江西省南昌中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

南昌中学2024—2025学年度上学期期末考试 高二数学试卷 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．命题“”是命题“直线与直线平行”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 3.在平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则下列向量中与相等的是      A. B. C. D. 4. 一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数m的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有( )种 A．540 B．360 C．300 D．420 6.已知，为双曲线的左，右焦点， O为坐标原点， M为双曲线上一点，且，则M到x轴的距离为(    ) A. B. C.2 D. 7. 在的展开式中常数项为（ ） A. 721 B. -61 C. 181 D. -59 8.已知正方体的棱长为2，M、N分别是侧面和的中心．过点M的平面与ND垂直，则平面截正方体所得的截面积S为    A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 对于曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线C不可能是圆 B. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 C. 若，则曲线C为椭圆 D. 若曲线C为双曲线，则 10. 已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且分别为的中点.则正确的有（ ） A. 与平面夹角余弦值为 B. 与所成角为 C. 平面 D. 平面平面 11．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为，的右顶点为，则轴 3、 填空题（共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若表示取得次品的个数，则__________． 13. 已知曲线为坐标原点．给出下列四个结论： ①曲线关于直线成轴对称图形； ②经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点； ③直线与曲线所围成的图形的面积为； ④设直线，当时，直线与曲线恰有三个公共点． 其中所有正确结论的序号是______． 14．四面体中，，其余棱长都为2，动点在的内部（含边界），设，二面角的平面角的大小为，和的面积分别为，，且满足，则Q到BC的最大距离为 　　． 四、解答题（共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）如图，过圆外一点向圆引切线. （1）求过点P的圆的切线方程； （2）若切点为，，求过切点，的直线方程. 16.（15分）2023年5月18日至19日，中国－中亚峰会在陕西省西安市举办.多家外媒积极评价，认为这次峰会非常重要，中亚国家正在深化合作，共同致力于实现各国人民和平与繁荣.报道中指出“中国－中亚峰会致力于发展新能源绿色经济，符合中亚国家共同利益.”新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，得到表格如下： 月份 6月 7月 8月 9月 10月 月份代码 1 2 3 4 5 产值（亿元） 16 20 23 31 40 (1)求电动汽车产值关于月份代码的线性回归方程； (2)该机构随机调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性45人，女性35人；购买电动汽车的男性5人，女性15人.请问是否有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.（参考公式如下） 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 ①；②；③. 17.（15分）在三棱锥中，，，，，． （1）如图1，G为△PBC的重心，若平面PAB，求的值； （2）如图2，当，且二面角的余弦值为时，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值． 18.(17分）某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为． （1）学生甲和乙各摸一次球，求两人得分相等的概率； （2）若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求随机变量X的分布列与期望； （3）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率． 19.（17分）已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得． （1）求椭圆的标准方程； （2）判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论； （3）过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点（异于A），直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点． 南昌中学2024—2025学年度上学期期末考试 高二数学试卷 命题：饶雄峰 审题：江华平 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ D   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．命题“”是命题“直线与直线平行”的（  A  ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 3.在平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则下列向量中与相等的是  A    A. B. C. D. 4. 一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数m的值为（ B ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有( D )种 A．540 B．360 C．300 D．420 6.已知，为双曲线的左，右焦点， O为坐标原点， M为双曲线上一点，且，则M到x轴的距离为(  C  ) A. B. C.2 D. 7. 在的展开式中常数项为（ ） A. 721 B. -61 C. 181 D. -59 【答案】D【详解】=的展开式的通项公式为 =， 其中的展开式的通项公式为， 当时，，，常数项为； 当时，，，常数项为； 当时，，，常数项为； 故常数项为++. 8.已知正方体的棱长为2，M、N分别是侧面和的中心．过点M的平面与ND垂直，则平面截正方体所得的截面积S为    A. B. C. D. 【答案】B 解：正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 侧面的中心，侧面的中心，且，则， 显然点M在平面与平面的交线上， 设为这条交线上任意一点，则， 而平面，则，即， 令，得点，令，得点， 连接FG，平面与平面ABCD必相交， 设为这条交线上任意一点，则， 由，即， 令，得点，连FE， 因为平面平面ABCD，则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行， 过G作交于，则， 由得，即， 显然平面与平面都相交，则平面与直线相交， 令交点为，，由得， 连接得截面五边形EFGHK，即截面S为五边形EFGHK， 则， 取EF中点，连接，则， 在中，， 的面积， 在中，， 边FL上的高， 梯形EFGH面积， 所以S的面积为 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 对于曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线C不可能是圆 B. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 C. 若，则曲线C为椭圆 D. 若曲线C为双曲线，则 【答案】AD【详解】，令，无解，故曲线C不可能是圆，A正确； ，令，解得：，故曲线C不能表示焦点在y轴上的双曲线，B错误； 变形为，当时，，不表示椭圆，故C错误； 若曲线C为双曲线，则，解得：，D正确. 10. 已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且分别为的中点.则正确的有（ ） A. 与平面夹角余弦值为 B. 与所成角为 C. 平面 D. 平面平面 【答案】BCD【解析】对于A、B：如图1，建立空间之间坐标系，设，则有： ∴ 设平面的法向量为 则有，令，则∴ 则 ∴与平面夹角的正弦值为，则余弦值为，A错误； ∵ ∴与所成角的余弦值为，则夹角为，B正确； 如图2：对于C：连接，设，连接 分别为的中点，则且 ∴为平行四边形，则O为的中点 又∵F为的中点，则 平面，平面 ∴平面，C正确； 对于D：平面即为平面 由题意可得： ，平面 ∴平面 平面，则 又∵为正方形，则 ，平面 平面平面 ∴平面平面，即平面平面，D正确； 11．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为，的右顶点为，则轴 【答案】ABD【详解】对于选项A，根据椭圆定义，已知，， 则，所以. 根据双曲线定义，则， 所以. 因为，根据勾股定理，将， 代入得，即，，解得. 双曲线的离心率，因为，，所以，故选项A正确.   对于选项B，设，，由椭圆定义，由双曲线定义， 解得，. 因为，所以，即，化简得. 已知，设，，代入得，解得. 双曲线的离心率，故选项B正确.   对于选项C，由，则. 根据均值不等式，所以，当且仅当时取等号， ，椭圆和双曲线离心率不可能取等，故选项C错误.   对于选项D，设的内切圆半径为. 根据三角形面积公式，. 又，，可得，，. ，. 设，的横坐标为，（，为，的横坐标）， 因为，，，所以轴，选项D正确. 4、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置上） 12. 有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若表示取得次品的个数，则_____3.4_____． 13. 已知曲线为坐标原点．给出下列四个结论： ①曲线关于直线成轴对称图形； ②经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点； ③直线与曲线所围成的图形的面积为； ④设直线，当时，直线与曲线恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【详解】， 因为当时，无意义，无此曲线，故舍去， 所以曲线表示为：， 作出曲线图象为 对于①，由图象可得曲线关于直线成轴对称图形，故①正确； 对于②，由于左上和右下部分双曲线的，所以渐近线方程为， 所以当直线的斜率为时，过原点的直线与曲线无交点，故②错误； 对于③，设直线与交点分别为， 因为圆方程中半径为2，且点， 所以直线与曲线围成的图形的面积为，故③正确； 对于④，由于直线恒过， 当时，直线与平行，有一个交点； 当时，与渐近线平行，此时有两个交点， 当，结合斜率的范围可得有三个交点，如图： 所以，④正确； 14．四面体中，，其余棱长都为2，动点在的内部（含边界），设，二面角的平面角的大小为，和的面积分别为，，且满足，则Q到BC的最大距离为 　　． 【答案】 【详解】四面体中，，其余棱长都为2， 取的中点，连接，，则，， 故为二面角的平面角， 因为等边三角形，，故， 故， 设到的距离为， 则， 化简得，， 故点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线在三角形内部的一段弧， 如图建立直角坐标系，则抛物线的方程为，， 直线的方程为：， 联立，得， 故圆弧与的交点横坐标为， 则到的最大距离， 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（13分）如图，过圆外一点向圆引切线. （1）求过点P的圆的切线方程；（2）若切点为，，求过切点，的直线方程. 【答案】（1）或 （2） 【小问1详解】 设过点P的圆的切线方程为，的圆心为，半径为； 则，解得或， 故切线方程或. 【小问2详解】 解法1：将切线方程与圆的方程联立成方程组，由可得， 由可得， 即和， 故过切点，的直线方程为，整理得. 解法2：因为O，，P，四点共圆， 所以，在以OP为直径的圆上，圆心为，半径为， 即方程为 与已知圆相减，得过切点，的直线方程为. 16（15分）2023年5月18日至19日，中国－中亚峰会在陕西省西安市举办.多家外媒积极评价，认为这次峰会非常重要，中亚国家正在深化合作，共同致力于实现各国人民和平与繁荣.报道中指出“中国－中亚峰会致力于发展新能源绿色经济，符合中亚国家共同利益.”新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，得到表格如下： 月份 6月 7月 8月 9月 10月 月份代码 1 2 3 4 5 产值（亿元） 16 20 23 31 40 (1)求电动汽车产值关于月份代码的线性回归方程； (2)该机构随机调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性45人，女性35人；购买电动汽车的男性5人，女性15人.请问是否有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.（参考公式如下） 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 ①；②；③. 解：（1）设所求回归直线方程为， 则，， ， ， ， 故所求回归直线方程为. （2）根据题意，得2×2列联表如下： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 合计 男性 45 5 50 女性 35 15 50 合计 80 20 100 ， 故有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关. 17（15分）在三棱锥中，，，，，． （1）如图1，G为△PBC的重心，若平面PAB，求的值； （2）如图2，当，且二面角的余弦值为时，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（1） （2） 【小问1详解】连接CG并延长与PB交于点E，连接AE， 所以平面平面． 因为平面PAB，平面ACE， 所以． 又因为G为△PBC的重心， 所以．所以． 所以，即． 【小问2详解】设O为BC的中点，连接AO．因为，， 所以，；又，平面, 所以平面PAO,又平面,所以平面平面ABC， 过点O在平面PAO内作AO的垂线OZ， 如图所示，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 所以，，， 因为，所以． 因为是二面角的平面角， 二面角的余弦值为，， 所以． 所以， ，． 不妨设平面PBC的法向量， 所以 所以 可取 设直线PD与平面PBC所成的角为，所以. 18. (17分）某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为． （1）学生甲和乙各摸一次球，求两人得分相等的概率； （2）若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求随机变量X的分布列与期望； （3）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率． 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望 （3） 【小问1详解】 解：由题意，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为， 若学生甲和乙各摸一次球，甲乙的得分相同，则甲乙同时摸到1分球或2分球， 所以两人得分相等概率为. 【小问2详解】 解：由题意知，学生甲摸球2次的总得分的可能取值为， 可得， 所以随机变量的分布列为： 2 3 4 所以，期望为. 【小问3详解】解：记“甲最终得分为分”，其中，“乙获得奖励”， 可得， 当甲的最终得分为9分时，乙获得奖励需要最终得分为10分，则； 当甲最终得分为8分时，乙获得奖励需要最终得分为10分或9分， 则， 所以， 所以乙获得奖励的概率为. 19.（17分）已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得． （1）求椭圆的标准方程；（2）判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论； （3）过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点（异于A），直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点． 【答案】（1） （2）相切，证明见解析 （3）证明见解析 【小问1详解】 由题意得，将代入椭圆方程得，联立方程组， 解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，由，得，解得， 此时，直线的方程为， 联立直线与椭圆:消得，，解得. 由方程组只有一组解，直线与椭圆相切． 【小问3详解】 如图：设，由三点共线，得， 由三点共线，得， 得，又，得， 得，即． 设直线的方程为，即，① 联立直线与椭圆：，消得， 则有，② 将②式代入①式，得，解得（舍）或.直线经过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $$