精品解析：内蒙古自治区通辽市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024—2025年度第一学期初三年级期末考试数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ） A. 一定在⊙O的内部 B. 一定在⊙O的外部 C. 一定在⊙O的上 D. 不能确定 3. 在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，则在同一路灯下（ ） A. 小明的影子比小强的影子长 B. 小明的影子比小强的影子短 C. 小明的影子和小强的影子一样长 D. 无法判断谁的影子长 4. 若，相似比为1:2，则与的面积的比为（ ） A. 1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:1 5. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能（ ） A. B. C. D. 6. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在上，则边 扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A为反比例函数图象上一点，垂直x轴于B点．若，则k的值为（ ） A. 10 B. C. D. 8. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且 9. 已知：如图，弦的垂直平分线交 于点C、D，则下列说法中不正确的是 （ ） A. 弦一定是 的直径 B. 点O到的距离相等 C. 与互余 D. 与 互补 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点A(－2，0)和B(4，0)，点C为抛物线的顶点，则下列结论： ①abc＞0； ②关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为－2＜x＜4； ③3a＋c＜0； ④若 是直角三角形，则点C的坐标为(1，－3)； ⑤若m为任意实数，则 其中结论正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________． 12. 如图，在平行四边形中，点E是边 上的中点， 交对角线 于点F，则_____________． 13. 直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是___． 14. 如图，点 A 在双曲线y＝上，点 B 在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB 的面积等于________． 15. 如图．我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的弦的长为___________． 三、解答题（共7道题，共55分）写出必要的解题过程； 16. 解方程：． 17. 如图， 在平面直角坐标系中，点、、．解答问题： （1）请按要求对 作如下变换： ①将 绕点 逆时针旋转 得到△． ②以点 为位似中心，位似比为，将 在位似中心的异侧进行放大得到△；并写出点，的坐标： ， ． （2）在 内，点 的坐标为，在△中与之对应的点为，在△中与之对应的点为 ．则 ．（用含 ，的代数式表示） 18. 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点处时，张龙测得李明直立时身高 与影子长正好相等；接着李明沿 方向继续向前走，走到点 处时，李明直立时身高 的影子恰好是线段，并测得，已知李明直立时的身高为，求路灯的高的长．（结果精确到． 19. “读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐不凡；使人目光远大，志存高远”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1824人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1350人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）当时，根据图象直接写出 的取值范围． 21. 如图，在 中，， 是的平分线，O是上一点，以为半径的 经过点D，交于点E． （1）求证： 是 的切线； （2）若， ，求长． 22. 如图1，若二次函数的图像与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接，当的面积最大时，求出点P的坐标； （3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点Q坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025年度第一学期初三年级期末考试数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义解决此题． 【详解】解：A.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ） A. 一定在⊙O的内部 B. 一定在⊙O的外部 C. 一定在⊙O的上 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：的直径为10，半径为5，点 到点 的距离大于8，点 一定在的外部，故选B． 考点：点与圆的位置关系． 3. 在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，则在同一路灯下（ ） A. 小明的影子比小强的影子长 B. 小明的影子比小强的影子短 C. 小明的影子和小强的影子一样长 D. 无法判断谁的影子长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心投影和平行投影，理解中心投影和平行投影特点和规律是解答的关键． 平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．根据在同一路灯下，由于位置不确定，则无法判断谁的影子长短，进而可得结论． 【详解】解：∵在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长， ∴小明的身高比小强高， ∵在同一路灯下，两人与路灯的距离不确定， ∴无法判断谁的影子长． 故选：D． 4. 若，相似比为1:2，则与的面积的比为（ ） A. 1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:1 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质.得出结论： ∵，相似比为1:2， ∴与的面积的比为1:4. 故选C. 考点：相似三角形的性质. 5. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数图象的综合判断，运用数形结合思想是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质及反比例函数的图象与性质逐项分析判断即可得解． 【详解】解：A、反比例函数的图象在第一、三象限，故，即；二次函数图象开口向下，且交 轴于负半轴，故；故选项符合题意； B、反比例函数的图象在第一、三象限，故，即；二次函数图象开口向上，则 ，交 轴于负半轴，则；互相矛盾，故选项 不符合题意； C、反比例函数的图象在第二、四象限，故，即 ；二次函数图象开口向下，则，交 轴于正半轴，则 ；互相矛盾，故选项不符合题意； D、反比例函数的图象在第二、四象限，故，即 ；二次函数图象开口向上，则 ，交 轴于负半轴，则；互相矛盾，故选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在上，则边 扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的， ∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O， ∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°， ∴∠B′OB=120°， ∵AB=2cm， ∴OB=1cm，OC′=cm， ∴B′C′=cm， ∴S扇形B′OB= cm2， S扇形C′OC= cm2， ∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O-S△BCO-S扇形C′OC=S扇形B′OB-S扇形C′OC=cm2； 故选：B． 【点睛】此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键． 7. 如图，A为反比例函数图象上一点，垂直x轴于B点．若，则k的值为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数中比例系数的几何意义， 的面积等于，以及函数所在的象限，即可确定k的符号，从而得到k的值． 【详解】解：由题意得： 的面积等于， ∴， 得， 又∵反比例函数图象在二、四象限． ∴ ， ∴， 故选：B． 8. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式， 两种情况：当时，当时，分别求解即可得解． 【详解】解：当时，变为，此方程有实数根； 当时，由题意可得且， 解得：， ∴当时，关于x的方程有实数根， 故选：C． 9. 已知：如图，弦的垂直平分线交 于点C、D，则下列说法中不正确的是 （ ） A. 弦一定是 的直径 B. 点O到的距离相等 C. 与互余 D. 与 互补 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理． 根据垂径定理可判断A；根据角平分线的性质可判断B；根据根据圆周角定理可得，进而判断C；根据可判断D 【详解】解：∵垂直平分， ∴根据垂径定理可得弦一定是 的直径，A项正确， ∵是 的直径，垂直， ∴， ∴ ∴点O到的距离相等，B项正确， ∵是 的直径，垂直， ∴，， ∴，C项正确， ∵，D项不正确， 故选D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点A(－2，0)和B(4，0)，点C为抛物线的顶点，则下列结论： ①abc＞0； ②关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为－2＜x＜4； ③3a＋c＜0； ④若 是直角三角形，则点C的坐标为(1，－3)； ⑤若m为任意实数，则 其中结论正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线过点A、B，可得抛物线的解析式为，由抛物线的开口方向知，a>0，所以b=-2a<0，c=-8a<0，因此可分别对①③作出判断；观察图象，即可对②作出判断；，所以点C到x轴的距离为9a，因AB=6，若 是直角三角形，根据抛物线的对称性，即可满足条件，此时点C的坐标为(1,-3)，因而可判断④正确；由可得：， 由此可对⑤作出判断． 【详解】由图象知，抛物线的开口向上，故a>0 由题意得： ∴b=-2a<0，c=-8a<0 ∴abc>0，3a+c=3a-8a=-5a<0 即①③正确 观察图象知，当－2＜x＜4时，函数的图象位于x轴下方，即ax2＋bx＋c＜0，故②正确 若 是直角三角形，根据抛物线的对称性，则此三角形必是等腰直角三角形，由AB=6，则点C到x轴的距离为3 ∵ ∴9a=3 即抛物线的顶点C的坐标为(1,-3) 故④正确 由可得： 而当x=1时，函数的函数值为a+b+c，且也是函数的最小值 ∵对任意实数m，函数的函数值不小于其最小值 即 则am2+bm≥a+b 故⑤错误 所以正确结论的个数有4个 故选：C． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质，涉及函数表达式的三种形式，抛物线的对称性，最值，函数与不等式的关系等知识，还涉及数形结合的思想，是一道全面考查二次函数图象与性质的好题，因此全面掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________． 【答案】6或10或12 【解析】 【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算． 【详解】由方程，得 =2或4． 当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6； 当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12； 当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10． 综上所述此三角形的周长是6或12或10． 故答案为：6或10或12 12. 如图，在平行四边形中，点E是边 上的中点， 交对角线 于点F，则_____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先由平行四边形的性质得到，，再由线段中点的定义得到，最后证明，即可得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E是边 上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是___． 【答案】30°或150° 【解析】 【分析】连接OA、OB，根据等边三角形的性质，求出∠AOB的度数，再根据圆周定理求出∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数． 【详解】连接OA、OB， ∵AB=OB=OA， ∴∠AOB=60°， ∴∠C=30°， ∴∠D=180°﹣30°=150°． 故答案为30°或150°． 14. 如图，点 A 在双曲线y＝上，点 B 在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB 的面积等于________． 【答案】 【解析】 【详解】延长BA与y轴交于点C,根据反比例函数k的几何意义可得: ,所以. 故答案为：． 15. 如图．我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的弦的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接CM，根据抛物线解析式求出OD=5，AO=1，BO=5，AB=6，M（2，0），利用勾股定理求出OC，即可得到CD的长度． 【详解】解：连接CM， ∵抛物线的解析式为，点D是抛物线与y轴的交点 ∴点D的坐标为（0，-5）， ∴OD=5． 设y=0，则0=x2-4x-5，解得：x=-1或5， ∴A（-1，0），B（5，0）． ∴AO=1，BO=5， ∴AB=8，M（2，0）， ∴MC=MB=3，OM=2， 在Rt△COM中，OC=， ∴CD=OD+OC=， 即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次函数的性质，图象与坐标轴的交点坐标，数轴上两点之间的距离，圆的半径相等的性质，勾股定理，正确掌握基础知识点是解题的关键． 三、解答题（共7道题，共55分）写出必要的解题过程； 16. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． 