第01讲 整式的乘法（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版2024）

第01讲 整式的乘法 【题型1 单项式乘单项式】 【题型2利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【题型3 单项式乘多项式】 【题型4利用单项式乘多项式求字母的值】 【题型5 多项式乘多项式】 【题型6 多项式乘多项式-不存在某项问题】 【题型7 多项式乘多项式的实际应用】 考点1：单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【题型1 单项式乘单项式】 【典例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) 【变式1-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式1-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式1-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【题型2利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例2】（2023七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 【变式2-1】（23-24八年级上·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式2-2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【变式2-3】（2023七年级下·江苏·专题练习）若，求的值． 考点2：单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 【题型3 单项式乘多项式】 【典例3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）计算． 【变式3-2】（2023八年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式3-3】（23-24八年级上·全国·课后作业） （1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【题型4利用单项式乘多项式求字母的值】 【典例4】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式4-1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【变式4-2】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【变式4-3】（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则 ． 考点4：多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【题型5 多项式乘多项式】 【典例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 【变式5-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）化简：． 【变式5-2】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式5-3】【（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型6 多项式乘多项式-不存在某项问题】 【典例6】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【变式6-1】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）已知的展开式中不含项，常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 【变式6-2】（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知关于的代数式的中不含项与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【变式6-3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【题型7 多项式乘多项式的实际应用】 【典例7】（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，某城市广场是一个长方形，长为，宽为．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为、（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元，求市民活动区域铺设地砖的费用． 【变式7-1】（23-24八年级上·福建厦门·期中）有甲、乙两块草地，其长和宽的数据如图所示． (1)求甲草地的面积（用含m的代数式表示）． (2)若再开辟一块正方形草地，周长与乙草地的周长相等． ①求该正方形草地的边长（用含m的代数式表示）： ②若将正方形草地的面积记为，乙草地的面积记为，请比较与的大小，并说明理由． 【变式7-2】（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论． 例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式． 例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式． (1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ． (2)已知，请利用（1）中的结论，求的值． 【变式7-3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：． 把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式：___________． (2)如图（3），中，，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长； (3)如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”求证：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·重庆合川·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若将展开的结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．8 B． C．0 D．8或 3．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）把代数式变形为所运用的根据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律D．乘法交换律和分配律 4．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在长为，宽为的长方形空地上规划一块长方形花园（阴影部分），花园的北面和东、西面都留有宽度为的小路（空白部分），则花园的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若则的值为 7．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）我国宋代数学家杨辉发现了 展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是 ． 8．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片 张． 三、解答题 9．（24-25八年级上·云南保山·阶段练习）计算： (1) (2) 10（24-25八年级上·北京·期中）计算： (1) ． (2) (3)． 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，哈尔滨某小区计划在空地处规划一块带甬道的草坪（空白处为甬道，阴影部分为草坪），其中长方形场地的长：，宽：，两条甬道的宽分别为a，b，单位：米． (1)用含a、b的式子表示出草坪面积（结果化为最简形式）； (2)若，，求出草坪总面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 整式的乘法 【题型1 单项式乘单项式】 【题型2利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【题型3 单项式乘多项式】 【题型4利用单项式乘多项式求字母的值】 【题型5 多项式乘多项式】 【题型6 多项式乘多项式-不存在某项问题】 【题型7 多项式乘多项式的实际应用】 考点1：单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【题型1 单项式乘单项式】 【典例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘法综合．熟练掌握单项式乘以单项式法则，同底数幂乘法的运算法则，幂的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则，是解决问题的关键． （1）根据单项式乘以单项式运算法则得出即可； （2）应把与分别看成一个整体，那么此题也属于单项式的乘法，可以根据单项式乘以单项式运算法则以及同底数幂的乘法运算法则得出即可； （3）先根据积的乘方的法则与幂的乘方的法则计算，再根据单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的乘法运算法则运算得出即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，单项式乘单项式，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则；根据相关运算法则计算各项，再合并同类项，即可解题． 【详解】解： ． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，先根据单项式乘单项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可．解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【详解】解： ． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，先计算单项式乘以单项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 【题型2利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例2】（2023七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 【答案】． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2-1】（23-24八年级上·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 【变式2-2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【变式2-3】（2023七年级下·江苏·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】首先利用单项式乘法可得，进而得到，再把两个方程相加可得答案． 【详解】解：， 则， ∴， 即， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 考点2：单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 【题型3 单项式乘多项式】 【典例3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式， （1）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （2）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （3）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （4）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； 熟练掌握单项式乘多项式的法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3-1】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，单项式乘以多项式是把单项式与多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加，解决本题的关键是根据单项式乘以多项式的法则进行计算． 【详解】解： ． 【变式3-2】（2023八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）利用单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （3）利用单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （4）利用单项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式3-3】（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）先计算单项式乘以单项式及多项式，然后合并同类项计算即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以多项式即可； （4）先计算单项式乘以多项式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式 ． （4） ． 【点睛】题目主要考查单项式乘以单项式及多项式，合并同类项等的运算法则，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 【题型4利用单项式乘多项式求字母的值】 【典例4】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【变式4-1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴， ∴， 故选：C． 【变式4-2】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式4-3】（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 考点4：多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【题型5 多项式乘多项式】 【典例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； 【详解】（1）解： ； （2） 【变式5-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）化简：． 【答案】． 【分析】此题考查了整式的运算，根据多项式乘以多项式，去括号法则以及合并同类项法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ． 【变式5-2】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键． （1）运用多项式乘以多项式的法则解题即可； （2）运用多项式乘以多项式的法则解题即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式5-3】【（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）多项式与多项式的乘法法则计算即可； （2）先多项式与多项式的乘法法则和单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可； （3）多项式与多项式的乘法法则计算即可； 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【题型6 多项式乘多项式-不存在某项问题】 【典例6】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的四则混合运算、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则，正确得到a、b的方程是解答的关键，尤其（2）中利用积的乘方的逆运算求解是关键． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的a和b的值，即可解答． 【详解】（1）解： ， ∵不含和常数项， ∴，， ∴，． （2）解：， 由（1）知，， 原式． 【变式6-1】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）已知的展开式中不含项，常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式化简求值，多项式中不含某个字母问题； （1）用多项式乘以多项式法则，去括号，合并同类项使得含有的项系数为，即可求解； （2）用多项式乘以多项式法则，去括号，合并同类项，，的值代入计算，即可求解； 理解多项式中不含某个字母无关的就是使得含有该字母的项系数为是解题的关键． 【详解】（1）解： 不含项，常数项是， ， 解得：， 故：，； （2）解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【变式6-2】（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知关于的代数式的中不含项与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，，即可得出，的值； （2）将，的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 不含项与项， ， 解得：； （2）解：． 【变式6-3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含与项，得到与项的系数为0，进行求解即可； （2）先化简，再把，的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵积中不含与项 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴ ， ． 【题型7 多项式乘多项式的实际应用】 【典例7】（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，某城市广场是一个长方形，长为，宽为．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为、（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元，求市民活动区域铺设地砖的费用． 【答案】(1)音乐喷泉池的占地面积为 (2)市民活动区域铺设地砖的费用为元 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列式，再根据多项式乘多项式计算即可； （2）先根据题意列式求出市民活动区域的面积，再列式计算求出铺设地砖的费用即可． 【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为 ． 答：音乐喷泉池的占地面积为． （2）解：由题可得市民活动区域的面积为 ． 市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元， ． 答：市民活动区域铺设地砖的费用为元． 【变式7-1】（23-24八年级上·福建厦门·期中）有甲、乙两块草地，其长和宽的数据如图所示． (1)求甲草地的面积（用含m的代数式表示）． (2)若再开辟一块正方形草地，周长与乙草地的周长相等． ①求该正方形草地的边长（用含m的代数式表示）： ②若将正方形草地的面积记为，乙草地的面积记为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②，见解析 【分析】本题主要考查整式混合运算的应用，掌握整式混合运算法则和乘法公式是关键． （1）根据长方形的面积公式即可得到答案； （2）①乙草地的周长即可求解；②利用作差法即可求解． 【详解】（1）甲草地的面积； （2）①乙草地的周长，正方形草地的周长和乙草地周长相等， 正方形草地的边长； ②正方形草地的面积， 乙草地的面积， ， ． 【变式7-2】（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论． 例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式． 例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式． (1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ． (2)已知，请利用（1）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解． 【详解】（1）解：由图得 ； 故答案：； （2）解：由（1）可知： ，， ， 解得：． 【变式7-3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：． 把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式：___________． (2)如图（3），中，，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长； (3)如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等分析、推理和计算． （1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大长方形的面积也可以为，列出等量关系即可； （2）根据，代入数值解之即可； （3）由和三角形面积公式即可得证． 【详解】（1）如图（2），大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和， 即， 同时大长方形的面积也可以为， 所以； 故答案为：； （2）如图（3），中，，，，， ， ； 答：的长为； （3）证明：如图（4）， ，，，垂足分别为点，，， ， ， ， ． 即． 一、单选题 1．（24-25九年级上·重庆合川·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若将展开的结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．8 B． C．0 D．8或 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含的一次项，确定出的值即可． 【详解】解：原式， 由结果不含的一次项，得到， 解得：． 故选：A． 3．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）把代数式变形为所运用的根据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的运算，是单项式与多项式相乘，可以根据乘法分配律进行计算． 【详解】解：把代数式变形为所运用的根据是分配律， 故选：C． 4．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式法则计算等式的左边，再与等式的右边比较系数即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ， 故选：C． 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在长为，宽为的长方形空地上规划一块长方形花园（阴影部分），花园的北面和东、西面都留有宽度为的小路（空白部分），则花园的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，列代数式等知识点，熟练掌握利用多项式乘多项式表示图形面积是解题的关键：将题中涉及的面积用未知量表示出来，应用整式的乘法公式等运算法则进行化简，并代值求解，有时还会用到整体代入的方法． 根据题意可得，该花园的长为，宽为，然后根据“该花园的面积长宽”即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得： 该花园的长为，宽为， 该花园的面积为： ， 故选：． 二、填空题 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若则的值为 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）我国宋代数学家杨辉发现了 展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，解题的关键是数形结合．通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解． 【详解】解展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， ， 展开式的系数和是， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片 张． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘法，由，得A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为，因此需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片5张． 【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：， ∵A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为， ∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片5张． 故答案为：5． 三、解答题 9．（24-25八年级上·云南保山·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方，再合并同类项即可得解； （2）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10（24-25八年级上·北京·期中）计算： (1)． (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法，掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算积的乘方，再根据单项式与单项式的乘法法则计算即可； （2）根据单项式与多项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，哈尔滨某小区计划在空地处规划一块带甬道的草坪（空白处为甬道，阴影部分为草坪），其中长方形场地的长：，宽：，两条甬道的宽分别为a，b，单位：米． (1)用含a、b的式子表示出草坪面积（结果化为最简形式）； (2)若，，求出草坪总面积． 【答案】(1) (2)81 【分析】本题主要考查整式乘除的应用，熟练掌握整式乘除运算法则是解题的关键． （1）根据题意表示出面积，再进行化简即可； （2）代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴草坪总面积为平方米． （2）解：当，时，原式， ∴草坪总面积为81平方米． 学科网（北京）股份有限公司 $$