正弦定理，得， ，， 又，得，所以，即， 由，解得. （2）法1： 由题意可知，设，， ，又，， 在中，由正弦定理可得：． 即：，， ， ，， ， 所以三角形面积的取值范围为． 法2： 设内切圆半径为，由题知，D为内切圆的圆心，由面积公式，得 ，所以①， 在中，由正弦定理可得：． 即：，所以，， 代入①式，结合积化和差，和差化积公式，得 ， 由为锐角三角形，得，解得， 所以 ， ，， ， 所以三角形面积的取值范围为. 压轴题型三　三角形边的代数和 例题1：（23-24高一下·江苏盐城·期中）锐角的角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式得到，从而利用三角函数的性质与锐角三角形的特点推得的取值范围，再次利用正弦定理的边角变换转化所求为，从而得解． 【详解】因为，则， 所以， 由正弦定理得， 又，故， 因为在锐角中，，所以或， 当时，，所以，解得，符合题意； 当时，，此时，不合题意； 综上，， 又，而， 所以，则的取值范围为． 故答案为：． 例题2：（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)若，的面积为，D为边的中点，求的长度； (2)若E为边上一点，且，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角形面积公式及其应用、数量积的运算律 【分析】（1）利用三角形的面积公式、余弦定理以及向量的运算、模长公式进行求解. （2）利用向量的运算、模长公式以及基本不等式的常数代换法求解. 【详解】（1）因为，的面积为， 所以， 即，又，由余弦定理可得：， 即，得， 又∵D为边的中点，∴， 则 ， 即，∴中线的长度为． （2）∵E为边上一点，， ∴， ∴，即， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， 当且仅当，即取等号，有最小值． 巩固训练 1．（23-24高一下·辽宁大连）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理结合两角和差的正余弦公式求解可得，再根据正弦定理化简，结合三角函数值与角度范围的关系求解即可. 【详解】由正弦定理结合，得， 则，即， 故，则，故，解得. 由正弦定理，有， 故 ， 设，且，则. 又，故，且，故. 故，即， 故. 故答案为： 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，M是的中点，若，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先由得到，再结合得到，最后借助基本不等式即可求解. 【详解】 由可得，化简得，即，，又，，由余弦定理知，即，又，化简得，，又，当且仅当时取等.故，即. 故答案为：. / 学科网（北京）股份有限公司 $$