章末检测（九）平面向量(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

章末检测（九）　平面向量 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知向量a＝（2，0），b＝（－1，－1），则下列结论正确的是（　　） A.a·b＝3　　　　　　B.a∥b C.b⊥（a＋b） D.｜a｜＝｜b｜ 2.已知平面向量a＝（1，0），b＝（－1，2），则a在b上的投影向量为（　　） A.（，－） B.（－，） C.（－，） D.（，－） 3.已知A，B，C为圆O上的三点，若＋＝，圆O的半径为2，则·＝（　　） A.－1 B.－2 C.1 D.2 4.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为（　　） A.40 N B.10 N C.20 N D.10 N 5.如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设＝a，＝b，则＝（　　） A.a＋b B.a－b C.a＋b D.a－b 6.已知非零向量a，b满足（a－b）⊥（a＋2b），且2｜a｜＝3｜b｜，则向量a，b的夹角的余弦值为（　　） A.－ B.－ C. D. 7.已知点A（2，－1），B（4，2），点P在x轴上，当·取最小值时，点P的坐标是（　　） A.（2，0） B.（4，0） C. D.（3，0） 8.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝2，AB＝4，E，F分别为AB，BC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P（如图所示）.若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ－μ＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知向量a，b，c是三个非零向量，则下列结论正确的有（　　） A.若a∥b，则a·b＝｜a｜·｜b｜ B.若a∥b，b∥c，则a∥c C.a∥c的充要条件是存在唯一的λ∈R，使得c＝λa D.若｜a＋b｜＝｜a－b｜，则a⊥b 10.已知向量a＝（1，－2），b＝（λ，1），则下列说法中正确的是（　　） A.若a∥b，则λ＝－ B.若a⊥b，则λ＝2 C.若λ＜2，则a，b的夹角为钝角 D.若λ＝1，则a在b上的投影向量的坐标为（－，－） 11.八卦是中国道家文化的深奥概念，其平面图形可简记为正八边形ABCDEFGH（如图所示），其中OA＝1，则下列结论中正确的是（　　） A. ∥ B.·＝－ C.＋＝－ D.｜｜＝ 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·b＝3，则a与b的夹角为　　　　. 13.若P为△ABC的垂心，·＝2，则·＝　　　　. 14.如图，已知点O为△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若3＋4＋5＝0，则cos∠BOC的值为　　　　，·＝　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知＝（－1，3），＝（3，m），＝（1，n），且∥. （1）求实数n的值； （2）若⊥，求实数m的值. 16.（本小题满分15分）一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速为4 km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？ 17.（本小题满分15分）已知｜a｜＝，｜b｜＝1，a与b的夹角为45°. （1）若2a＋3b与ta－b共线，求实数t的值； （2）求｜a＋2b｜的值； （3）若向量（2a－λb）与（λa－3b）的夹角为锐角，求实数λ的取值范围. 18.（本小题满分17分）如图所示，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝BC. （1）以a，b为基底表示向量与； （2）若｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为120°，求·； （3）设线段AM，FH的交点为O，在（2）的条件下，求∠MOF的余弦值. 19.（本小题满分17分）n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序数组（a1，a2，…，an）称为一个n维向量，其中ai（i＝1，2，…，n）称为该向量的第i分量，特别地，对一个n维向量a＝（a1，a2，…，an），若｜ai｜＝1，i＝1，2，…，n，称a为n维信号向量.设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn），则a和b的内积定义为a·b＝aibi，且a⊥b⇔a·b＝0. （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量； （2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量； （3）已知k个两两垂直的2 024维信号向量x1，x2，…，xk满足它们的前m个分量都是相同时，求证：＜45. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末检测（九）　平面向量 1.C　对于A，a·b＝2×（－1）＋0×（－1）＝－2，故A错误；对于B，2×（－1）－（－1）×0≠0，a与b不平行，故B错误；对于C，b·（a＋b）＝b·a＋｜b｜2＝－2＋2＝0，所以b⊥（a＋b），故C正确；对于D，｜a｜＝2，｜b｜＝，所以｜a｜≠｜b｜，故D错误.故选C. 2.A　a·b＝－1×1＋0×2＝－1，｜b｜＝＝，则a在b上的投影向量为·＝·＝－b＝（，－）.故选A. 3.D　如图所示，＋＝，∴四边形OABC是菱形，且∠AOC＝120°.又圆O的半径为2，∴·＝2×2×cos 60°＝2.故选D. 4.B　设夹角为90°时，合力为F，｜F1｜＝｜F2｜＝｜F｜cos 45°＝10 N，当夹角为120°时，由平行四边形法则知：｜F合｜＝｜F1｜＝｜F2｜＝10 N. 5.A　连接CD（图略），因为C，D是半圆弧的三等分点，所以CD∥AB，且CD＝AB，故＝＋＝b＋a.故选A. 6.A　因为（a－b）⊥（a＋2b），所以（a－b）·（a＋2b）＝a2＋a·b－2b2＝0，即a·b＝2｜b｜2－｜a｜2＝｜a｜2－｜a｜2＝－｜a｜2，所以cos＜a，b＞＝＝＝－.故选A. 7.D　设P（a，0），则＝（2－a，－1），＝（4－a，2），所以·＝（2－a）（4－a）－2＝a2－6a＋6，由二次函数的性质得，当a＝3时，·有最小值，此时点P的坐标是（3，0）.故选D. 8.A　因为以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P，所以＝＋.易知＝－，＝＋＝＋＝＋＝2＋－＝＋，则＝λ＋μ＝λ＋μ（－）＝＋，则解得故λ－μ＝.故选A. 9.BCD　对于A，a∥b，则a，b方向相同或者相反，故a·b＝±｜a｜·｜b｜，故A错误；对于B，由于b≠0，所以a∥b，b∥c，则a∥c，故B正确；对于C，由于a，c为非零向量，所以a∥c的充要条件是存在唯一的λ∈R，使得c＝λa，故C正确；对于D，由｜a＋b｜＝｜a－b｜可得｜a＋b｜2＝｜a－b｜2⇒a2＋b2－2a·b＝a2＋b2＋2a·b⇒a·b＝0，故a⊥b，故D正确.故选B、C、D. 10.ABD　对于A，由a∥b，得1×1＝－2λ，解得λ＝－，故A正确；对于B，由a⊥b，得λ－2＝0，则λ＝2，故B正确；对于C，当λ＝－＜2时，a，b反向共线，夹角为180°，此时a，b的夹角不为钝角，故C错误；对于D，当λ＝1时，b＝（1，1），因此a在b上的投影向量为·＝·b＝－b＝（－，－），a在b上的投影向量的坐标为（－，－），故D正确.故选A、B、D. 11.ABC　对于A，由题图知，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD（图略），则AD∥BC，所以∥，故A正确；对于B，·＝｜｜·｜｜cos＝－，故B正确；对于C，＋＝，＝－，所以＋＝－ ，故C正确；对于D，连接AF，则｜｜＝｜－｜＝ ＝ ＝ ＝，故D错误.故选A、B、C. 12.　解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 13.2　解析：因为P为△ABC的垂心，则CP⊥AB，即·＝0，又＝＋，所以·＝（＋）·＝·＋·＝2. 14.－　0　解析：设外接圆半径为R，则｜｜＝｜｜＝｜｜＝R，由3＋4＋5＝0.得4＋5＝－3，两边平方得16R2＋40·＋25R2＝9R2，则·＝－R2，即R2cos∠BOC＝－R2，则cos∠BOC＝－.因为＝＝－－，所以·＝·＝－－·＝－R2－R2cos∠BOC＝－R2－R2·＝0，即·＝0. 15.解：（1）因为＝（－1，3），＝（3，m），＝（1，n）， 所以＝＋＋＝（3，3＋m＋n）， 因为∥，设＝λ， 即 解得n＝－3. （2）因为＝＋＝（2，3＋m）， ＝＋＝（4，m－3）， 又⊥，所以·＝0， 即8＋（3＋m）（m－3）＝0， 解得m＝±1. 16.解：如图所示，设为水流速度，为最大航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED且当与方向相同时能最快到达彼岸B码头，根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中， ｜｜＝｜｜＝2，｜｜＝4，∠AED＝90°， 因为sin∠EAD＝，∠EAD∈（0°，90°）， 所以∠EAD＝30°，∠DAC＝120°. 所以｜｜＝＝2. 又AB＝，所以用时＝0.5（h）. 所以该船的航行速度为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达彼岸B码头，用时0.5 h. 17.解：（1）因为2a＋3b与ta－b共线， 所以存在实数m使得2a＋3b＝m（ta－b）＝mta－mb， 所以解得所以t＝－. （2）因为｜a｜＝，｜b｜＝1，a与b的夹角为45°， 所以a·b＝｜a｜·｜b｜·cos 45°＝×1×＝1， 所以｜a＋2b｜2＝a2＋4a·b＋4b2＝2＋4＋4＝10，则｜a＋2b｜＝. （3）因为向量（2a－λb）与（λa－3b）的夹角是锐角， 所以（2a－λb）·（λa－3b）＞0，且（2a－λb）与（λa－3b）不同向共线， 即为2λa2＋3λb2－（6＋λ2）a·b＞0， 即有7λ－（6＋λ2）＞0，解得1＜λ＜6， 若（2a－λb）与（λa－3b）同向共线，则存在实数k， 使2a－λb＝k（λa－3b），k＞0， 则解得λ＝， 当λ＝时，两者同向共线， 则实数λ的取值范围为（1，）∪（，6）. 18.解：（1）∵平行四边形ABCD中，＝a，＝b， H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC， ∴＝＋＝＋ ＝＋＝b＋a， ＝－＝＋－ ＝a＋b－b＝a－b. （2）由（1）知，＝b＋a， ＝a－b， ∵｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为120°， ∴a·b＝2×3×cos 120°＝－3， ·＝（b＋a）·（a－b）＝a2－b2＋a·b＝×4－×9＋×（－3）＝－. （3）由（1）（2）知，＝b＋a， ＝a－b，a·b＝－3， ·＝－， ∵｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·b＝－3， ∴｜｜＝ ＝ ＝＝， ｜｜＝ ＝ ＝＝， ∵线段AM、FH的交点为O， ∴∠MOF就是向量与的夹角， ∴cos∠MOF＝cos＜，＞ ＝＝＝－， 故∠MOF的余弦值为－. 19.解：（1）根据题意，两两垂直的4维信号向量可以为：（1，1，1，1），（－1，－1，1，1），（－1，1，－1，1），（－1，1，1，－1）. （2）证明：假设存在14个两两垂直的14维信号向量y1，y2，…，y14， 因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变， 所以不妨设y1＝（1，1，…，1），y2＝（1，1，1，1，1，1，1，－1，－1，－1，－1，－1，－1，－1）， 因为y1·y3＝0，所以y3有7个分量为－1， 设y3的前7个分量中有r个－1，则后7个分量中有7－r个－1， 所以y2·y3＝r·（－1）＋（7－r）＋（7－r）＋r·（－1）＝0，可得r＝，矛盾， 所以不存在14个两两垂直的14维信号向量. （3）证明：任取i，j∈{1，2，…，k}，计算内积xi·xj，将所有这些内积求和得到S， 则S＝＋＋…＋＝2 024k， 设x1，x2，…，xk的第k个分量之和为ci， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为， 所以S＝＋＋…＋≥＋＋…＋＝k2m， 则2 024k≥k2m，所以km≤2 024＜2 025，所以＜45. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $