浙江省台州市2024-2025学年高二上学期期末质量评估数学试题

市高二（上）数学期末质量评估试题 第 1页（共 4 页） 台州市 高二年级期末质量评估试题 数 学 2025. 01 命题：丁君斌（台州市第一中学） 王智宇（台州市路桥中学） 审题：陈清妹（台州中学） 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系Oxyz中，点 (1,2,3)A 在坐标平面 xOy内射影的坐标为 A． (0,1, 2) B． (1, 0,3) C． (1, 2, 0) D． (0, 0, 0) 2．已知直线 l的一般式方程为 2 6 0x y   ，则 A．直线 l的截距式方程为 1 6 3 x y    B．直线 l的截距式方程为 1 6 3 x y   C．直线 l的斜截式方程为 1 3 2 y x  D．直线 l的斜截式方程为 1 3 2 y x  3．已知椭圆的标准方程为 2 2 1 4 3 x y   ，下列说法正确的是 A．椭圆的长轴长为 2 B．椭圆的焦点坐标为 ( 7,0),( 7,0) C．椭圆关于直线 y x 对称 D．当点  0 0,x y 在椭圆上时， 0| 3|y  4．设等比数列  *( N )na n 的前 n项和为 nS ，若 2 3 3S a  ，则 4 3 S a 的值为 A．1 B． 2 C．3 D． 4 5. 台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会 10米气步枪比赛 1金 1银两块奖牌后，10米气步枪射击 项目引起了大家的关注.在 10米气步枪比赛中，瞄准目 标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来 实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点 A， B），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点 C）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态. 若某次射击达到三圆同心，且点 30, 2 A（ ），点 4 89 5 50 B（ ， ）， 则点 C的坐标为 A． 910, 2 （ ） B． 10,5（ ） C． 1110, 2 （ ） D． (10,6) 2024 学年 第一学期 （第 5题） 市高二（上）数学期末质量评估试题 第 2页（共 4 页） 6．在四面体OABC中， 0OA OB OA OC OB OC      uur uuur uur uuur uuur uuur ， | | | | 2OA OC  uur uuur ，若直线OC与平 面 ABC所成角为30，则 | |OB  uuur A．1 B． 2 C． 3 D．2 7. 已知等差数列  *( N )na n 的首项为 1a ，公差为 2 ，前 n项和为 nS ，数列{ }nb 满足： n nnb S ，则下列说法正确的是 A． 1 Ra  ，数列{ }nS 为递增数列 B． 1 Ra  ，使得数列{ }nb 为递减数列 C． 1 Ra  及正整数 , , (1 )p q r p q r   ，使得 , ,p q ra a a 成等比数列 D． 1 ( 1 +a  - ， ），数列{ }n na b 的最小项为 1 1a b 8．已知椭圆 2 2 2: 1(0 5)5 x yE b b     的左右焦点分别为 1 2,F F ，点 0 0( , )M x y 是椭圆 E上第一 象限的一点，△ 1 2MFF 的内心为 1 1( , )N x y ，若 0 15x x ，则椭圆 E的方程为 A． 2 2 1 5 x y  B． 2 2 1 5 2 x y   C． 2 2 1 5 3 x y   D． 2 2 1 5 4 x y   二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6 分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．关于曲线 2 2 22 1( , R, 0): Ax B Ay B A B     ，下列说法正确的是 A．若 0A B  ，则曲线表示圆 B．若 0AB  ，则曲线表示抛物线 C．若 0AB  ，则曲线表示椭圆 D．若 0AB  ，则曲线表示双曲线 10．对于数列  *( N )na n ，若存在正整数T，使得对于任意正整数 n，都有 n T na a  ，则称 数列 na 为周期数列.下列数列 na 中为周期数列的是 A． 1+( 1) 2 n na   B． 1 +1 12, 1n n a a a    C． π2 sin 2 n n na  D． 1 1 2 , 1, 1 , n n n a n a a n a        是奇数, 是偶数. 11．已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为1，M 为 1 1AD 的中点， N 为 1 1DC 的中点， P为 平面 1ACB 内的动点，则 A． 1MC //平面 1ACB B．平面 1 1ADD A与平面 1ACB 所成角的正切值为 2 C．若MP与 1BD 所成角为 π 3 ，则点 P的轨迹为圆 D．△MPN周长的最小值为 2 14 2  市高二（上）数学期末质量评估试题 第 3页（共 4 页） 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知双曲线 2 2 2 1( 0) yx b b    的离心率为 5，则b = ▲ . 13. 已知曲线 2 2 | | | |x y x y   ，则该曲线的一条对称轴方程为 ▲ .（写出满足条件的 一个方程即可） 14. 用max{ , }a b 表示两数 ,a b中的较大者，记 1 *max{3 1, 2 } ( 0, N )nnc n n       ，若 1 2 3 4 5 60c c c c c     ，则的取值范围是 ▲ . 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤。 15.（13分）已知直线 l： 4 0x y   ，圆C： 2 2( ) ( 2) 2x a y    . （1）若直线 l把圆C分成面积相等的两部分，求实数 a的值； （2）若直线 l与圆C相切，求实数a的值. 16．（15分）如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1 3AB AC AA   ， π 3 BAC  ， 1 1 3 BD BA uuur uuur . （1）用 AB uuur ， AC uuur ， 1AA uuur 表示CD uuur ； （2）求直线CD与直线 1AC 所成角的余弦值. 17.（15分）设函数 ( ) 2 1f x x  ， 2( ) 4 2 1g x x x   ，数列{ }na ， *{ }( N )nb n 满足： 1 3a  ， 1 1b   ， 2 1 ( ) ( ) 2 n n n f a g aa    ， 2 +1 ( ) [ ( )] 2 n n n g b f bb  . （1）若 0na  ，求数列{ }na 的通项公式； （2）求数列 2 *{ ( 1)}( N )n nb a n  的前 n项和 nS . （第 16题） 市高二（上）数学期末质量评估试题 第 4页（共 4 页） 18.（17分）动点 ( , )M x y 到直线 y x 与直线 y x  的距离之积为 1 2 ，记点 M的轨迹为曲线 E． （1）求曲线 E的方程； （2）若点 0 0( , )A x y 为曲线 E与抛物线 2 32 (0 ) 4 y px p   的一个公共点，点 (4 ,0)B p . ①求 0x 的取值范围；②当 0 0y  ，且 0 1y  时，求直线 AB斜率的取值范围. 19.（17分）把 n元有序实数组 1 2, , , )na a aL（ 称为 n维向量，类似平面向量与空间向量，对 于 n维向量 1 2 1 2( , , , ), ( , , , )n ni a a a j b b b  r r L L ，也可定义两个向量的加法运算和减法运算 1 1 2 2( , , , )n ni j a b a b a b     r r L ；数乘运算 1 2( , , , ) , Rni a a a      r L ；向量的长度（模） 2 1 | | n i i i a    r ；两个向量的数量积 1 | | | |cos , n i i i i j i j i j a b       r r r r r r （ ,i j  r r 表示向量 ,i j r r 的夹角， , [0, π]i j  r r ）；向量 j r 在向量 i r 上的投影向量的模 1 2 1 | | n i i i n i i a b a     . n维向量为我们解决数学问题 提供了更为广阔的思维空间. （1）已知 (1,2 3 4 5)m  ur , , , ， (1,1111)n  r ,,, ，求向量m ur ， n r 的夹角的余弦值； （2）已知 4维向量  1,2,3,0OA  uur ，  1,2,0,4OB  uuur ，  1,0,3,4OC  uuur ， (0,2,3,4)OD  uuur ， OP aOA bOB OcOC d D   uuur uur uuur uuur uuur ，且6 7 8 9 1a b c d    ，求 OP uuur 的最小值； （3） R( =1,2 , )ia i n L ， 1 0 n i i ia   ，求 1 2 1 | | n i i n i i a a     的最大值（用含 n的式子表示）. （注： 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 6 n n nn     L ） 市高二（上）数学期末质量评估试题参考答案 第 1页（共 4 页） 台州市 高二年级期末质量评估试题 数学参考答案及评分标准 2025.1 一、选择题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D D B B C D 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 题号 9 10 11 答案 AD ABD BCD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．2 13． y x ( 答案不唯一， , 0, 0y x x y    均可) 14． 15[ , ) 8  四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分 13分） 解：（1）由题意得，圆心  2,a 在直线 l上， ........................ 3分 即 02 a ， 2a . ........................ 6分 （2）圆C的半径为 2 ，圆心到直线 l的距离 2 2 2    a d ， ........................ 9分 解得 0a 或 4a . ......................13分 16. （本小题满分 15 分） 解：（1）   111 3 1 3 2 3 1 3 1 AAACABABAAACABBACBBDCBCD  ................... 5分 （2）设直线CD与直线 1AC 所成角为 ， 且 22 3 1 3 2 3 1 3 2 2 11        AAACABAAACABCD ， 231 AC ，... 8分   3 3 1 3 2 111        AAACAAACABACCD ， ................ 11分 所以 4 1cos 1 1    ACCD ACCD ， 所以直线CD与直线 1AC 所成角的余弦值为 4 1 . ................ 15分 （说明：建坐标系解答相应给分） 2024 学年 第一学期 市高二（上）数学期末质量评估试题参考答案 第 2页（共 4 页） 17.（本小题满分 15 分） 解：（1） 2 2 2 1 2 1 4 2 1 2 1 2 n n n n n a a aa a        得 2 21 1 2( 1)n na a    ， ...................... 2分 所以数列 2{ 1}na  是以 2为首项，2为公比的等比数列， 所以 2 2 1 11 ( 1) 2 n na a     ， 化简得 2 2 1nna   ， 因为 0na  ，所以{ }na 的通项公式为 2 1 n na   ； .........................6分 （2） 2 +1 ( ) [ ( )] 1 2 n n n n g b f bb b   ， 所以数列{ }nb 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列， 1 ( 1) ( 1)nb n n        ， .........................10分 2( 1) 2nn nb a n    ， 2 31 2 2 2 3 2 2nnS n         L ， 2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 2nnS n          L ， .........................13分 两式相减得 2 3 12 2 2 2 2n nnS n         L ， 所以 2 3 1 12 2 2 2 2 (1 ) 2 2n n nnS n n            L ， 故 1(1 ) 2 2nnS n     . .........................15分 18. （本小题满分 17分） 解：（1）由题意得 2 1 22     yxyx ， ......................2分 化简得 122  yx ， 故曲线 E 的方程为： 122  yx 或 122  xy . .......................5分 （2）①由（1）可知， 120 2 0  yx 或 1 2 0 2 0  xy ， 当 120 2 0  xy 时，由       0 2 0 2 0 2 0 2 1 pxy xy ， 得 0 2 0 2 1 x xp  ， 因为 4 3 p 时， 0x 无解（舍去）； ....................7分 当 120 2 0  yx 时，由       0 2 0 2 0 2 0 2 1 pxy yx ， 得 0 2 0 2 1 x xp  由 4 30  p ，得 21 0  x ， 市高二（上）数学期末质量评估试题参考答案 第 3页（共 4 页） 故 0x 的取值范围为 ]2,1( . .....................10分 ② 直线 AB的斜率 2 2 2 0 0 00 02 2 00 0 0 0 1 ( 1) ( 2) 14 24 2 AB x x xyk x xx p xx x          ，..............12分 令 202t x  ，则 [ 2,0) (0,1)t  U ， 所以 (2 )(1 ) AB t t k t    ， 当 (0,1)t 时， 21 12( ) 3( ) 1 0ABk t t     ， 当 [ 2,0)t  时， 21 12( ) 3( ) 1 3ABk t t       ， 所以直线 AB的斜率取值范围为 ( , 3] (0, )  U . ......................17分 19. （本小题满分 17分） （1） 1+2+3+4+5=15m n  ur r ， 2 2 2 2 2| |= 1 2 3 4 5 = 55m     ur ， | |= 5n r ， ...............................2分 所以 15 3 11cos , = 1155 5| || | m nm n m n       ur rur r ur r ， 所以向量 ,m n ur r 的夹角的余弦值为 3 11 11 . ............................4分 （2）由OP aOA bOB cOC dOD         ( ,2 2 2 ,3 3 3 ,4 4 4 )a b c a b d a c d b c d         ； 设 (1,1,1,1)k  r ， 则有 ( ) (2 2 2 ) (3 3 3 ) (4 4 4 )k OP a b c a b d a c d b c d               6 7 8 9 1a b c d     ， .........................6分 由 | | | | cos | | | |k OP k OP k OP k OP       r uuur r uuur r uuur r uuur ， 得2 | | 1OP   ， 故 OP  的最小值为 1 2 ；当且仅当 1 13 7 11, , , 9 144 144 144 a b c d     时取等. ................9分 （3）解法 1：设 1 1 2 2 3( , , , ), (1,1, ,1), (1,2, , )nn a a a n n n   ur uur uur L L L ， 1 1 2 2 1 1 | | | | | | n i i n i i a n n na       ur uur ur 表示向量 2n uur 在 1n ur 上投影向量的模. .........................11分 下求该投影向量模的最大值， 市高二（上）数学期末质量评估试题参考答案 第 4页（共 4 页） 设以 3n uur 为法向量的“平面”为 ， 因为 3 1 0n n  uur ur ，所以 1n ur 在“平面” 内， 设 2n uur 与“平面” 夹角为 ， 向量 2n uur 在 1n ur 上投影向量模的最大值为 2n uur 在“平面” 投影 2| | cosn  uur ， .................15分 故 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 | | 1 2 6 1sin | cos , | 2 2 1| | | | 1 1 1 1 2 n n n nn n nn n n                    uur uur uur uur L uur uur L L ， 2 3 3 1cos 1 4 2 4 2 n n n n        ，所以 2 1 ( 1)| | cos 4 2 4 2 n n nn n n n       uur ， 故 1 2 1 | | n i i n i i a a     的最大值为 ( 1) 4 2 n n n   . .........................17分 解法 2：因为 1 0 n i i ia   ，所以 1 1 (1 ) n n i i i i a ci a      对任意 Rc 恒成立， 取 3 2 1 c n   ， .........................11分 由 2 2 1 1 1 1 | | | (1 ) | (1 ) n n n n i i i i i i i a ci a ci a             ， .........................13分 得 2 21 12 2 1 | | ( 1) ( 1)(2 1 ( 1)(1 ) 2 = 2 6 4 2 n i n i n i i a n n n n n n nci n c c n a                    ） ， 当且仅当 31 2 1i a i n    时取等号， 故 1 2 1 | | n i i n i i a a     的最大值为 ( 1) 4 2 n n n   . .........................17分