第9章 平面向量（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第9章 平面向量（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以. 因为点为的中点，所以， 所以. 故选：B. 2．设向量.若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得：， 故选：A 3．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过这一问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为线段上一点，.若，则的值为(    ). A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得 ，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可. 【详解】建系如图，因为，，则，，，设， 则，，因为， 所以，解得， 由，得， 所以，解得，所以. 故选：. 4．已知向量，则在方向上投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助投影向量定义计算即可得. 【详解】. 故选：B. 5．若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积的坐标表示以及共线的坐标表示求解. 【详解】由，解得， 当时，，解得， 此时，，则共线且同向， 所以要使向量与的夹角为锐角， 则且， 故选:D. 6．已知平面向量满足：，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出的值，再代入向量的模长公式求解. 【详解】已知，两边同时平方可得：. 展开得到：. 因，则，上式化为：，即. . 故选：A. 7．在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由面积比得，再利用三角形相似得到，从而利用向量的线性运算得到的关系，进而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】根据题意，如图，连接，设与交于点， 过点作于点，过点作于点， 若面积是面积的2倍，即， 根据相似三角形的性质可知，， ， 设， ， 即，即， ， 当且仅当，即时取等号，的最小值为1. 故选：A. 8．如图，设，是平面内夹角为的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序数对叫做点在坐标系中的坐标.在该坐标系下，，，为不共线的三点，下列结论错误的是（    ）    A．线段中点的坐标为 B．重心的坐标为 C．，两点的距离为 D．若，则，，三点共线 【答案】C 【分析】依题意可得，，，根据平面向量线性运算判断A、B，表示出，再根据数量积的运算律判断C，根据向量共线定理判断D. 【详解】根据题意，，，， 对于A，设的中点为，则， 故线段中点的坐标为，故A正确．    对于B，设重心为，则 ， 故重心的坐标为，故B正确； 对于C，， 所以 = 即该坐标系中，两点间的距离为： ，故C错误； 对于D，，， 若，易得，则、、三点共线， 若，变形可得，所以， 所以，所以、、三点共线， 综合可得：若，则，，三点共线，故D正确． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键是对斜坐标的理解，灵活运用平面向量的相关知识解答即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组向量中，不能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合坐标运算，根据平面向量的基底定义逐个选项判断即可. 【详解】要使平面中两个向量作为基底， 必须满足是非零向量，且不共线，即不存在倍数关系，故A正确； 对于B，由，B正确； 对于D，由，D正确； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C错误. 故选：ABD 10．已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列正确的是（    ） A．∃λ使得||>|| B．△PCD的面积为定值 C．∠CPD的取值范围是[，] D．||的取值范围是[，] 【答案】BCD 【分析】对于A，根据正六边形的对称性判断即可；对于B，根据可得，从而确定在正六边形的对角线上运动，进而根据到的距离为定值判断即可；对于C，根据正六边形的对称性分析最值即可；对于D，根据当时，有最小值，点与点重合时，有最大值，判断即可. 【详解】 由可得， 即，可得， 对于A，因为正六边形关于对角线对称，故，故A错误； 对于B，在正六边形的对角线上运动， 所以到的距离为定值，所以的面积为定值，故B正确； 对于C，根据图形的对称性，当为中点时，取得最大值， 当与重合时取得最小值，即的取值范围是，故C正确； 对于D，因为正六边形边长为1，所以平行线的距离， 又当时，有最小值，当点与点重合时，有最大值，故D正确. 故选：BCD 11．若等边三角形的边长为为的中点，且交于点，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若点为的中点，则 C．为定值 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据平面向量基本定理可得A错误，利用共线定理可判断B正确，由数量积的定义以及运算律计算可得C正确，得出的表达式可得当时，的最小值为，即D正确. 【详解】如下图所示： 对于A，易知当时，可得， 所以，即A错误， 对于B，若点为的中点，可知， 又可知， 易知为共线向量，所以可知，解得，即B正确； 对于C，由可知： 为定值，即C正确； 对于D， ， 又，可得当时，取得最小值为，即D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】应用向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设，又， 所以，则. 故答案为： 13．设为非零向量与的夹角，定义：．若，，，则 ． 【答案】6 【分析】利用向量夹角公式求出，进而求出即可得解. 【详解】由，，，得，而， 因此，所以. 故答案为：6 14．如图所示，在正方形中，是的中点，在上且，与交于点，则 ． 【答案】/ 【分析】设，利用平面向量基底表示以及线性运算可得、，结合数量积的运算律、定义和诱导公式计算即可. 【详解】设，则， ， 设正方向边长为6，则， 所以 ， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及共线向量的坐标表示，列式计算即得. （2）由（1）中信息，利用垂直关系的坐标表示，列式计算即得. 【详解】（1）由，得， ，而， 则，所以. （2）由（1）知，，， 由，得， 所以. 16．如图，在等腰梯形ABCD中，，AC与EF交于点G，记． (1)试用基底表示； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可； （2）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面共线向量的性质、三角形面积性质进行求解即可 【详解】（1）由图可知， 因为，所以． 因为，所以 （2）由AC与EF交于点G，可设． ， ， 则解得 设边AB上的高为，边CE上的高为，则， 则． 17．如图，在直角梯形中，||＝2，，＝2，为直角，E为的中点，＝λ (，). (1)当时，用向量，表示向量； (2)求||的最小值，并指出相应的实数λ的值. 【答案】(1)＋ (2)， 【分析】（1）利用平面向量的线性运算求解即可； （2）用向量，表示向量，应用数量积运算先求的最小值，即可求出. 【详解】（1）解：因为当时，＝， 所以＝ (＋) ＝ [(－)＋(＋)] ＝ ＝＋ （2）因为＝(＋) ＝[(－)＋(＋)] ＝ ＝ ＝＋， 由于||＝2，，＝2，知||＝||＝2， ∴||2＝2＋2＋ ＝＝， 因为，所以当λ＝时，||2有最小值， 即||有最小值. 18．如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【详解】（1）因为所以， 所以, 所以. （2）由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. （3）易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 19．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，．    (1)求向量，的仿射坐标； (2)当时，求； (3)设，若对恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）向量的线性运算计算即可； （2）应用向量夹角公式计算即可； （3）先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 【详解】（1）由已知得，所以的仿射坐标为， 同理，所以的仿射坐标为． （2）当时，，，， 所以， ， ， 所以． （3）， ，     ， 由得． 得对恒成立， 又．所以，得． 此时． 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 平面向量（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 2．设向量.若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过这一问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为线段上一点，.若，则的值为(    ). A． B． C． D．1 4．已知向量，则在方向上投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知平面向量满足：，则（    ） A． B． C．2 D． 7．在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，设，是平面内夹角为的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序数对叫做点在坐标系中的坐标.在该坐标系下，，，为不共线的三点，下列结论错误的是（    ）    A．线段中点的坐标为 B．重心的坐标为 C．，两点的距离为 D．若，则，，三点共线 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组向量中，不能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 10．已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列正确的是（    ） A．∃λ使得||>|| B．△PCD的面积为定值 C．∠CPD的取值范围是[，] D．||的取值范围是[，] 11．若等边三角形的边长为为的中点，且交于点，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若点为的中点，则 C．为定值 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，，若，则的值为 . 13．设为非零向量与的夹角，定义：．若，，，则 ． 14．如图所示，在正方形中，是的中点，在上且，与交于点，则 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知. (1)若，求； (2)若，求. 16．如图，在等腰梯形ABCD中，，AC与EF交于点G，记． (1)试用基底表示； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 17．如图，在直角梯形中，||＝2，，＝2，为直角，E为的中点，＝λ (，). (1)当时，用向量，表示向量； (2)求||的最小值，并指出相应的实数λ的值. 18．如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 19．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，．    (1)求向量，的仿射坐标； (2)当时，求； (3)设，若对恒成立，求的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$