专题02 乘法公式（九大题型）（题型专练）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版2024）

专题02乘法公式（九大题型） 【题型1 平方差公式运算】 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 【题型3 平方差公式的几何背景】 【题型4 完全平方公式】 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 【题型6 完全平方公式的逆运算】 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 【题型8 整式乘法的混合运算】 【题型9整式乘法的化简求值】 【题型1 平方差公式运算】 1．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； C、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； D、，能用平方差公式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．计算的结果等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．，直接利用平方差公式求解即可． 【详解】 故答案为： 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记平方差公式是正确解题的关键．平方差公式．完全平方和公式，完全平方差公式． 【详解】解：． 故答案为： ． 4．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式是解题关键．根据平方差公式，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：3． 5．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式乘法公式，将原式变形为，再利用平方差公式运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．若满足，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，由已知可得，，再利用平方差公式可得，代入数值计算即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴由②得，， ∴， 故答案为：． 7．计算：＝ ． 【答案】4； 【分析】本题主要结合了平方差公式考查了二次根数的运算；利用平方差公式即可求解． 【详解】解： = = = 故答案为：． 8．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行求解即可得出结果． 【详解】解：∵，且， ∴； 故答案为：． 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 9．计算的结果为 ． 【答案】478000 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：478000． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键． 首先将原式变形为，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 11．计算： 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟悉公式特点并逆用是关键；把每个因数逆用平方差公式，表示为两数的差与两数的和的形式，再约分即可． 【详解】解： ． 12．利用公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方差公式简化运算，熟记平方差公式是解决问题的关键． （1）根据题目式子的结构特征，将式子化为，利用平方差公式求解即可得到答案； （2）直接利用平方差公式变形求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型3 平方差公式的几何背景】 13．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），可以验证等式（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 【详解】解：由左图可得：阴影部分的面积为； 由右图可得：阴影部分的面积为：； ∴． 故选：A． 14．综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）分别用代数式表示图形中阴影部分的面积即可； （2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图形中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，也可以拼成底为，高为的平行四边形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）原式 ． （3）原式 ． 15．（1）通过观察比较甲、乙两图的阴影部分面积，可以得到的整式乘法公式为 （用式子表示）． （2）运用你得到的公式，计算下列各题： ①； ② 【答案】（1）（2）①  ② 【分析】本题考查整式的运算法则，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键； （1）利用平方差公式即可求解； （2）①利用平方差公式求解即可；②把看做整体，然后利用平方差公式求解即可； 【详解】解：（1）   （2）① ② 16．如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母a、b的代数式表示此长方形的面积为__________． (2)比较（1）中的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式__________． (3)【问题解决】利用（2）中的公式解决问题∶ ①已知，则的值为__________； 观察下列计算结果∶ ②用你发现的规律并结合（2）的公式，直接写出下面这个算式的结果，井写出这个结果的个位数字．_________；其个位数字是∶_________． 【答案】(1)； (2) (3)①3；②，5 【分析】此题考查了平方差公式的应用，涉及了有理数的乘方运算． （1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，故阴影部分面积等于，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，得长方形面积为． （2）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，故． （3）①根据平方差公式，进行计算即可求解；②连续使用平方差公式，进而即可求解． 【详解】（1） 拼接后的长方形长为、宽为． ∴ 故答案为：；； （2）∵阴影部分图形拼接前后，面积不变， ∴． （3）解：①∵，， ∴ ∴， 故答案为：3． ②原式 又∵（为正整数）的个位数字依次是、、、、、、、以、、、为一个循环，， ∴的个位数字是，则的个位数字是5． 故答案为：，5． 17．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是______（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是______，长是______，面积是______．（写成多项式乘法形式） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (4)请应用这个公式完成下列各题： 已知，，则______． 计算：． 【答案】(1)； (2)，，； (3)； (4) ； ． 【分析】（）根据图形即可求解； （）根据图形即可求解； （）由（）（）的结果即可求解； （）利用平方差公式计算即可求解； 把转化为，再利用平方差公式计算即可求解； 本题考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，掌握平方差公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积是， 故答案为：； （2）解：它的宽是，长是，面积是， 故答案为：，，； （3）解：由图、图阴影部分的面积可得，， 故答案为：； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ， ， ． 【题型4 完全平方公式】 18．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式展开求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 19．若，则p的值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 已知等式左边利用平方差公式化简，再利用多项式相等的条件求出p的值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：0． 20．用简便方法计算： ． 【答案】3996001 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式并灵活运用是解答的关键．先把8写成的形式，再根据完全平方公式把整理成两数差的平方的形式，然后再把1999写成，根据完全平方公式展开进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 21．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，先将看成整体利用完全平方公式化简，然后再次运用完全平方公式和去括号法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 22．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 【答案】(1)；；，详见解析 (2)，详见解析 (3)为1或5，详见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的几何图解法及应用等知识点， （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释； （2）图③的面积计算有两种方法，方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是，方法二是组成大长方形的各个小长方形或正方形的面积和等于大长方形的面积，故而得到了代数恒等式； （3）由（1）知：，结合为负整数分类讨论即可得解； 熟练掌握数形结合的思想是解决此题的关键． 【详解】（1）方法1：阴影部分是一个正方形，边长为，根据阴影部分正方形面积计算公式得， 方法2：大正方形边长为，面积是：，四个长为m，宽为n的长方形的面积是，阴影部分的面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积为， 方法1与方法2均为求图②中阴影部分的面积，所以结果相等，即， 故答案为：；；； （2）计算图③的面积计算有两种方法， 方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是， 方法二是：组成图③的各部分图形：2个边长为m的正方形的面积，3个长为m，宽为n的长方形的面积即，1个边长为n的正方形的面积，他们的面积和是：，方法一和方法二的计算结果相等， ∴； （3）由（1）知：， ∵， ∴ ， ∴， ∵为负整数， ∴且能被4整除， ∴当时，， 当时，， 综上：为1或5． 23．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1： ；方法2： ； (2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． 【答案】(1)； (2) (3)①1；②9 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解： （1）表示出阴影部分的边长，然后分别利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；利用正方形的面积公式列式； （2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答； （3）①根据（2）的结论代入进行计算即可得解；②根据（2）的结论代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：图②中阴影部分的面积： 方法1：， 方法2：； 故答案为：；； （2）解：； （3）解：①∵， ∴； ②． 【点睛】​ 24．数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．    (1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张． (3)根据题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)①的值为；② 【分析】本题考查完全平方公式的意义和应用； （1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系； （2）计算的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张； （3）①根据题（1）公式计算即可；②令，从而得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：； 因此有； （2）解：， 需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张， 故答案为：； （3）解：，，， ， ，即的值为； 令， . . . ， . . . ， ， ， 解得． ． ． 25．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） (1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，则______； (3)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案； （2）由（1）可得出，据此即可得出答案； （3）根据完全平方公式得出 ，再代入，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为， 由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和， 即． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． ∴． 故答案为：； （3）解：∵ ， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 26．阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以 解决问题 （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．    【答案】（1）120；（2）2019；（3）21． 【分析】（1）根据举例，利用换元法进行解答即可； （2）设，则，，可得，代入c−d=2可求得cd，即可求得结果； （3）根据已知可得，，可表示出构成阴影部分的四个图形的边长，进而表示出这四个图形的面积，由长方形EFGD的面积是5，得到，设，，从而得到ab=5，，根据举例求出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：（1）设，， 则，， ∴ （2）设， 则，， ∴， 即 解得：，即； （3）正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2， ∴，， ∵NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，长方形EFGD的面积是5， ∴，， ∴ S长方形DEFG=，S正方形MEDQ=，S正方形NGDH=，S长方形PQDH=， 设，，则，， ∴阴影部分的面积= S长方形DEFG+ S正方形MEDQ+ S正方形NGDH+ S长方形PQDH ∵，即， 解得：， ∴，即阴影部分的面积为21． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式． 27．如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为 的大正方形，两块是边长都为 的小正方形，五块是长宽分别是 、 的全等小矩形，且． (1)用含的代数式表示切痕的总长为 ; (2)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求该矩形大铁皮的周长． 【答案】（1）；（2）84 【分析】（1）根据切痕长有两横两纵列出算式，再根据合并同类项法则整理即可； （2）根据小矩形的面积和正方形的面积列出算式，再利用完全平方公式整理求出m+n的值，然后根据矩形的周长公式整理求解即可． 【详解】解：（1）切痕总长=2[（m+2n）+（2m+n）]， =2（m+2n+2m+n）， =6m+6n； 故答案为：6m+6n； （2）由题意得：mn=48，2m2+2n2=200， ∴m2+n2=100， ∴（m+n）2=m2+n2+2mn=196， ∵m+n＞0， ∴m+n=14， ∴周长=2（m+2n+2m+n）=6m+6n=6（m+n）=84（cm）． 【点睛】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形周长和面积展开分析． 【题型6 完全平方公式的逆运算】 28．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）实数，满足，，且，则的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，利用完全平方公式得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 又∵， ∴ 故选：A． 29．（24-25八年级上·天津·期末）若，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算，根据，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：13． 30．（24-25八年级上·吉林·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式及求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 31．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式得到求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 故答案为：． 32．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式．根据得出，即可求出，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，将所求代数式化成用与表示的形式，然后把已知代入即可求解，熟练掌握公式及公式的变形是解题的关键． 【详解】解：由， ∵，， ∴， 故答案为：． 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 34．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若是一个完全平方式，则常数k的值为（   ） A．4 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用．根据完全平方公式的结构即可求得． 【详解】解：因为是一个完全平方式， 所以， 故选：C． 35．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若是一个完全平方式，则k的值是（    ） A．12 B． C．9 D．36 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴； 故选B． 36．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，则a的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，将展开，再比较系数即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 37．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若是关于的完全平方式，则的值是（　　） A．7或 B． C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个．根据完全平方式得出，再求出即可． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴， ∴， ∴ 解得或， 故选：A． 38．（24-25八年级上·北京·期中）若是完全平方式，则常数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握完全平方式的特征：如果一个多项式是是完全平方式，则有如下特征：①该多项式有三项；②两项同号且能写成某数（或式）的平方‌；③第三项是这两数（或式）的积的倍．