湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

高二数学试卷参考答案与评分细则 第1 页(共7页) 武汉市部分重点中学2024—2025学年度上学期期末联考 高二数学试卷参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B C D B C A BCD ACD ABD 1.【答案】C 【解析】由抛物线的方程可知,2p=4,则焦点到准线的距离d=p=2. 2.【答案】D 【解析】由a2+a4+a6+a8+a10=150得,5a6=150,即a6=30,所以a1+a11=2a6=60. 3.【答案】B 【解析】由双曲线x2-y 2 3=1 得a=1,c=2,因为|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,所以 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=8①,由双曲线的定义得:|PF1|-|PF2|=2a=2②, 由①②得|PF1|=5,|PF2|=3,|F1F2|=4,所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即PF2⊥F1F2,故 S△PF1F2= 1 2×3×4=6. 4.【答案】C 【解析】由题意得Tn=a1·a2·...·an=a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=a1n·q1+2+.…+n-1=a1n· q n2-n 2 ,因为a1= 1 256 ,q=2,所以Tn=(1256) n ·2 n2-n 2 =2 1 2n 2-172n,函数y= 1 2n 2-172n 的开口向上,对称 轴为n=172 ,因为n∈N*,所以n=8或n=9时,y= 1 2n 2-172n 取最小值,即Tn 取最小值. 5.【答案】D 【解析】由|PA|+|PB|=4=|AB|,结合椭圆定义,显然P 轨迹不是椭圆,A错;设P(x,y),则由| PA|-2|PB|=0得(x-103 ) 2 +y2= 64 9 ,所以点P 的轨迹为圆,B错;由|PA|-|PB|=4=|AB|,则 点P 的轨迹为以A,B 为端点的射线,C错;由|PA|-|PB|=2<|AB|,根据双曲线定义,则点P 的 轨迹为双曲线的右支,D正确. 6.【答案】B 【解析】由Sn Tn= 2n+1 3n-1 ,设Sn=n(2n+1)k,Tn=n(3n-1)k,则a7=S7-S6=105k-78k=27k,b5= T5-T4=70k-44k=26k,则 a7 b5= 27k 26k= 27 26. 高二数学试卷参考答案与评分细则 第2 页(共7页) 7.【答案】C 【解析】连接PI并延长,交x 轴于点Q,则 S△PF1F2 S△IF1F2 =PQIQ= PI+IQ IQ = PI IQ+1= 1 e+1=λ ,由2<λ≤3 得,e∈[12,1). 8.【答案】A 【解析】由题可知,直线AB 的斜率k为 33 ,设AF1→=λF1B→,则椭圆的离心率e= 1+ 1 k2| λ-1 λ+1|= 1 3 , 所以a=3,c=1,即焦点坐标为(0,±1),所以抛物线方程为x2=4y,故x2=4y在点(xn,yn)处的切线 方程为xnx=2y+2yn,令y=0,xn+1= 2yn xn = 2× xn2 4 xn = xn 2 ,因为x1=2,所以{xn}是首项2,公比 1 2 的 等比数列,即x2025=2×(12) 2024 =(12) 2023 . 9.【答案】BCD 【解析】由抛物线的方程可知,2p=4,即p=2,x1·x2=p 2 4=1 ,A错误;y1·y2=-p2=-4,B正确;| AB|=2psin2θ= 16 3 ,C正确; 1|AF|+ 1 |BF|= 2 p=1 ,D正确. 10.【答案】ACD 【解析】由a2023 a2024<-1 得a2024(a2023+a2024)<0,则 a2024<0 a2023+a2024>0 或 a2024>0 a2023+a2024<0 ,即 a2023>0 a2024<0 或 a2023<0 a2024>0 ,因为Sn 有最大值,所以 a2023>0 a2024<0 ,A正确;因为S4046=2023(a2023+a2024)>0,S4047= 4047a2024<0,B错误;根据等差数列前n项和的函数性质,Sn 先增大后减小,因为Sn 的图象过原点, S1>0且S4046>0,S4046<s1<S4045,所以C正确;当1≤n≤4046时,Sn>0,又因为a1>a2>…> a2023>0>a2024>a2025>…>a4046,当2024≤n≤4046时, Sn an<0 ,当1≤n≤2023时, Sn an>0 ,因为0< 1 a1< 1 a2< …< 1a2023 且0<S1<S2<…<S2023,所以 S1 a1< S2 a2< …< S2023 a2023 ,D正确. 11.【答案】ABD 【解析】设a=2,b=1,将a=2,b=1代入双曲线方程得:a=2,b=1 ①,a=2,b=1 ②,①-②得:a= 2,b=1,即a=2,b=1,由题可知,a=2,b=1,所以a=2,b=1,又因为a=2,b=1是a=2,b=1中 点,所以a=2,b=1,即a=2,b=1,所以a=2,b=1,B 正确;由题得a=2,b=1,所以双曲线方程为 C:x 2 4-y 2=1,A 正确;圆 M 的圆心为M(0,2),半径为r,设切线方程为y=k(x-2),则 高二数学试卷参考答案与评分细则 第3 页(共7页) |-2-2k| k2+1 =r,即(4-r2)k2+8k+4-r2=0,则k1,k2 是上述方程的两根,根据韦达定理可得 k1·k2=1,C 错误;由k1= y1 x1-2 ,则k1= y1 x1-2 ,k2= y2 x2-2 ,设k1·kOP= 1 4 的中点为k1·kOP= 1 4 , 由(1)可得:k1·kOP= 1 4 ,即:k1·kOP= 1 4 ,k2·kOQ= 1 4 因为kOP= y1 x1+2 ,kOQ= y2 x2+2 ,所以k1= 1 4 ·x1+2 y1 ③ ,k2= 1 4 ·x2+2 y2 ④ ,因为k1k2=1,将③④分别代入,则: 1 4 ·x1+2 y1 · y2 x2-2=1 ,即 x1y2+2y2=4(y1x2-2y1)⑤, 1 4 ·x2+2 y2 · y1 x1-2=1 ,即x2y1+2y1=4(y2x1-2y2)⑥,⑤-⑥得: y2 5x2-6= y1 5x1-6 ,所以直线BD 过定点(65,0). 12.【答案】6 【解析】等比数列{an}的各项均为正数,所以a5·a6·a7·a8=(a6·a7)2=e2,即a6·a7=e,所以 lna1+lna2+…+lna12=ln(a1a2…a12)=ln(a6a7)6=lne6=6. 13.【答案】an=2n-1 【解析】因为an+1=2an+1(n∈N*),所以an+1+1=2(an+1),又因为a1=1,所以a1+1=2≠0,所以 数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an+1=2n,即an=2n-1. 14.【答案】[12,1) 【解析】将P 的纵坐标b 2 c 代入椭圆C:x 2 a2+ y2 b2=1 的方程,则P(-ac c2-b2,b 2 c),所以F1P→= (-ac c2-b2+c,b 2 c),F2P→=(-ac c2-b2-c,b 2 c),即F1P→·F2P→=a 2 c2 (c2-b2)-c2+b 4 c2 ,F1P→· F2P→=- a2b2 c2 +a 2-c2+b 4 c2=- a2b2 c2 +b 2+b 4 c2=- b4 c2+ b4 c2=0 ,所以F1P→⊥F2P→,因为e= c a= |F1F2| |PF1|+|PF2|= |PF1|2+|PF2|2 |PF1|+|PF2| = 1- 2|PF1|·|PF2| |PF1|2+|PF2|2 = 1- 2|PF1| |PF2|+ |PF2| |PF1|+2 , 令 |PF1| |PF2|=t (0<t<1),则 1- 2 t+1t+2 ∈(22,53],所以1- 2t+1t+2 ∈(12,59], 2t+1t+2 ∈[49, 1 2),即t+1t+2∈(4,92],所以t+1t∈(2,52],故t∈[12,1). 15.解:(1)∵2Sn=an2+an, 当n=1时,2S1=a12+a1,得a1=1或a1=0(舍), (1分)……………………………………………… 当n≥2时,2Sn-1=an-12+an-1, 高二数学试卷参考答案与评分细则 第4 页(共7页) ∴2an=2Sn-2Sn-1=an2+an-an-12-an-1,即an+an-1=(an+an-1)(an-an-1), (3分)……… ∵数列{an}的各项均为正数,即an+an-1>0, (4分)…………………………………………………… ∴an-an-1=1(n≥2),即数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列, ∴an=n. (6分)…………………………………………………………………………………………… (2)∵bn= an 3n= n 3n , ∴Tn= 1 3+ 2 32+ 3 33+ …+n3n① , 1 3Tn= 1 32+ 2 33+ 3 34+ …+ n3n+1② , ①-②得:23Tn= 1 3+ 1 32+ 1 33+ 1 34+ …+13n- n 3n+1= 1 3 (1-13n ) 1-13 - n3n+1= 1 2 (1-13n )- n3n+1 , ∴Tn= 3 4- 2n+3 4×3n. (13分)……………………………………………………………………………… 16.解:(1)由题得 a=1 c a=2 a2+b2=c2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得 a=1 b=1 c=2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 , ∴双曲线C 的标准方程为C:x2-y2=1. (4分)………………………………………………………… (2)由题可知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-1, 联立双曲线的方程 x2-y2=1 y=kx-1 ,得(1-k2)x2+2kx-2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=- 2k 1-k2 ,x1·x2=- 2 1-k2 , ( 6分)………………………… ∵直线l交双曲线左支于A,B 两点, ∴ 1-k2≠0 Δ=4k2-4(1-k2)·(-2)>0 x1+x2<0 x1·x2>0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得-2<k<-1, (9分)……………………………………… ∵S△AOB= 1 2|OP| ·|x1-x2|= 1 2 (x1+x2)2-4x1x2=2, ∴(x1+x2)2-4x1x2=8即(- 2k1-k2) 2 -4(- 21-k2)=8, 高二数学试卷参考答案与评分细则 第5 页(共7页) 解得k=0或k=± 62 , (13分)…………………………………………………………………………… ∵-2<k<-1, ∴k=- 62 时,S△AOB=2. (15分)……………………………………………………………………… 17.解:(1)∵Sn=2an-2①, 当n=1时,S1=2a1-2,即a1=2, (1分)……………………………………………………………… 当n≥2时,Sn-1=2an-1-2②, ①-②得:an=2an-2an-1,即an=2an-1,所以 an an-1=2 , (4分)………………………………………… ∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n, (6分)……………………………………… (2)由an=2n,可得an+1,Sn=2(2n-1), (8分)………………………………………………………… bn= an+1 SnSn+1= 2n+1 4(2n-1)(2n+1-1)= 2n-1 (2n-1)(2n+1-1)= 1 2(12n-1- 12n+1-1), (10分)……………… 故Tn = 1 2(121-1- 122-1)+ 1 2(122-1- 123-1)+…+ 1 2(12n-1- 12n+1-1) =12[121-1- 122-1]+( 1 22-1- 1 23-1)+…+( 1 2n-1- 1 2n+1-1)] =12[121-1- 12n+1-1]= 1 2[1- 12n+1-1]. (13分)……………………………………………… 由于Tn 单调递增,可得T1≤Tn< 1 2 ,即1 3≤Tn< 1 2 , 则存在常数t,使Tn<t对n∈N*恒成立, 所以t≥12 ,即t的最小值为12. (15分)………………………………………………………………… 18.解:(1)设点Q(x,y),由题得 x2+(y-14) 2 =|y+12|-14, 将上式两边同时平方,得x2+(y-14) 2 =(|y+12|-14) 2 , 化简得:x2=32y+ 1 4- 1 2|y+ 1 2| , 当y≥- 1 2 时,x2=32y+ 1 4- 1 2y- 1 4=y , 当y<- 1 2 时,x2=32y+ 1 4+ 1 2y+ 1 4=2y+ 1 2<- 1 2 ,此时轨迹不存在, 综上:点Q 的轨迹方程为x2=y. (4分)………………………………………………………………… 高二数学试卷参考答案与评分细则 第6 页(共7页) (2)①由PC→=12PA →,PD→=12PB →,可知C,D 分别为PA,PB 的中点,且AB∥CD 所以直线AB 和直线CD 的斜率相等,即kAB=kCD, 设A(x1,x21),B(x2,x22),C(x3,x23),D(x4,x24), 则点M 的横坐标xM= x1+x2 2 ,点N 的横坐标xN= x3+x4 2 , 由kAB=kCD,得 x22-x21 x2-x1= x24-x23 x4-x3 , 因式分解得 (x2-x1)(x2+x1) x2-x1 = (x4-x3)(x4+x3) x4-x3 ,约分得x2+x1=x4+x3, 所以 x1+x2 2 = x3+x4 2 ,即xM=xN,所以MN⊥x轴. (7分)…………………………………………… 设P(x0,y0), 因为C,D 分别为PA,PB 的中点 由x3= x0+x1 2 ,y3= y0+x21 2 ,所以y0+x 2 1 2 =( x0+x1 2 ) 2 , 整理得x21-2x0x1+2y0-x20=0,同理得x22-2x0x2+2y0-x20=0, 所以x1,x2是方程x2-2x0x+2y0-x20=0的两个根, Δ=4x20-4(2y0-x20)=8(x20-y0)>0,得x2+x2=2x0,x1x2=2y0-x20, 有x0= x1+x2 2 =xM ,得PM⊥x轴, 所以M,N,P 三点共线. (11分)………………………………………………………………………… (2)②因为点P(x0,y0)为半椭圆y 2 2+x 2=1(y<0)上的动点,则 y20 2+x 2 0=1,且-2≤y0<0, 又M(x1+x22 ,x 2 1+x22 2 ), 所以|PM|= x21+x22 2 -y0= (x1+x2)2-2x1x2 2 -y0= 4x20-4y0+2x20 2 -y0=3 (x20-y0), 因为|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2= 4x20-8y0+4x20=22· x20-y0, 所以S四边形ABCD= 3 4S△PAB= 3 4× 1 2 ·|PM|·|x1-x2|, =34×3 (x20-y0)×22· x20-y0= 92 4 (x20-y0) 3 =924 ( -y 2 0 2-y0+1) 3 , 其中-2≤y0<0, 当y0=-1时,- y20 2-y0+1 取得最大值3 2 , 所以四边形ABDC 面积的最大值为2738 . (17分)……………………………………………………… 高二数学试卷参考答案与评分细则 第7 页(共7页) 19.解:(1)由题意知,数列{an}为2,4,8,16,32. 因为a5·a5=32×32>32和 a5 a5=1 均不是{an}中的项, 所以数列{an}不是“乘或除封闭数列”. (4分)…………………………………………………………… (2)由数列递增可知a1<3<a3<27<a5,则a25 不是{an}中的项, 所以 a5 a5=1 是{an}中的项,所以a1=1. 因为a5·ai>a5(1<i<5,i∈N*),所以 a5 27 ,a5 a3 ,a5 3 都是{an}中的项, 所以 a5 27=3 ,得a5=81, 由 a5 a3=a3 ,得a3=9, 所以a1=81,a3=9,a5=81. (9分)……………………………………………………………………… (3)因为数列{an}单调递增,且am>1,则a2m 不是{an}中的项, 所以 am am=1 是{am}中的项,所以a1=1. 因为amai(1<i≤m,i∈N*)不是{am}中的项,所以 am ai 是{an}中的项, 所以1=a1< am am-1< am am-2< …< am a2<am. 因为a1, am am-1 ,am am-2 ,am am-3 ,…,am 共有m 项, 所以am=aiam+1-i(1<i≤m-1,i∈N*)①, 类似地,2<j≤m-1,j∈N*,am-1aj>am,则am-1aj 不是{an}中的项, 所以 am-1 aj 是{an}中的项, 1=a1< am-1 am-2< am-1 am-3< am-1 am-4< …< am-1 a3 <am-2 , 所以am-1=ajam-j(2<j≤m-2,iN*)②, 由①和②得 am am-1= am-1 am-2= am-2 am-3= …= a3 a2= a2 a1=a2>1 , 所以{an}是首项为1的等比数列. (17分)……………………………………………………………… 武汉市部分重点中学2024一2025学年度上学期期末联考 高二数学 命审题单位：湖北省武昌实验中学数学学科组 审题单位：圆创教有研究中心武汉市第一中学 本试卷共4页，19题。满分150分。考试用时120分钟。 考试时间：2025年1月16日下午14：00一16：00 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的 指定位置。 2,选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区城均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1抛物线x=4y的焦点到准线的距离是( A号 B.1 C.2 D.4 2.在等差数列{a.}中，若a:十a,十a6十ag十ao=150,则a1十a1的值为( A.30 B.40 C.50 D.60 3已知R,R是双线-苦的左，右焦点，P是双前线右支上一点且1R,R是1PF,和PF 的等差中项，则S△F,5,的值为() A.4 B.6 C.8 D.10 1 4.已知数列a.}为等比数列，a1一2，公比g=2,若T,是数列a,的前n项积，则T,取最小值时n为 () A.8 B.9 C.8或9 D.9或10 高二数学试卷第1页（共4页） 5在平面直角坐标系Oy中，已知点A(一2,0)，B(2,0),点P是平面内一个动点，则下列说法正确的是 () A若PA+PB1=4,则点P的轨凌为稀圆 B若PA|一2PB|=0,则点P的轨迹为椭网 C若PA-1PB=4,则点P的轨凌为直线 D若PA一PB=2,则点P的轨迹为双曲线的一支 6设等鞋数到k的情项和分别为9.