精品解析：江苏省南京外国语学校2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题

南京外国语学校 2024—2025学年度第一学期期终初一年级 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 5 C. D. 1 2. 我国研制的“曙光3000超级服务器”排在全世界运算速度最快的500台高性能计算机的第80位，它的峰值速度达到每秒运算4032亿次，将数据4032亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 已知是关于x的方程的解，则代数式的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 下面的几何体中，属于柱体的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 某车间有名工人，每人每天可生产个螺钉或者个螺母，个螺钉与个螺母配成一套，为了使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，设安排名工人生产螺钉，则下列方程正确的是（ ） A B. C. D. 7. 如图，下列选项不能得到的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. －3倒数是___________ 10. 单项式的系数是______． 11. 已知代数式的值是，则代数式的值是________． 12. 如图，从A地到B地有三条路线，分别记为路线，则从A地到B地的最短路线是，其中蕴含的数学原理是________． 13. 已知的余角是，的补角是，则______（填“>”、“<”或“=”）． 14. 如图，直线、相交于点O，平分，若，则______． 15. 若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点相连结，可将多边形分成7个三角形，则该多边形是________边形． 16. 我们称能使成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为，若是“相伴数对”，则x的值为______． 17. 若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为______． 18. 按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答） 19. 计算题 （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解下列方程 （1） （2）． 22. 如图，公园有一块长为米，宽为m米的长方形土地（一边靠墙），现将三边留出宽都是n米的小路，余下部分设计成花圃，用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． （1）花圃的宽为______米，花圃的长为______米（用含m，n的式子表示）： （2）求篱笆的总长度（用含m，n的式子表示）； （3）若，篱笆单价为60元/米，请计算篱笆的总价． 23. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为上的格点，在给定的网格中，仅借助直尺按下列要求作图（请加黑画图需要的格点） （1）图①中画直线，使； （2）在图②中画直线，使，垂足为F． 24. 如图，，平分，．请判断与的位置关系并说明理由． 25. （用一元一次方程解决问题）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如下表所示的购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元） 优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 （包含100） 无优惠 （包含200） 无优惠 （包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 （1）小王需要购买价格为220元的商品，去______家超市更划算； （2）小李带了234元去购物，为了买到原价最多的商品，应选择哪家超市并说明理由． 26. 如图，点C在线段上，点O是线段的中点，点E在线段上，且，． （1）若，求的长： （2）若，点D在线段上且，则______（用含m的代数式表示） 27. 【概念提出】 已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）． （1）若，则______； （2）尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得． （要求：保留作图痕迹，写出必要的说明） 【拓展延伸】 （3）如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化． ①如图3，当旋转时间为45秒时，最小值为______； ②在旋转一周的过程中，当旋转时间为______秒时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京外国语学校 2024—2025学年度第一学期期终初一年级 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 5 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法，绝对值，先根据有理数的减法法则计算，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2. 我国研制的“曙光3000超级服务器”排在全世界运算速度最快的500台高性能计算机的第80位，它的峰值速度达到每秒运算4032亿次，将数据4032亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：4032亿， 故选：D． 3. 若则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故选：C． 4. 已知是关于x的方程的解，则代数式的值是（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程解和求代数式的值，根据是关于的方程的解，所以将解代入方程即可得出的值；已知的值，将代入代数式中计算，即可求出答案，关键是明确方程的解满足原方程． 【详解】解：是关于的方程的解， ， ， ． 故选：B． 5. 下面的几何体中，属于柱体的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查认识立体图形，解题的关键是熟练的掌握认识立体图形． 根据柱体、锥体、球体的形体特征进行判断即可． 【详解】解：图中的几何体从左到右依次是：长方体、圆柱、四棱柱、三棱锥、圆锥、三棱柱， 因此柱体有：长方体、圆柱、四棱柱、三棱柱，共4个， 故选：D． 6. 