第02讲 乘法公式（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版2024）

第02讲 乘法公式 【题型1 平方差公式运算】 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 【题型3 平方差公式的几何背景】 【题型4 完全平方公式】 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 【题型6 完全平方公式的逆运算】 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 【题型8 整式乘法的混合运算】 【题型9整式乘法的化简求值】 考点1：平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 考点2：平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2 x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 【题型1 平方差公式运算】 【典例1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·全国·期末）若，，则 ． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 【典例2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 【变式2-1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）运用乘法公式计算：． 【变式2-2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）简便方法计算： (1) (2)． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海普陀·期中）用乘法公式计算：． 【题型3平方差公式的几何背景】 【典例3】（24-25七年级上·江西赣州·期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 【变式3-1】（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述过程能验证的等式是_________； (2)若，求的值； (3)． 【变式3-2】（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示S1与S2的面积： ， ． (2)根据图1与图2的面积关系，得到等式： ；运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形：． (3)运用上述方法计算． 【变式3-3】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则 ， ； (2)请你判断与之间的大小关系： （填“”、“”或“”）； (3)利用（2）中的结论，求的值． 考点3：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 考点4：拓展、补充公式 ；； ；. 【题型4 完全平方公式】 【典例4】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-1】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【变式4-2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 【典例5】（24-25七年级上·广东广州·期中）图1是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线将这个长方形均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于______； (2)观察图2，写出代数式，，之间的等量关系______： (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①若，，则______． ②若，，求的值． 【变式5-1】（24-25八年级上·广西南宁·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个大正方形．    (1)图2中大正方形的边长为________，阴影部分的正方形的边长是________；（用含a、b的式子表示） (2)观察图2，用一个等式表示下列三个整式：、、之间的等量关系； (3)根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 【变式5-2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）（1）【问题呈现】 已知，，求下列各代数式的值：①；    ②． （2）【问题推广】 若，则________； （3）【问题拓展】 如图，已知E，F分别是正方形的边，上的点，且，，长方形的面积是20，分别以，为边长作正方形和正方形，直接写出阴影部分的面积． 【变式5-3】（24-25八年级上·吉林长春·期中）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，求的值． (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积． (3)若，则的值为 ． 【题型6 完全平方公式的逆运算】 【典例6】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）已知，求 (1)； (2) 【变式6-2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【变式6-3】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 【典例7】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）若是完全平方式，则的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【变式7-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若是一个完全平方式，则m的值应为（   ） A． B．8 C． D．16 【变式7-2】（24-25八年级上·青海果洛·期末）若能写成一个多项式的平方形式，则 ． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海·假期作业）若是一个完全平方式，则 ． 【题型8 整式乘法的混合运算】 【典例8】（24-25八年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【变式8-1】（24-25八年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) 【变式8-2】（24-25八年级上·北京·期中）计算 (1) (2) (3) 【变式8-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【题型9整式乘法的化简求值】 【典例9】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中， 【变式9-1】（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式9-2】（2024·广西南宁·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式9-3】（23-24七年级下·河南郑州·期末）先化简，再求值：，其中，． 一、单选题 1．（24-25八年级上·海南·期中）下列整式的乘法计算中能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个因式分解的等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）下列多项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 5.（2024八年级上·黑龙江·专题练习）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·四川绵阳·周测）如果是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A． B．35 C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为 ． 8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： ． 9．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 10．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，，则 ． 11．（24-25八年级上·广东广州·期末）学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为，宽为的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式，，之间的等量关系 ； 三、解答题 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1)； (2)． 13.【观察】如图①是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出，，之间的等量关系____________________________； 【应用】若，，则_______________； 【拓展】如图③，正方形的边长为x，，，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 乘法公式 【题型1 平方差公式运算】 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 【题型3 平方差公式的几何背景】 【题型4 完全平方公式】 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 【题型6 完全平方公式的逆运算】 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 【题型8 整式乘法的混合运算】 【题型9整式乘法的化简求值】 考点1：平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 考点2：平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2 x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 【题型1 平方差公式运算】 【典例1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）直接运用平方差公式展开； （2）先根据平方差公式展开得到原式，然后根据幂的乘方法则运算； （3）先提负号得到原式，然后根据平方差公式计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式：，根据平方差公式即可判断． 【详解】解：A.，故A能用平方差公式，不符合题意； B. ，故B能用平方差公式，不符合题意； C. ，故C能用平方差公式，不符合题意； D. ，故D不能用平方差公式，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·全国·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式得出，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 利用平方差公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 【典例2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 【答案】(1)9999 (2)1 (3) 【分析】本题考查了平方差公式，同底数幂的乘法，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据平方差公式运算即可； （2）先根据平方差公式计算，再算加减； （3）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式2-1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）运用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算，平方差公式的应用．根据平方差公式得出，然后进行计算即可． 【详解】解：原式 【变式2-2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）简便方法计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两个有理数的乘法运算，含乘方的有理数混合运算，平方差公式等知识点，运用平方差公式简化运算是解题的关键． （1）将写成，然后利用平方差公式进行计算即可； （2）先提取公因数，将原式写成，然后对括号内的部分使用平方差公式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海普陀·期中）用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法，平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的运算法则．利用平方差公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 【题型3平方差公式的几何背景】 【典例3】（24-25七年级上·江西赣州·期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 【答案】(1)； (2) (3)1275 【分析】（1）大正方形面积为，小正方形的面积为，作差即可； 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可； （2）根据第（1）小题发现的规律写出等量关系即可； （3）每两个数为一组按照根据第（2）小题写出的规律进行变形，问题即可解决． 【详解】（1）解：小明的方法：大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 小红的方法：长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为． （2）解：这三个代数式之间的数量关系为： ； （3）解： ． 【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律． 【变式3-1】（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述过程能验证的等式是_________； (2)若，求的值； (3)． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积． （1）根据图形面积相等即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：上述过程能验证的等式是， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ∴； （3）解： ． 【变式3-2】（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示S1与S2的面积： ， ． (2)根据图1与图2的面积关系，得到等式： ；运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形：． (3)运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2)； (3)39999 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，解题的关键是： （1）图1阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，图2阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此求出两幅图中阴影部分面积； （2）根据（1）中两部分阴影面积相等即可得到对应的公式； （3）根据（2）的结论将原式变形，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得；， 故答案为：；； （2）解：∵图1和图2中阴影部分面积相同， ∴， 故答案为：；； （3）解： ． 【变式3-3】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则 ， ； (2)请你判断与之间的大小关系： （填“”、“”或“”）； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)8092 【分析】本题主要考查平方差公式与几何面积、列代数式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据正方形和长方形的面积可直接进行求解； （2）根据图形可得结论； （3）根据（2）中的结论可得，进而利用结论进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， 故答案为：，； （2）解：根据图形，图2的大长方形是边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将阴影部分剪拼成的， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）得， ∴ ． 考点3：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 考点4：拓展、补充公式 ；； ；. 【题型4 完全平方公式】 【典例4】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可； （3）运用完全平方公式进行计算即可； （4）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4-1】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据多项式乘以多项式的运算法则求解即可； （2）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后合并同类项； （3）首先根据平方差公式计算，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式4-2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先利用完全平方公式计算，然后合并即可求解； （2）先分组，再按照完全平方公式计算． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式及整式的加减，熟记公式是解答本题的关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 【典例5】（24-25七年级上·广东广州·期中）图1是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线将这个长方形均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于______； (2)观察图2，写出代数式，，之间的等量关系______： (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①若，，则______． ②若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①32；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，列代数式： （1）根据图形之间的关系列式求解即可； （2）图2中阴影部分的面积是边长为的正方形，图2中阴影部分的面积是边长为的正方形面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，分别用这两种方式表示出正方形面积即可得到答案； （3）根据（2）的结论列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图2中的阴影部分的正方形的边长等于； （2）解：图2中阴影部分的面积是边长为的正方形面积，则其面积为， 图2中阴影部分的面积是边长为的正方形面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，则其面积为， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴ 【变式5-1】（24-25八年级上·广西南宁·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个大正方形．    (1)图2中大正方形的边长为________，阴影部分的正方形的边长是________；（用含a、b的式子表示） (2)观察图2，用一个等式表示下列三个整式：、、之间的等量关系； (3)根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式、平方差公式的几何背景等知识，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据拼图可直接得出答案； （2）用代数式表示图形中各个部分的面积，根据各个部分面积之间的关系得出结论； （3）利用进行计算即可． 【详解】（1）解：由拼图可知，大正方形的边长为， 阴影部分的正方形的边长为 故答案为：，； （2）解：大正方体是边长， ∴面积为 各个部分的面积和为： ∴ ∴、、之间的等量关系为； （3）解： ． 【变式5-2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）（1）【问题呈现】 已知，，求下列各代数式的值：①；    ②． （2）【问题推广】 若，则________； （3）【问题拓展】 如图，已知E，F分别是正方形的边，上的点，且，，长方形的面积是20，分别以，为边长作正方形和正方形，直接写出阴影部分的面积． 【答案】（1）①13；②；（2）5；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用等知识点， （1）①根据恒等变形即可得解，②根据恒等变形即可得解； （2）设，，则，，由代入计算即可； （3）由题意得，正方形的边长为，正方形的边长为，，设，，则，，根据求出的值，再利用进行计算即可； 掌握完全平方公式的结构特征是正确解答此题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴①， ②∵ ∴； （2）设，，则，， ∴ ； （3）设正方形的边长为x， 由题意得，正方形的边长为，正方形的边长为， ∵长方形的面积是20， ∴， 设，，则，， ∴ ， ∴（负值舍去）， ∴ ． 【变式5-3】（24-25八年级上·吉林长春·期中）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，求的值． (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积． (3)若，则的值为 ． 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）根据完全平方公式变形，再将代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出，即可求解． （3）令，表示出，，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：． （2）解：根据题意可得： 图中阴影部分的面积． 根据题意，得， 即， ∵， ， 即． ∴图中阴影部分的面积． （3）解：令， 则， ∵， ∴， 则， 故答案为：13． 【题型6 完全平方公式的逆运算】 【典例6】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2)36 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）已知，求 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，用公式法解因式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）根据，即可解答； （2）根据，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了代数式求值，通过对完全平方公式变形求值，整式的加减运算等知识点，熟练掌握通过对完全平方公式变形求值是解题的关键． （1）利用完全平方公式将原式变形为，然后将，代入计算即可； （2）利用完全平方公式将，展开，两式相减即可求得． 【详解】解：（1），， ； （2），， ∴， 两式相减得：， ． 【变式6-3】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据可得，再将代入，即可求得答案； （2）根据，然后将，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴． 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 【典例7】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）若是完全平方式，则的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 故选：B． 【变式7-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若是一个完全平方式，则m的值应为（   ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，由此即可得． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-2】（24-25八年级上·青海果洛·期末）若能写成一个多项式的平方形式，则 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构形式是解题的关键． 利用完全平方公式即可解答． 【详解】解： 是完全平方式， ， ∴或5． 故答案为：或5． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海·假期作业）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【题型8 整式乘法的混合运算】 【典例8】（24-25八年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先运用多项式乘多项式，单项式除以单项式进行计算，再合并同类项即可； （2）先运用平方差公式，完全平方公式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-1】（24-25八年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式以及单项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． （1）利用单项式乘多项式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果； （2）利用多项式乘多项式，以及完全平方公式化简，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式8-2】（24-25八年级上·北京·期中）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式运算法则计算，即可解题； （2）根据多项式乘多项式运算法则计算，即可解题； （3）利用平方差公式，以及整式的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，积的乘方，单项式乘单项式，多项式乘多项式，平方差公式．正确按“先乘方，再乘法，最后算加减”的顺序及相关法则计算是解题的关键． 【变式8-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是整式的混合运算，熟记积的乘方运算法则，单项式乘以多项式，多项式除以单项式，乘法公式的运算法则是解本题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可； （3）先乘方，再根据多项式除以单项式的运算法则计算即可； （4）利用乘法公式计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型9整式乘法的化简求值】 【典例9】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算多项式乘多项式，再合并同类项，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式      ； 当，时， 原式           【变式9-1】（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】；0 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式，整式的化简求值是解题的关键． 根据完全平方公式，多项式乘以多项式计算，然后合并同类项，进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式9-2】（2024·广西南宁·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查代入求值，涉及整式的混合运算，先将原式化简，然后将的值代入求解． 【详解】解：∵ ， ∴当时，原式． 【变式9-3】（23-24七年级下·河南郑州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先利用完全平方公式、多项式乘以多项式去括号，再合并同类项，最后利用多项式除以单项式计算即可化简，代入，计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 当，时，原式． 一、单选题 1．（24-25八年级上·海南·期中）下列整式的乘法计算中能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公式判断解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A. 不符合公式，本选项错误；     B. 不符合公式，本选项错误；     C. 符合公式，本选项正确；         D. 不符合公式，本选项错误；     故选：C． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴原式， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个因式分解的等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形．解题的关键在于正确表示两个图形中阴影部分的面积．根据阴影部分面积相等列等式即可． 【详解】解：由面积相等可知， 故选：C． 4．（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）下列多项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项逐项判断即可． 【详解】解：A．，是完全平方式，故本选项符合题意； B．只有两项，不是完全平方式，故本选项不符合题意； C．只有两项，不是完全平方式，故本选项不符合题意； D．是完全平方式，而不是完全平方式，故本选项不符合题意； 故选：A． 5.（2024八年级上·黑龙江·专题练习）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式展开求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 6．（23-24八年级上·四川绵阳·周测）如果是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A． B．35 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，式中首尾两项分别是和的平方，所以中间项应为加上或减去和的乘积的2倍，即可得到结果，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解∶∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式及积的乘方，根据平方差公式及积的乘方运算法则计算即可得答案．熟练掌握平方差公式为是解题关键． 【详解】解： ． 故答案为： 9．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查完全平方公式．熟练掌握完全平方公式及它变形后的形式是解题关键． 根据完全平方公式即可得出，从而可得出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 11．（24-25八年级上·广东广州·期末）学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为，宽为的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式，，之间的等量关系 ； 【答案】 【分析】本题考查乘法公式与图形面积关系，根据图形面积及面积和找到关系式， 【详解】解：由图形面积得： ， 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法公式、单项式乘以多项式，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键． （1）先计算平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得； （2）先计算完全平方公式，再计算整式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13.【观察】如图①是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出，，之间的等量关系____________________________； 【应用】若，，则_______________； 【拓展】如图③，正方形的边长为x，，，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】观察：；应用：；拓展：900 【分析】观察：根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，可得答案； 应用：将，代入（1）中公式即可求解； 拓展：由正方形的边长为x，则，，得，设，，，得，则，代入即可． 【详解】解：观察：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积， ∴， 故答案为：； 应用：∵， ∴， 将，代入得：， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展：∵正方形的边长为x， ∴，， ∴， 设，，， ∴， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积为900． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，解题的关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$