不者导-则后的值为 A号 R器 c a器 1已知颜圆C若+片-1a>b>0)的左，右焦点分别为F,F,点P是椭阴上的-点，且点P在r轴 上方，△PF,F:的内切圆圆心为1， 6透=A2<3),则椭圆的离心率e的取值范围是(） S△fFa A[层》 B(o. c[2 a[哈 4已知横后+ =1(m>0)的上，下焦点分别为F1,F2,抛物线x=2y(p>0)的焦点与椭圆的上焦 m 点重合过F,的倾斜角为产的直线交椭圆于A,B两点，且A正-FB,点（红y,(EN)是抛物 线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为(x+1,0),若x1=2,则x的值为() A() B() c() ( 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9抛物线y=4x的焦点为F,过焦点的倾斜角为0的直线交抛物线于A,B两点，设A(x1y1),B(x: y:),则下列结论正确的是( A.x1·x:=2 By1·y2=-4 C若9=号则AB1-号 1 D.TAFT+IBFT-1 10.设等差数列{a,}的前n项和为S,若S。有最大值，且胆<-1，则下列结论正确的是( d议 A.当S.最大时，n=2023 B.使S:>0的最大k值为4045 C.S4<SI<S D.在数列三)1≤n≤4046)中，当m=2023时，三取最大值 高二数学试卷第2页（共4页） 11.已知双曲线C:。-}=1(a>0,b>0)的右顶点为A(2,0),过点A作⊙M:x2+(y-2)2=(1< <2)的一条切线与双曲线交于点B,若AB中点为P,且太a·km= ，过点A作⊙M的另一条切 线与双曲线交于点D,设直线AB,AD的斜率分别为k1,k:,则下列结论正确的是() A双曲线方程为C:号-y2-1 5 B.双曲线的离心率e=2 C.k1·k:=2 Dlo过定点号o) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分】 12,若等比数列{a.}的各项均为正数，且a;·ag·a;·ag=e,则lna1十lna2十+lnan= 13.已知数列{a,》满足a1=2a.十1(n∈N),且a1=l,则数列{a,的通项公式为a,= 已知椭圆C,二+=1a>b>0)的左，右焦点分别为F(一c,0),F(c,0),点P是椭圆上在第二 69 25, mPF 限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率：的范围是（受，兮]，则P,的范图是 四、解答题（本大题共5小题，共T7分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知数列{a,}各项均为正数，设数列{an)的前n项和为S.,其中2S,=a十a, (1)求数列{a.}的通项公式： ②令6，一号求数列6.的前n项和7 16.(本小题满分15分) 已知双曲线C,系-六=1(a>0,b>0)的左顶点为(-1,0)，离心率e为2，过点P(0,-1)的直 线1交双曲线左支于A,B两点。 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O是坐标原点，且S△=√2，求直线1的斜率， 高二数学试卷第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 设数列(a.}的前n项和为S,且S,=2a。一2. (1)求数列(a.)的通项公式： ”,设T,为数列(6.的前n项和，是否存在常数，使T,<1对n∈N恒成立？若存 (2)令b.=S.S.+1 在，求出·的最小值：若不存在，说明理由。 18.(本小题满分17分) 已知平面内一个动点Q到点T0,)的距离比它到直线y=一的距离少 (1)求点Q的轨迹方程： (2)已知A,B,C,D是点Q的轨迹上不同的四点，点P在x轴下方，直线AC.BD交于点P.且 P元=PA,Pi=2P店设AB,CD的中点分别为点M,N, ①证明：M,N,P三点共线； ②若点P为半椭圆号+：=1y<0)上的动点，求四边形ABDC面积的最大值 19.(本小题满分17分) 已知m∈N,m≥5，定义：数列(a.共有m项，对任意i(i∈N,li≤写≤m)a,a,或2中 至少有一个仍是{a.}中的项，则称数列{a.)为“乘或除封闭数列” (1)若a.=2"且m=5,判断数列{a.}是否为“乘或除封闭数列”； (2)已知递减数列a1,27,a1,3,as为“乘或除封闭数列”，求a1,a,as: (3)已知各项均为正且单调递增数列{a,为“乘或除封闭数列”，若a.>l,证明：数列(a,}是等比 数列. 高二数学试卷第4页（共4页）