先移项、然后再运用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 17. 如图， 在平面直角坐标系中，点、、．解答问题： （1）请按要求对 作如下变换： ①将 绕点 逆时针旋转 得到△． ②以点 为位似中心，位似比为，将 在位似中心的异侧进行放大得到△；并写出点，的坐标： ， ． （2）在 内，点 的坐标为，在△中与之对应的点为，在△中与之对应的点为 ．则 ．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）①见解析；②图见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）①把 、 、 各点绕点 逆时针旋转 后，顺次连接得到的对应点即可； ②连接并延长到，使，得到点 的对应点，同法得到其余点的对应点，连接即可，根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标； （2），把相关数值代入计算可得． 【小问1详解】 解：如图，请按要求对 作如下变换： ①画出△． ②画出△； 点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为，； 【小问2详解】 解：易得，， ，，， ． 【点睛】本题考查旋转变换及位似变换；第二问中判断出的一边及这边上的高的长度是解决的难点． 18. 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯 的高度．如图，当李明走到点 处时，张龙测得李明直立时身高 与影子长正好相等；接着李明沿 方向继续向前走，走到点 处时，李明直立时身高 的影子恰好是线段，并测得，已知李明直立时的身高为，求路灯的高的长．（结果精确到． 【答案】路灯的高CD的长约为6.1m 【解析】 【分析】根据，，，得到，从而得到，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可． 【详解】解：设长为 m， ，，，， ， m， ， ，即， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 路灯高的长约为6.1m 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形． 19. “读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐不凡；使人目光远大，志存高远”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1824人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1350人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【答案】（1）进馆人次的月平均增长率为 （2）校图书馆能接纳第四个月的进馆人次 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． （1）结合题意，设进馆人次的月平均增长率为x，根据一元二次方程的性质列式并求解，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，首先计算得第四个月的进馆人次，通过比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得： ， 化简得：， ∴， ∴或（舍）， ∴进馆人次的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：∵进馆人次的月平均增长率为， ∴第四个月的进馆人次为：， ∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）当时，根据图象直接写出 的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用函数图象解不等式；熟练利用数形结合的思想解题是关键． （1）将 A 点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式，再求解 B 的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）计算直线  与 x 轴的交点，与 轴交点．将分割为三个小三角形，再计算即可； （3）函数图像位于上方则函数值大，直接观察函数图象解答即可． 【小问1详解】 解：将代入中， 得， 解得 ， 反比例函数解析式为∶， 点在反比例函数上， ， 将、代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为∶． 【小问2详解】 由（1）得，直线的解析式为∶ ， 令，则， 令，则， 此函数图象与 轴交点坐标为，与 轴交点坐标为， ． 【小问3详解】 一次函数和反比例函数交于，两点， 横坐标分别为， 一次函数图像要位于反比例函数图像上方，即在点A的右侧，点B的左侧， 或 ． 21. 如图，在 中，， 是的平分线，O是上一点，以为半径的 经过点D，交于点E． （1）求证： 是 的切线； （2）若， ，求长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， ∵ 是的平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵是半径， ∴ 是 的切线； （2）8 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理等知识．熟练掌握等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理是解题的关键． （1）由等边对等角，角平分线的定义可证 ，则 ，进而结论得证； （2）设 的半径为r，则 ， ， ，由勾股定理得，，即，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设 的半径为r，则 ， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得， ， ∴ ， ∴的长为8． 22. 如图1，若二次函数的图像与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接，当的面积最大时，求出点P的坐标； （3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点Q坐标． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）将、代入即可求得函数的解析式； （2）连接 ，设 ，由，然后运用二次函数求最值得到t，最后确定P的坐标； （3）设，过点B作轴，过点Q作交于M，则，可，求出；过点Q作 轴交于N，，则，求出． 【小问1详解】 解：将、代入可得： ∴，解得， ∴． 【小问2详解】 解：如图1：连接 ，设 ∵ ∴C点的坐标为 ∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）， ∴AB＝5，OC＝4， ∴ ∴， ∵在范围内 ∴当时，最大，=6 ∴点P的坐标为 ． 【小问3详解】 解：设， 如图2，过点B作BM⊥x轴，过点Q作QM⊥BM交于M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得（舍）， ∴； 如图3，过点Q作 轴交于N， ∵ ， ∴， ∴，解得（舍）或， ∴； 综上所述：Q点坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握分类讨论、数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $