第8章 整式的乘法能力提升测试卷-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版2024）

第8章 整式的乘法能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，则x的值为（　　） A．17 B．16 C．15 D．14 2．若，，则的值为（   ） A．11 B．10 C． D． 3．某地计划扩建一块边长为x米的正方形林地，将一边增加了7米、另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 4．若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 5．如果，那么p、q的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．已知， 则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．8 7．如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A．2，3，2 B．2，4，2 C．2，5，2 D．2，5，4 9．若，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 10．观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算： ． 12．当，则的值为 ． 13．实数满足，则的值是 ． 14．如图，C是线段上的一点，以为边在的两侧作正方形．若，两个正方形的面积和，则图中阴影部分的面积为 ． 15．我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将下图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和． 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 16．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则 ．    三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2) 18．（6分）先化简，再求值： ，其中，． 19．（8分）如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． (1)求出拼成的长方形纸片的长和宽； (2)把这个拼成的长方形纸片的面积加上后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为，求它的宽． 20．（10分）如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． (1)通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ (2)根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． 21．（10分）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】（3）若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 22．（10分）借助“形”可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合“数”又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法!请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【课本链接】 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积，得 ，观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和，得 ； 【知识应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则 ； （3）若满足，求的值． 【拓展延伸】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 整式的乘法能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，则x的值为（　　） A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．若，，则的值为（   ） A．11 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则进行运算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：D． 3．某地计划扩建一块边长为x米的正方形林地，将一边增加了7米、另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】本题考查了代数式表示，以及多项式乘多项式与图形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据“增加的面积现在的面积原来的面积”列式并计算，即可解题． 【详解】解：扩建后这块林地的面积比原来增加了：平方米， 故选：B． 4．若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，先得出完全平方式为，再将其展开，则有，计算出k的值即可． 【详解】解：∵多项式是关于、的完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 5．如果，那么p、q的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出展开的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：A． 6．已知， 则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用整体思想进行，将所求的代数式进行化简成和已知代数式相同的形式，然后进行代入求值． 本题考查了代数式的求值，解题的关键是：运用等式的性质进行变形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．由图1可知剩余部分的面积，由图2可求长方形的面积，两部分面积相等即可求解．利用面积的关系验证平方差公式是解题的关键． 【详解】解：由图1可知剩余部分的面积为：， 由图2可求长方形的面积为：， ∴． 故选：B． 8．如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A．2，3，2 B．2，4，2 C．2，5，2 D．2，5，4 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的几何意义，是解决问题的关键． 利用长乘宽表示长方形面积，各类卡片组成此长方形，长方形面积等于各类卡片面积和，即可找出相应卡片的数量． 【详解】由图知（图形画法不唯一），长方形面积：， ∴需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张． 故选：C． 9．若，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式可知，，据此可得的值，进而得出则的值． 【详解】， 即， 解得， ， 故选：B． 10．观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法运算.根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案. 【详解】解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴，，． ∴ ， 因为，，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆应用，根据积的乘方的逆运算计算即可求解，掌握积的乘方的逆应用是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．当，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和幂的乘方，能灵活运用法则进行变形是解此题的关键． 先用幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 13．实数满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，利用整体的思想和完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，C是线段上的一点，以为边在的两侧作正方形．若，两个正方形的面积和，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式，巧妙的运用完全平方公式，将已知条件转化为关于直角边长的乘积是解决本题的关键． 首先设三角形直角边长，利用得到关于直角边长的等式，再根据完全平方公式求出两条直角边的乘积，进而求得阴影面积． 【详解】解：设， 则， ． ， ， ， ， ， ． 故答案为：4． 15．我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将下图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和． 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】210 【分析】本题考查图形变化的规律，根据是展开式中的第三项，则观察每行数列中第3个数，发现规律即可解决问题． 【详解】由题知， 含的项是展开式中的第三项， 观察每行中的第3个数，如图所示， 该列数中的第19个数为：， 所以展开式中含项的系数是210． 故答案为：210． 16．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则 ．    【答案】7 【分析】利用面积的和差表示出，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到，从而求解． 【详解】解：由， 可得：， 由图①得：， 由图②得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法和除法，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用多项式乘以多项式法则计算； （2）先计算同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，再进行多项式除以单项式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】；24 【分析】本题主要考查整式的四则运算，原式先计算括号内的，再计算除法，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当，时，原式． 19．（8分）如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． (1)求出拼成的长方形纸片的长和宽； (2)把这个拼成的长方形纸片的面积加上后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为，求它的宽． 【答案】(1)长为，宽为 (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算． （1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽，熟练运用整式的加减法运算即可得到结果； （2）根据题意列出关系式，熟练运用整式的除法运算即可得到结果． 【详解】（1）解：长方形的长为：， 长方形的宽为：； （2）解：另一个长方形的宽： ． 20．（10分）如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． (1)通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ (2)根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． 【答案】(1)； (2) ； ． 【分析】本题主要考查了全平方公式的几何意义，解决本题的关键是根据图形的面积关系得到两个完全平方公式之间的关系，再利用这个关系解决问题． 根据图形中的阴影面积可以用大正方形的面积减去长方形的面积表示为，也可根据小长方形的摆放位置用代数式表示出阴影正方形的边长，利用正方形的面积公式直接表示出阴影的面积为，根据两种表示方法表示的是同一个图形的面积，可得； 由可知，把和代入计算即可求出的值； 从图中两个正方形的位置可以得出，从而可得，根据中得到的公式可知，两边同时开方求出的值，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可知：阴影正方形的边长为， 阴影的面积为：， 阴影的面积也可以看作是大正方形的面积减去长为、宽为的长方形的面积， 阴影的面积也可以表示为：， 可得到关于，的等量关系为， 故答案为：； （2）解：由可知， 当，时， ， 故答案为：； 解：如下图所示， 四边形和四边形为正方形，且边长分别为和， ，， ， ， 由可知， 或(舍去)， ． 21．（10分）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】（3）若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）16  4  （2）2  （3） 【分析】本题考查配方法，熟练掌握完全平方公式的结构特征，是求解本题的关键． （1）根据完全平方式的特征配方求解． （2）先配方，再求最小值． （3）作差后配方比较大小． 【详解】（1）； 故答案为：16，4； （2）∵， 且， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为2； （3），理由如下： ∵， ∴． 22．（10分）借助“形”可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合“数”又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法!请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【课本链接】 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积，得 ，观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和，得 ； 【知识应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则 ； （3）若满足，求的值． 【拓展延伸】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由题意知 ，； （2）由题意知，，进而将，代入求解即可； （3）设，，根据求解即可； （4）因为种花区域的面积和为，所以，根据即可求解； 【详解】解：（1） ， ； 故答案为：， （2），， ； 故答案为： （3）设，，则，． 所以． 所以的值是； （4）种草区域的面积和为． 因为，，，所以，． 因为种花区域的面积和为，所以． 因为，所以． 所以． 所以． 所以种草区域的面积和为． 学科网（北京）股份有限公司 $$