据此解答即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴常数的值为． 故答案为：． 【题型8 整式乘法的混合运算】 39．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘单项式，整式的混合运算，掌握运算法则是解题关键． （1）根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）先计算多项式乘法和完全平方公式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据幂的乘方的法则，得，再结合同底数幂相乘得，再合并同类项即可； （2）先根据积的乘方的法则，得，再结合单项式乘单项式得，然后合并同类项即可； （3）先根据单项式乘多项式法则，得，再合并同类项，即可作答； （4）先根据完全平方公式以及平方差公式法则，得，再合并同类项，得，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、同底数幂相乘、幂的乘方，完全平方公式以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 41．计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握平方差、完全平方公式及相关运算法则． （1）先算乘方，再算乘除法，然后合并同类项即可； （2）先用平方差、完全平方公式展开，再去括号合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 42．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据完全平方公式和多项式除以单项式法则展开，然后合并同类项即可； （2）先计算积的乘方，单项式乘以多项式，单项式除以单项式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算； （1）根据积的乘方法则计算即可求解； （2）根据多项式乘多项式的法则计算即可求解； （3）根据多项式除以单项式的法则计算即可求解； （4）利用完全平方公式、单项式乘多项式法则计算，然后合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型9整式乘法的化简求值】 44．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，及求代数式的值；正确运算是关键；分别用多项式乘多项式法则及完全平方公式展开，再合并同类项，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 45．先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘除中的平方差公式、完全平方公式及多项式除以单项式法则，能够理解并应用公式与法则计算是本题的关键．注意‘先化简，再求值’一定要先进行整式的乘除再代入求值，切勿直接代入求值. 先利用完全平方公式： 、平方差公式：对中括号中的整式进行计算，合并同类项后再应用多项式除以单项式法则化简，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时， ． 46．先化简，再求值：，其中． 【答案】，36 【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】 当时，原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02乘法公式（九大题型） 【题型1 平方差公式运算】 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 【题型3 平方差公式的几何背景】 【题型4 完全平方公式】 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 【题型6 完全平方公式的逆运算】 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 【题型8 整式乘法的混合运算】 【题型9整式乘法的化简求值】 【题型1 平方差公式运算】 1．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果等于 ． 3．计算： ． 4．若，，则 ． 5．计算： ． 6．若满足，则式子的值为 ． 7．计算：＝ ． 8．若，则的值为 ． 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 9．计算的结果为 ． 10．计算： ． 11．计算： 12．利用公式计算： (1)； (2)． 【题型3 平方差公式的几何背景】 13．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），可以验证等式（   ）    A． B． C． D． 14．综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 15．（1）通过观察比较甲、乙两图的阴影部分面积，可以得到的整式乘法公式为 （用式子表示）． （2）运用你得到的公式，计算下列各题： ①； ② 16．如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母a、b的代数式表示此长方形的面积为__________． (2)比较（1）中的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式__________． (3)【问题解决】利用（2）中的公式解决问题∶ ①已知，则的值为__________； 观察下列计算结果∶ ②用你发现的规律并结合（2）的公式，直接写出下面这个算式的结果，井写出这个结果的个位数字．_________；其个位数字是∶_________． 17．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是______（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是______，长是______，面积是______．（写成多项式乘法形式） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (4)请应用这个公式完成下列各题： 已知，，则______． 计算：． 【题型4 完全平方公式】 18．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 19．若，则p的值是 ． 20．用简便方法计算： ． 21．计算： ． 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 22．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 23．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1： ；方法2： ； (2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． 24．数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．    (1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张． (3)根据题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 25．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） (1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，则______； (3)拓展应用：若，求的值． 26．阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以 解决问题 （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．    27．如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为 的大正方形，两块是边长都为 的小正方形，五块是长宽分别是 、 的全等小矩形，且． (1)用含的代数式表示切痕的总长为 ; (2)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求该矩形大铁皮的周长． 【题型6 完全平方公式的逆运算】 28．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）实数，满足，，且，则的值是（   ） A． B． C． D．或 29．（24-25八年级上·天津·期末）若，则的值为 ． 30．（24-25八年级上·吉林·期末）若，，则 ． 31．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，则 ． 32．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知，则 ． 33．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）已知，，则 ． 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 34．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若是一个完全平方式，则常数k的值为（   ） A．4 B． C． D．无法确定 35．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若是一个完全平方式，则k的值是（    ） A．12 B． C．9 D．36 36．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，则a的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 37．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若是关于的完全平方式，则的值是（　　） A．7或 B． C．7 D．6 38．（24-25八年级上·北京·期中）若是完全平方式，则常数的值为 ． 【题型8 整式乘法的混合运算】 39．计算： (1) (2) 40．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 41．计算： (1) (2) 42．计算． (1)； (2)． 43．计算 (1) (2) (3) (4) 【题型9整式乘法的化简求值】 44．先化简，再求值：，其中． ． 46．先化简，再求值：，其中． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$