广东省广州市六校（六中、二中、省实、广雅、执信等）2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

2024学年上学期高二期末五校联考试卷 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．开考前，考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、班级、姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2．答选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的，答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线，给定的四点,,,中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则母线与底面所成的角为（    ） A． B． C． D． 7． 函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   8. 已知成等差数列，过点作直线的垂线，垂足为，则点到点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分． 9．有一组数据依次构成首项为正数，公比大于的等比数列，则（    ） A． 是一个递增数列 B．去掉数据，中位数不变 C．中位数小于平均数 D．若变为原来的倍，公比不变，则极差变为原来的倍 10．已知的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（    ） A． B．为线段的中点 C． D． 11．三棱锥的各顶点均在半径为2的球面上，,,则（ ） A．该球面上有且仅有个点P满足 B．该球面上有且仅有个点P满足与所成角为 C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知指数函数为减函数，则实数的取值范围是 . 13. 若数列满足，则的最小值是 . 14. 正方形的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上， 则正方形的面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知三角形，，三角形的面积. （1）求角的值； （2）若，，求的值． 16.（15分）如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形， ，，. （1）求证：∥; （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正切值. 17.（15分）已知椭圆． （1）若，求椭圆的离心率； （2）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围． 18.（17分）已知两个等比数列满足：，，. （1）若，求的通项公式； （2）若，判断中是否存在三项成等差数列，并说明理由； （3）若满足条件的数列有且只有一个，求实数的值. 19.（17分）已知在平面直角坐标系中. (1) 若圆与轴，轴及线段都相切，用表示圆的半径； (2) 若，求的最小值； (3) 判断以下两个命题的真假并说明理由. 命题1：若两个直角三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个直角三角形相似； 命题2：若两个三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个三角形相似. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2024学年上学期高二期末五校联考(数学) 参考答案： 一、选择题答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B D A A B C D ACD ABC AC 二、填空题答案： 12. 13. 14. 18或50 三、解答题答案： 15.（1）根据，有，即， 又因为，，即， 所以，所以，即， 因为，所以 ………………………………………4分 （2）由，有，， 又因为,，结合，有，即， 所以或，即或；……………………………………8分 因为，，两值都符合题意，所以： 当，由正弦定理有， 即，，解得；经检验与矛盾…………10分 当，由正弦定理有， 即，，解得.经检验与矛盾…………12分 综上：值不存在……………………………………13分 注：，不满足，所以无解； ，不满足，所以无解； 改卷建议：正常计算得到或者判断无解，都得满分，如果没有按照值分类讨论，正常扣分，算错了也正常扣分。 16. （1）根据所给的五面体的图可知， 四点共面，四点共面，因为∥，平面,平面,所以∥平面，又因为 平面,且平面平面=，所以∥.……………4分 （2）证明：取的中点，连接，则， ∵由（1）知∥，即∥. ∵ ∴四边形是平行四边形. ∴∥，.在Rt△中，，又，得. ∴.……………………………………6分 在△中，，，， ∴，∴. ∴，即. ∵四边形是正方形，∴. ∵，平面，平面， ∴平面. ……………………………………8分 （3）连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接，， 则∥，. 由（1）知∥，且， ∴∥，且. ∴四边形是平行四边形. ∴∥，且 由（1）知平面，又平面， ∴. ∵，平面，平面， ∴平面.……………………………………11分 ∴平面. ∵平面，∴. ∵，平面，平面， ∴平面. ∴是直线与平面所成的角. ……………………………………13分 在Rt△中，. ∴直线与平面所成角的正切值为.……………………………………15分 （注：也可以建系使用向量法做第二问） 17. 解：（1）若，则，，，， ；……………………………………3分 （2）设直线，联立椭圆可得， 整理得，……………………………………5分 由△，，……………………………………7分 联立双曲线可得，整理得，……………9分 若则，与椭圆矛盾，所以 由△，，……………………………………11分 ， ， 又，，，……………………………………14分 综上所述：，．……………………………………15分 18. 解：设数列的首项，公比为，依题意得，，，，整理得（*）……………………2分 （1） 把代入（*）式得，解得或 当时，，，因为是等比数列，所以公比为， 当时，，，因为是等比数列，所以公比为， 综上可得或……………………………………6分 （2） 把代入（*）式得，解得或（舍） 假设中存在三项（其中）成等差数列，因为，，所以是递增数列，从而， ，即，等式两边同时除以得，因为，所以为偶数，奇数，矛盾，所以中不存在三项成等差数列. ……………………………………9分 （3） 因为是等比数列，所以,对于（*）式 若，即（舍去），或，此时，因此不合题意；……………………………………11分 若，即或，方程有两个不同的实数解，又数列唯一，因此有如下两种情形： 情形一：方程一个解为，从而，，；……………………13分 情形二：方程两个解均不为，但其中一解使得，此时代入方程，解得舍去，或者此时方程化简为：，解得（舍去），或者（满足题意）. …………………16分 综上所述：或.……………………………………17分 19. 解答：（1）情形一：圆内切于，由等面积法可知 情形二：圆旁切于，由切线长的性质可知…………3分 （注：情形一给1分，情形二给2分） （2）设的旁切圆的圆心为，由（1）可知，因为，所以恒过点，点恒在圆外或圆上，所以，即，解得或（舍）， 所以的最小值为10. ……………………………………7分 注：第（2）问还有其它解法，这里提供一个别解： 设 因为，，可设，， 因为 ，则， 解得或 由知， ，舍去 因此，即的最小值为10 （3）命题1正确，命题2错误. ……………………………………9分 对于命题1涉及三角形面积 与内切圆半径联系起来 记的面积为，周长为，内切圆半径为，旁切圆半径为 记的面积为，周长为，内切圆半径为，旁切圆半径为 ，又 但两圆心均在上，且直线为与的公切线 构造出来的与相似（此时）…………………11分 进一步说明：设 则 得： 代入①得： 同时除得 （舍）或 ， 注意 的值由比值确定，但两个对应的三角形是相似的.（两个锐角互余）……14分 对于命题2 点在椭圆上，焦点的周长,面积， 点在椭圆上，焦点的周长,面积， 满足, 由焦半径公式计算得到，， ，， 显然与三边无论如何都不能成比例， 所以与不相似. ……………………………17分 （注：如果能够判断两个命题的真假，各得1分，对于第2个命题，还会有其它构造，根据学生实际解答验证其作答正确性即可，对于第1个命题，要求证明） 答案第2页，共7页 答案第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$