某车间有名工人，每人每天可生产个螺钉或者个螺母，个螺钉与个螺母配成一套，为了使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，设安排名工人生产螺钉，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由一元一次方程解答配套问题，根据题意可知：安排名工人生产螺钉，则安排名工人生产螺母，再根据个螺钉与个螺母配成一套，即可列出相应的方程，解题的关键是明确题意，找到等量关系，列出方程． 【详解】解：由题意可得，， 故选：． 7. 如图，下列选项不能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、， （内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意； B、， （内错角相等，两直线平行），不能得到，故此选项符合题意； C、， （同位角相等，两直线平行），故此选项不符合题意； D、， （同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意． 故选：B． 8. 如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的角为直角是解题的关键．利用正方形的角为直角这一性质，通过角之间的和差关系来推导、、三个角的数量关系． 【详解】解：如图， 正方形的每个角都是， ，， ， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. －3的倒数是___________ 【答案】 【解析】 【分析】乘积为1的两数互为倒数，即a的倒数即为（a≠0），符号一致． 【详解】∵－3的倒数是， 故答案：． 10. 单项式的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的系数，熟练掌握单项式系数的确定方法是解题的关键． 根据单项式的意义，即可解答． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 11. 已知代数式的值是，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，本题的关键在于利用整体代入的思想．再代入求解即可． 【详解】解：的值是， ． 故答案为． 12. 如图，从A地到B地有三条路线，分别记为路线，则从A地到B地的最短路线是，其中蕴含的数学原理是________． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短，熟知两点之间，线段最短是解题的关键． 【详解】解：从A地到B地的最短路线是，其中蕴含的数学原理是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 13. 已知的余角是，的补角是，则______（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】= 【解析】 【分析】本题考查了余角、补角的定义，熟练掌握余角、补角的定义是解题的关键．根据余角、补角的定义分别求出、的度数，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：的余角是， ， 的补角是， ， ． 故答案为：=． 14. 如图，直线、相交于点O，平分，若，则______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义可得，再利用，即可解答． 【详解】解：平分， ， ． 故答案为：． 15. 若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点相连结，可将多边形分成7个三角形，则该多边形是________边形． 【答案】九 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形对角线的问题，经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数 【详解】解：设多边形有条边， 则， 解得． 故这个多边形是九边形． 故答案为：九． 16. 我们称能使成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为，若是“相伴数对”，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，将，分别代入，再根据等式的基本性质求出的值即可，掌握等式的两个基本性质是解题的关键． 【详解】解：将，分别代入， 得，解得． 故答案为：． 17. 若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键．根据线段中点的定义，依次求出、、……，由此规律可得，得到和的长度，再根据线段和差即可解答． 【详解】解：，是的中点， ， ，是的中点， ， ，是的中点， ， …… 由此规律可得，， ，， ． 故答案为：． 18. 按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【详解】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答） 19. 计算题 （1） （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）按先乘方，再乘除，后加减的运算顺序计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．先去括号，再合并同类项，再把代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解： ， 代入，原式． 21. 解下列方程 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤是解题的关键． （1）根据方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可； （2）根据方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可； 【小问1详解】 解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【小问2详解】 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 22. 如图，公园有一块长为米，宽为m米的长方形土地（一边靠墙），现将三边留出宽都是n米的小路，余下部分设计成花圃，用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． （1）花圃的宽为______米，花圃的长为______米（用含m，n的式子表示）： （2）求篱笆的总长度（用含m，n的式子表示）； （3）若，篱笆的单价为60元/米，请计算篱笆的总价． 【答案】（1）； （2）米 （3）5400元 【解析】 【分析】本题考查整式加减的实际应用，列代数式，代数式求值，根据题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）利用图中的信息计算即可； （2）由（1）可得花圃的长和宽，再根据长方形周长公式即可求出篱笆总长度； （3）将代入（2）中的式子求出篱笆总长度，再乘以篱笆的单价即可求出总价． 【小问1详解】 解：由题意得，花圃的宽米，花圃的长米． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由题意得，篱笆的总长度为 米， 篱笆的总长度为米． 【小问3详解】 解：当时， 篱笆的总长度为（米）， 篱笆的总价为（元）， 答：篱笆的总价为5400元． 23. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为上的格点，在给定的网格中，仅借助直尺按下列要求作图（请加黑画图需要的格点） （1）在图①中画直线，使； （2）在图②中画直线，使，垂足为F． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了格点作图、平行线的判定、垂直的定义，在网格中找出特殊的格点，按要求作图是解题的关键． （1）找到格点，使得，则有，即可得到； （2）找到格点，使得等于直线与网格水平线形成锐角，再根据角度运算可得，即可得到． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求： 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求： 24. 如图，，平分，．请判断与的位置关系并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．由可得，利用平行线的性质得出，，再结合角平分线的定义和等量代换可得，最后利用平行线的判定即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）， 平分， ， ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 25. （用一元一次方程解决问题）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如下表所示的购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元） 优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 （包含100） 无优惠 （包含200） 无优惠 （包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 （1）小王需要购买价格为220元的商品，去______家超市更划算； （2）小李带了234元去购物，为了买到原价最多的商品，应选择哪家超市并说明理由． 【答案】（1）甲 （2）应选择甲超市，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）计算在甲、乙超市购物分别所付的费用，再比较大小即可得出结论； （2）先求出234元在甲超市能购买的商品原价，再通过列一元一次方程求出在乙超市能购买的商品原价，比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：在甲超市购物所付的费用为：（元）， 在乙超市购物所付的费用为：（元）， ， 去甲超市更划算． 故答案为：甲． 【小问2详解】 解：应选择甲超市，理由如下： 在甲超市能购买的商品原价为：（元）， 设在乙超市能购买的商品原价为元， 由题意得，， 解得：， ， 为了买到原价最多的商品，应选择甲超市． 26. 如图，点C在线段上，点O是线段的中点，点E在线段上，且，． （1）若，求的长： （2）若，点D在线段上且，则______（用含m的代数式表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了两点间的距离，线段的中点的定义，一元一次方程，正确作图，熟练运用线段的加减是解决此题的关键． （1）设，则可得，可利用列方程，即可解答； （2）用表示的长，再利用，表示出的值，即可解答． 【小问1详解】 解：设，， 点C在线段上，点是线段的中点， ，， ， ， 根据， 可得， 解得， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ∵点是线段的中点， ∴， ， 故答案为：． 27. 【概念提出】 已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）． （1）若，则______； （2）尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得． （要求：保留作图痕迹，写出必要的说明） 【拓展延伸】 （3）如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化． ①如图3，当旋转时间为45秒时，的最小值为______； ②在旋转一周的过程中，当旋转时间为______秒时，． 【答案】（1）1或 （2）见解析 （3） ①. 2 ②. 75 【解析】 【分析】（1）根据题意，分射线在的内部或外部2种情况计算即可； （2）由，分射线在下方、在内部、在上方3种情况讨论，得出符合题意，再利用尺规作图—作一个角等于已知角的方法，作出的2倍即可得到射线； （3）①根据题意，讨论和，分别计算出的取值范围，即可得出最小值；②设旋转时间为秒，结合图形可得，再分3种情况讨论：；；；再结合，运用不等式的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：若射线在的内部，则， ； 若射线在的外部，则， ； 综上所述，或． 故答案为：1或． 【小问2详解】 解：， ， ， 若射线在下方，此时， ，即（不符合题意，舍去）； 若射线在内部，此时， ， ，即射线为的三等分线， 由于尺规作图不能三等分任意角，故不符合题意，舍去； 若射线在上方，此时， ， ， 如下图，则射线即为所求： 【小问3详解】 解：①当旋转时间为45秒时，， ， 射线位于内部或边上， 下面分2种情况讨论： 当，此时， ， 由图可知，， ； 当，此时， ； 综上所述，的最小值为2． 故答案为：2． ②当射线在内部或边上时，则有， 此时，不符合题意， 射线不能在内部或边上，即的两边都在的外部， 设旋转时间为秒， 当射线从图2的位置旋转至，则， 当射线从图2的位置旋转至，则， ； 当时，如图， 则，此时， 当，此时， ， 此时的最小值为3，不符合题意， 在范围内不存在符合题意的旋转时间； 当时，如图， 则，此时， 当，此时， ， 此时的最小值为3，不符合题意， 在范围内不存在符合题意的旋转时间； 当时，如图， 当，由①中的结论有：，符合题意； 当，此时有或， 令，则或， 解得：或， 射线位于内部或边上， 或， 当时，， 当时，， 当时，． 故答案为：75． 【点睛】本题主要考查了角的和差倍分问题、尺规作图、不等式的性质，熟练掌握以上知识点，理解题意，学会结合图形分类讨论计算是解题的关键，本题属于综合题，需要较强的推理论证和数形结合能力，适合有能力解决难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $