湖南省邵阳市2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题

2025 年邵阳市高一联考试题卷(数学)　 第 1　 页(共 4 页) 2025 年邵阳市高一联考试题卷 数　 学 本试卷共 4 页, 19 个小题。 满分 150 分。 考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、 班级、 考号填写在答题卡上。 将条形码横贴在 答题卡上“条码粘贴区”。 2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。 答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案; 不准使 用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答无效。 4. 保持答题卡的整洁。 考试结束后, 只交答题卡, 试题卷自行保存。 一、 选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A= x | -3<x≤2{ } , B= y | y= 2k, k∈Z{ } , 则 A∩B= A. -2, 2{ } B. -2, 0{ } C. -1, 1{ } D. -2, 0, 2{ } 2. 命题“∀x∈R, sin x≤1”的否定是 A. ∀x∈R, sin x>1 B. ∀x∉R, sin x>1 C. ∃x∈R, sin x>1 D. ∃x∉R, sin x≤1 图(一) 3. 已知函数 f x( ) 的图象如图(一)所示, 则 f x( ) 的解析式可能为 A. f x( ) = x 2x-2-x B. f x( ) = x 3 2 x C. f x( ) = x 2x D. f x( ) =x·2 x 4. 用弧度制表示与 2025°角的终边相同的角的集合为 A. α α= π 4 +2kπ, k∈Z{ } B. α α= 3π4 +2kπ, k∈Z{ } C. α α= - π 4 +2kπ, k∈Z{ } D. α α= -3π4 +2kπ, k∈Z{ } 5. 已知 a, b∈R, “a2 <b2”是“2a<2b”的 A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2025 年邵阳市高一联考试题卷(数学)　 第 2　 页(共 4 页) 6. 若对于任意实数 x, 不等式cos4x-t cos2x+3>0 恒成立, 则实数 t 的取值范围是 A. -∞ , 4( ) B. 4, +∞( ) C. -∞ , -4( ) D. -4, +∞( ) 7. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化: 如果物体的初始温度是 T0, 则经过 一定时间 t 分钟后的温度 T 满足 T-Ta = T0 -Ta( ) 1 2( ) t h , 其中 h 是常数, 环境温度 是 Ta . 若 Ta = 35 ℃ , 现有一杯 90 ℃ 的热水降至 85 ℃ 大约用时 1 分钟, 那么水温 从 85 ℃降至 55 ℃ , 大约还需要(参考数据: lg2≈0. 30, lg11≈1. 04) A. 11 分钟 B. 10 分钟 C. 9 分钟 D. 8 分钟 8. 已知函数 f(x+1)的图象关于直线 x= -1 对称, ∀x1, x2 ∈ 0, +∞[ ) , 当 x1 ≠x2 时, 都有 (f(x1)-f(x2))(x1 -x2)>0. 设 a= f log2 1 3( ) , b= f log3 1 4( ) , c= f log4 1 5( ) , 则 a, b, c 的 大小关系是 A. c<b<a B. c<a<b C. b<c<a D. a<b<c 二、 选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 下列结论不 ∙ 正确的是 A. 若幂函数 f x( ) 的图象经过点 1 3 , 3( ) , 则 f(x)= x-3 B. 函数 f(x)= loga(x+2) +2(a>0 且 a≠1)的图象必过定点( -1, 2) C. 函数 f(x)= log 1 3 (2x-x2)的单调递增区间是 1, +∞( ) D. 函数 y= tan 3x+ π 3( ) 的最小正周期是 π 3 10. 下列选项正确的是 A. 若sin θ+cos θ sin θ-cos θ = 3, 则 tan θ= 2 B. 若 sin θ= 5 5 , sin φ= 10 10 , 且 π 2 <θ<π, π 2 <φ<π, 则 θ+φ= 7 4 π C. cos π 9 cos 2π 9 cos 4π 9 = 1 4 D. (1+tan 13°)(1+tan 32°)= 2 11. 已知函数 f(x)= 24ax2 +4x-1, a∈R, 则下列说法正确的是 A. 若 f(x)在区间 -1, 1( ) 内恰有一个零点, 则- 1 8 <a< 5 24 B. 若 f(x)在区间 -1, 1( ) 内恰有一个零点, 则- 1 8 ≤a≤ 5 24 或 a= - 1 6 C. 若 f(x)在区间 -1, 1( ) 内有零点, 则 a>- 1 6 D. 若 f(x)在区间 -1, 1( ) 内有零点, 则 a≥- 1 6 2025 年邵阳市高一联考试题卷(数学)　 第 3　 页(共 4 页) 三、 填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知- π 2 <α< π 3 , π 2 <β<2π 3 , 则 α+2β 的取值范围为　 　 　 　 　 　 . 13. 求值: cos 40°(1- 3 tan 170°)= 　 　 　 　 . 14. 已知 f(x)= ax+2x, x≤1, x2-(a-3)x+b, x>1,{ 若存在实数 a a>0( 且a≠1) , ∀x1, x2 ∈R,当 x1≠x2 时, 都有 f(x2) -f(x1) x2 -x1 >2, 则实数 b 的取值范围为　 　 　 　 　 　 　 　 . 四、 解答题: 本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. (13 分)化简求值: (1) 2 7 9( ) - 12 +4 8 ·2 1 4 - (π-4) 2 ; (2)已知 x log34+log312 = 3, 求 4x+4 -x . 16. (15 分)某药物研究所发现, 病人在服用某种药物 100 mg 后, 血液中药物的含量 y(单位: 100 mg)在 0 ~ 6 小时内随时间 x(单位: h) 的变化曲线如图 ( 二) 所示. 当 0≤x<1 时, 可选择用函数 y = 1 2 - 1 2 cos πx 来近似地刻画 y 随 x 变化的规律; 图(二) 当 1≤x≤6 时, 可选择用函数 y = 4 5( ) x-a (a 为常数) 来近似地刻画 y 随 x 变化的规律. (1)当 0≤x≤6 时, 求这段曲线的函数解析式; (2)如果该药物在病人血液中的含量保持在 50 mg 以上时才有疗效, 问病人一次性服用该药物 100 mg, 持续有疗效时长约为多少小时? (参考数据: lg2≈0. 30) 17. (15 分)已知函数 f x( ) = sin ωx+φ( ) ω>0, φ < π 2( ) 的最小正周期是 π, 将 f x( ) 的图象 向右平移 π 3 个单位后得到的图象关于原点对称. (1)求函数 f x( ) 的图象的对称中心的坐标和对称轴的方程; (2)若 x1, x2∈ π 6 , π 2( ) , 且 f x1( ) = f x2( ) , 求 f x1 +x2( ) 的值. 2025 年邵阳市高一联考试题卷(数学)　 第 4　 页(共 4 页) 18. (17 分)已知函数 f(x)= a- 2 4x+1 是定义在 R 上的奇函数. (1)求实数 a 的值; (2)判断 f(x)在 R 上的单调性, 并证明你的结论; (3)若存在区间 m, n[ ] , 使得函数 y = f( x) + t 在 m, n[ ] 上的值域为 4m, 4n[ ] , 求 实数 t 的取值范围. 19. (17 分)阅读材料: 某中学的数学小组在探究函数的性质时, 发现函数 g(x) = ex 和 φ(x) = x , 它们 虽然都是增函数, 但是图象却有很大的差异. 通过观察图象和阅读数学文献, 该小组 了解到了函数的凹凸性的概念: 设连续函数 f x( ) 的定义域为区间 I, 如果∀x1, x2∈I, 都有 f x1 +x2 2( ) ≤ f x1( ) +f x2( ) 2 , 则称 f x( ) 为区间 I 上的凹函数; 如果∀x1, x2∈I, 都有 f x1 +x2 2( ) ≥ f x1( ) +f x2( ) 2 , 则称 f x( ) 为区间 I 上的凸函数. 对于函数的凹凸性, 通过查阅资料, 小组成员又了解到了琴生不等式(Jensen 不等式): 若 f x( ) 是 区 间 I 上 的 凹 函 数, 则 ∀x1, x2, …, xn ∈ I 有 不 等 式 f x1+x2+…+xn n( ) ≤ f x1( ) +f x2( ) +…+f xn( ) n 恒成立(当且仅当 x1 =x2 =…=xn 时, 等号成立); 若 f x( ) 是 区 间 I 上 的 凸 函 数, 则 ∀x1, x2, …, xn∈I 有 不 等 式 f x1+x2+…+xn n( ) ≥ f(x1)+f(x2)+…+f(xn) n 恒成立(当且仅当 x1 =x2 =…=xn 时, 等号成立). 小组成员询问老师, 得到了如下评注: 在运用琴生不等式求含有多个变量的式子的最值问题时, 关键是构造函数. 解决下面问题: (1)已知 A, B, C 分别为△ABC 的三个内角, 直接写出 sin A+sin B+sin C 的最大值 (不用写出解题过程); (2)判断二次函数 f x( ) =ax2 +x 在 R 上的凹凸性, 并说明理由; (3)若 a1, a2, …, an(n∈N∗, n≥2)是一组实数, 且 a1 +a2 +…+an = k( k 为定值), 试求 a1(a1 +1) +a2(a2 +1) +…+an(an+1)的最小值. 2025 年邵阳市高一联考试题参考答案与评分标准(数学) 　 第 1　 页(共 6 页) 2025 年邵阳市高一联考试题参考答案与评分标准 数　 学 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B D D A B A 3. B　 【解析】由 f( x)的图象关于原点对称, f( x)为奇函数,排除 A,C. y = x·2 | x | 在区间 (0,+∞ )上单调递增,排除 D. 故选 B. 4. D　 【解析】2025°用弧度制可表示为 12π-3π 4 ,故选 D. 6. A　 【解析】令cos2x= k,则 0≤k≤1. 依题意得:k2 -tk+3>0,对 0≤k≤1 恒成立. 显然 k = 0 时,3>0 恒成立. 0<k≤1 时,t< k+ 3 k( ) min . 而 f(k)= k+ 3 k 在(0,1]上单调递减,∴ k = 1 时, k+ 3 k( ) min = 4,∴ t<4. 故选 A. 7. B　 【解析】由题意知 Ta = 35 ℃,因为一杯 90 ℃的热水降至 85 ℃大约用时 1 分钟, ∴ 85-35 =(90-35) 1 2( ) 1 h ,即 1 2( ) 1 h = 10 11 ; 设水温从 85 ℃降至 55 ℃,需要的时间为 t 分钟, ∴ 55-35 = 85-35( ) 1 2( ) t h ,即 1 2( ) t h = 20 50 = 2 5 , ∴ 1 2( ) t h = 1 2( ) 1 hé ë êê ù û úú t = 10 11( ) t = 2 5 , ∴ t= log10 11 2 5 = lg 2 5 lg 10 11 = 2lg2-1 1-lg11 ≈2 ×0. 3-1 1-1. 04 = 10, ∴ 水温从 85 ℃降至 55 ℃,大约还需要 10 分钟. 故选 B. 8. A　 【解析】由题意可知,当 x1 >x2≥0 时,有 f x1( ) >f x2( ) ,则函数 f x( ) 在 0,+∞[ ) 上单调递 增. 又函数 f(x+1)的图象关于直线 x = -1 对称,故函数 f x( ) 是定义在 R 上的偶函数,则 a= f( log2 1 3 )= f( log23),b= f( log3 1 4 )= f( log34),c= f( log4 1 5 )= f( log45) . 由于函数 f x( ) 在 0,+∞[ ) 单调递增,即比较log23,log34,log45 三个数的大小. 2025 年邵阳市高一联考试题参考答案与评分标准(数学) 　 第 2　 页(共 6 页) log23 = log2(2× 3 2 )= log22+log2 3 2 = 1+log2 3 2 ,log34 = 1+log3 4 3 ,log45 = 1+log4 5 4 ,注意到 3 2 > 4 3 > 5 4 ,∴ log2 3 2 >log2 4 3 >log3 4 3 ,∴ log23>log34. 同理可得出log34>log45. 即log23>log34>log45. ∴ f( log23)>f( log34)>f( log45),即 c<b<a. 二、选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求的.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分. 题号 9 10 11 答案 AC ABD BD 9. AC　 【解析】对 A 选项,设 f(x)= xn,则 f 1 3( ) = 1 3( ) n = 3,得 n = -1. ∴ f(x)= x-1,故 A 错; 对 B 选项,f(-1)= loga(-1+2)+2 = 2,故 B 正确;对 C 选项,2x-x2 >0,则 0<x<2,故 C 错; 对 D 选项,y= tan(3x+ π 3 )的周期为 T= π 3 ,故 D 正确. 10. ABD　 【解析】利用三角恒等变换进行计算即可. 对选项 A,sin θ+cos θ sin θ-cos θ 分子分母同除以 cos θ 得tan θ+1 tan θ-1 = 3,即 tan θ= 2,故 A 正确; 对选项 B,∵ π 2 <θ<π,π 2 <φ<π,∴ cos θ= -2 5 5 ,cos φ= -3 10 10 , ∴ cos(θ+φ)= cos θcos φ-sin θsin φ= -2 5 5 ×(-3 10 10 )- 5 5 × 10 10 = 2 2 . ∵ π 2 <θ<π,π 2 <φ<π,∴ π<θ+φ<2π,∴ θ+φ= 7 4 π. 故 B 正确; 对选项 C,cos π 9 cos 2π 9 cos 4π 9 = 23sin π 9 cos π 9 cos 2π 9 cos 4π 9 23sin π 9 = 22sin 2π 9 cos 2π 9 cos 4π 9 23sin π 9 = 2sin 4π 9 cos 4π 9 23sin π 9 = sin 8π 9 23sin π 9 = sin π 9 23sin π 9 = 1 8 ,故 C 错; 对选项 D,(1+tan 13°)(1+tan 32°)= 1+tan 13°+tan 32°+tan 13°tan 32° = 1+tan(13°+32°)(1-tan 13°tan 32°)+tan 13°tan 32° = 2, 故 D 正确. 11. BD　 【解析】对 A 选项,B 选项,24ax2 +4x-1 = 0 在 -1,1( ) 内恰有一个解. 当 x= 0 时,显然不是 24ax2 +4x-1 = 0 的解, 当 x∈(-1,0)∪(0,1)时,可化为 24a= 1 -4x x2 ⇒y= 24a 与 y= 1 -4x x2 ,x∈(-1,0)∪(0,1)恰 2025 年邵阳市高一联考试题参考答案与评分标准(数学) 　 第 3　 页(共 6 页) 有一个交点. 设 t = 1 x , t∈( - ∞ ,- 1) ∪(1,+ ∞ ), y = 24a 与 y= t2 -4t 恰有一个交点,由图知, -3≤24a≤5 或 24a= -4, ∴ - 1 8 ≤a≤ 5 24 或 a= - 1 6 ,故 B 正确,A 错; 对 C 选项,D 选项,f(x)在(-1,1)有零点 ⇒24ax2 +4x-1 = 0 在 -1,1( ) 内有解. 易得:24a≥-4,a≥- 1 6 ,故 D 正确,C 错. 三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. π 2 ,5π 3( ) 13. 1　 【解析】cos 40°(1- 3 tan 170°)= cos 40°(1+ 3 tan 10°) = cos 40°·cos 10°+ 3 sin 10° cos 10° = 2cos 40°sin(30°+10°) cos 10° = sin 80° cos 10° = cos 10° cos 10° = 1. 14. b>0　 【解析】由 f(x2)-f(x1) x2 -x1 >2,得 f(x2)-2x2 >f(x1)-2x1(假设 x2 >x1), 设 g(x)= f(x)-2x= ax,x≤1, x2 -(a-1)x+b,x>1,{ 由题意得存在 a 使 g(x)在 R 上为增函数, 故 a>1, a-1 2 ≤1, a≤1-(a-1)+b, ì î í ï ï ï ï ⇒b≥(2a-2)min >0,∴ b>0. 注:12,14 题答案写成区间形式、不等式形式、集合形式都对. 四、解答题:本大题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分)(1)原式= 25 9( ) 1 2é ë êê ù û úú -1 +2 3 4 ·2 1 4 -(4-π) = 5 3( ) -1 +2 3 4 + 1 4 -4+π = 3 5 +2-4+π = π- 7 5 . 6 分……………………………………………………………… 2025 年邵阳市高一联考试题参考答案与评分标准(数学) 　 第 4　 页(共 6 页) (2)由题意得:xlog34+log34+1 = 3,∴ (x+1)log34 = 2. 故 4x +1 = 9. ∴ 4x = 9 4 ,即 4x+4-x = 97 36 . 13 分……………………………………………………………… 16. (15 分)解:(1)由题意知,当 1≤x≤6 时,函数 y= 4 5( ) x-a 过点(1,1),代入得 a= 1. 所求曲线的函数解析式为 y= 1 2 - 1 2 cos πx,0≤x<1, 4 5( ) x-1 ,1≤x≤6. ì î í ï ï ï ï 5 分………………………………… (2)当 0≤x<1 时,令 1 2 - 1 2 cos πx= 1 2 ,解得 x1 = 1 2 . 8 分………………………………… 当 1≤x≤6 时,令 4 5( ) x-1 = 1 2 ,两边同时取常用对数得:(x-1)lg 4 5 = lg 1 2 , ∴ x-1 = -lg2 lg 8 10 = lg2 1-3lg2 . 　 解得 x2 = 1+ lg2 1-3lg2 . 12 分………………………………………… ∴ | x2 -x1 | = 1+ lg2 1-3lg2 - 1 2 = 1 2 + lg2 1-3lg2 ≈0. 5+ 0. 30 1-3×0. 30 = 3. 50. 14 分…………………… 故病人一次性服用药物 100 mg,持续有疗效时长约为 3. 50 小时. 15 分………………… 17. (15 分)解:(1)∵ 函数 f x( ) = sin ωx+φ( ) ω>0, φ < π 2( ) 的最小正周期是 π, ∴ ω= 2π π = 2,则 f x( ) = sin 2x+φ( ) . 2 分……………………………………………………… 将 f x( ) 的图象向右平移 π 3 个单位后得到的图象所对应的函数为 y= sin 2x+φ-2π 3( ) , ∵ y= sin 2x+φ-2π 3( ) 为奇函数,∴ φ- 2π 3 = kπ k∈Z( ) ,即 φ= 2π 3 +kπ k∈Z( ) . ∵ φ < π 2 ,∴ k= -1,φ= - π 3 ,∴ f x( ) = sin 2x- π 3( ) . 4 分…………………………………… 令 2x- π 3 = π 2 +kπ,则 x= 5π 12 +kπ 2 ,k∈Z; 5 分………………………………………………… 又令 2x- π 3 = kπ,则 x= π 6 +kπ 2 ,k∈Z. 6 分………………………………………………… ∴ y= f(x)的图象的对称中心的坐标为 π 6 +kπ 2 ,0( ) ,k∈Z, 对称轴的方程为 x= 5π 12 +kπ 2 ,k∈Z. 8 分…………………………………………………… 2025 年邵阳市高一联考试题参考答案与评分标准(数学) 　 第 5　 页(共 6 页) (2)若 x∈ π 6 , π 2( ) ,则 t= 2x- π 3 ∈ 0,2π 3( ) , 9 分…………………………………………… 而 y= sin t 在 0, π 2( ) 上递增,在 π 2 ,2π 3( ) 上递减, 若 x1,x2∈ π 6 , π 2( ) 且 f x1( ) = f x2( ) ,则 2x1 - π 3 +2x2 - π 3 = π, 12 分………………………… 可得 x1 +x2 = 5π 6 . ∴ f x1 +x2( ) = f 5π 6( ) = sin 2× 5π 6 - π 3( ) = -sin π 3 = - 3 2 . 15 分…………… 18. (17 分)解:(1)∵ f(x)= a- 2 4x+1 是定义在 R 上的奇函数,∴ f(0)= a- 2 40 +1 = 0,解得 a= 1. 经检验 a= 1 时,f(x)= 1- 2 4x+1 是奇函数. ∴ a= 1. 4 分…………………………………… (2) f(x)= 1- 2 4x+1 在 R 上单调递增. 5 分…………………………………………………… 证明如下:任取 x1 <x2,f(x1)= 1- 2 4x1 +1 ,f(x2)= 1- 2 4x2 +1 , f(x1)-f(x2)= 2 4x2 +1 - 2 4x1 +1 = 2(4 x1 -4x2) (4x2 +1)(4x1 +1) . 6 分………………………………………… 由 x1 <x2 得 0<4 x1 <4x2,4x2 +1>0,4x1 +1>0,4x1 -4x2 <0, ∴ f(x1) -f(x2) <0,得 f(x1) <f(x2), ∴ f(x)在 R 上单调递增. 8 分……………………………………………………………… (3)由(2)的结论易知 y= f(x) +t 在[m,n]上单调递增. ∴ 1- 2 4m+1 +t= 4m, 1- 2 4n+1 +t= 4n, ì î í ï ïï ï ï 13 分……………………………………………………………………… 即关于 x 的方程 1- 2 4x+1 +t= 4x 有两个不等实根 m,n(m<n) . 15 分……………………… 令 4x+1 = k>1,则关于 k 的方程 t = 2 k +k-2 有两个大 于 1 的不等实根, 故函数 y= t 与 y= 2 k +k-2(k>1)的图象有两个不同交 点,由图可知 2 2 -2<t<1 为所求. 17 分…………………………………………………… 2025 年邵阳市高一联考试题参考答案与评分标准(数学) 　 第 6　 页(共 6 页) 19. (17 分)(1)3 3 2 ; 4 分………………………………………………………………………… (2)当 a>0 时,y=ax2 +x 为凹函数;当 a<0 时,y=ax2 +x 为凸函数. 理由:任取 x1,x2∈R,f x1 +x2 2( ) - f(x1) +f(x2) 2 =a x1 +x2 2( ) 2 + x1 +x2 2 - ax21 +x1 +ax22 +x2 2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 = -a x1 -x2( ) 2 4 . 6 分…………………………………………………… 当 a>0 时,f x1 +x2 2( ) - f(x1) +f(x2) 2 ≤0,由条件得,f(x)为凹函数; 8 分…………………… 当 a<0 时,f x1 +x2 2( ) - f(x1) +f(x2) 2 ≥0,由条件得,f(x)为凸函数; 9 分…………………… (3)由(2)知,y= f(x)为 R 上的凹函数, 11 分……………………………………………… 则有: a1 a1 +1( ) +a2 a2 +1( ) +…+an an+1( ) =n· a1 a1 +1( ) +a2 a2 +1( ) +…+an an+1( ) n é ë ê ê ù û ú ú 12 分…… =n· f(a1) +f(a2) +…f(an) n ≥n·f a1 +a2 +…+an n( ) =n·f k n( ) = k2 n +k, 当且仅当 a1 =a2 = … =an = k n 时,等号成立. 15 分………………………………………… 故 a1 a1 +1( ) +a2 a2 +1( ) +…+an an+1( ) 的最小值为 k2 n +k. 17 分…………………………… 注:解答题其它解法酌情给分.