精品解析：甘肃省兰州市多校联考2024-2025学年九年级上学期期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末试卷 九年级 数学 命题人：孙宝光 审题人：李梅 本卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的俯视图是， 故选：C． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 有一个角为直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形分别进行分析即可． 【详解】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； B、有一个角为直角的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法正确，符合题意； D、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原说法错误，不符合题意； 故选：D． 3. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴，解得， 故选：D． 4. 如图，已知和的相似比是，且的面积为2，则四边形的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出与的面积比，计算得到答案． 【详解】解：∵和的相似比是，且的面积为2， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 5. 把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解题即可． 【详解】解：把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为：， 故选：D． 6. 如图，A为反比例函数图象上一点，轴于点B，若，则k的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k值的几何意义．利用反比例函数k值的几何意义，可知，再结合反比例函数的图象即可得解． 【详解】解：由于点A是反比例函数图象上一点，则； 又由于，则． 故选：D 7. 在一个不透明的口袋中，放置2个黄球，1个白球，1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率(如图所示)，则的值最可能是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，蓝球出现的频率稳定于0.6， ∴， 解得：（经检验是原方程的解）． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键． 8. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由题意，将点代入得：， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 在范围内，y随x的增大而减小， 当时，， 即若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是米． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆轴，点A的坐标为，木杆在x轴上的影长为6，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交轴于，作轴于，交于，由题意知，，，证明，则，即，可求，进而可求点B的坐标． 【详解】解：如图，延长交轴于，作轴于，交于， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故选：B． 10. 如图，某学校计划用的围栏靠墙围成一个面积为的矩形小花园（墙长为），则与墙垂直的边为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设与墙垂直的边长米，则与墙平行的边长为米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】解：设与墙垂直的边长米，则与墙平行的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，， 舍去． 故选：B． 11. 如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，取格点，由网格可知，在中，根据正弦的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，由网格可知，， 在中，， 故选：． 12. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据所给二次函数的图象，可得出，，的正负， 再结合抛物线的对称性和增减性，对所给结论依次进行判断即可，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 抛物线的开口向下， ∴， 抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①符合题意， ∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，函数取得最大值为， 则对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），其函数值不大于， 即， ∴，故②符合题意， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 即，故③符合题意， 由函数图象可知，当时，函数值小于零， ∴， 又∵， ∴， 即，故④符合题意， ∵抛物线对称轴为直线，且时函数值小于零， ∴当时，函数值小于零， 又∵当时，函数值大于零， 则， ∴， ∴，故⑤不符合题意， ∴符合题意的有个， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积，根据菱形的面积等于对角线积的一半计算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的面积等于对角线积的一半， ∴， 故答案为：． 14. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：， ， 故答案为：． 15. 如图，先锋村准备在坡角为α＝30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为_____米． 【答案】. 【解析】 【分析】】直接利用锐角三角函数关系得出cosα=，进而得出答案 【详解】解：由于相邻两树之间的水平距离为5米，坡角为α＝30°， 则两树在坡面上的距离（米）． 故答案为. 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键． 16. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向C点运动，P、Q两点同时出发，其中一点到达终点时另一点也停止运动．若DP≠DQ，当t=_____s时，△DPQ是等腰三角形． 【答案】或． 【解析】 【分析】分两种情况讨论计算，求出时间，判断时间是否符合题意． 【详解】解：AQ=t,BP=2t,DQ=(8−t)(cm),PC=(10−2t)(cm)， ∵△DPQ是等腰三角形，且DQ≠DP， ∴①当DP=QP时，∴点P在DQ的垂直平分线上， ∴ ∴ ∴ ②当DQ=PQ时,如图, 过点Q作QE⊥BC于E， ∴ ∵AD∥BC，∠B=90°， ∴， ∴四边形ABEQ是矩形， ∴EQ=AB=6，BE=AQ=t， ∴PE=BP−BE=t， 在Rt△PEQ中, ∵DQ=8−t ∴ ∴ ∵点P在边BC上，不和C重合， ∴ ∴ ∴此种情况符合题意， 即：或时，△DPQ是等腰三角形． 故答案为或． 【点睛】考查动点问题，等腰三角形的判定与性质等，注意分类讨论思想在数学中的应用． 三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．先计算零次幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解： 18. 解方程：5x（x+1）＝2（x+1） 【答案】x＝﹣1或x＝0.4 【解析】 【分析】先移项，再利用因式分解法求解可得． 【详解】解：∵5x(x+1)﹣2(x+1)＝0， ∴(x+1)(5x﹣2)＝0， 则x+1＝0或5x﹣2＝0， 解得x＝﹣1或x＝0.4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 19. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和除法进行运算，再利用提公因式和完全平方公式进行因式分解，再化简化式子，然后将代入化简后的式子后，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 为了增强学生体质，某校在每周二、周四的课后延时服务时段开设了五类拓展课程：A篮球，B足球，C乒乓球，D踢建子，E健美操．为了解学生对这些课程的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题． （1）本次抽取调查的学生共有______人； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A篮球类所对应的圆心角为______°； （4）八（1）班有甲、乙、丙、丁四位同学参加了乒乓球课程，为参加学校组织的乒乓球比赛，班主任从四人中随机抽取两人代表班级出战．利用画树状图或列表的方法求出甲和乙至少有一人被选上的概率． 【答案】（1）125 （2） 条形统计图补充为： （3） （4） 【解析】 【分析】（1）用项目B的人数除以其人数占比即可求出本次抽取调查的学生人数； （2）先求出项目D的人数，再补全统计图即可； （3）用乘以项目A的人数占比即可得到答案； （4）先列出图表得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 本题考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键． 【小问1详解】 解：（人）， ∴此次调查共抽取了125名学生， 故答案为：125， 【小问2详解】 解：项目D的人数为：（人）， 条形统计图补充为： 【小问3详解】 解：在此扇形统计图中，A篮球类所对应的扇形圆心角为：， 故答案为：， 【小问4详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣ ∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有10种， ∴甲和乙至少有一人被选上的概率为， 故答案为：． 21. 如图，已知反比例函数（k≠0）的图象与一次函数y2＝x＋b（b为常数）的图象相交于点A（1，3）． （1）求这两个函数的表达式及其图象的另一交点B的坐标； （2）观察图象，写出使函数值y1＞y2的自变量x的取值范围； 【答案】（1）；，；（2）或 【解析】 【分析】（1）将点，分别代入函数解析式，即可得出b，k的值，从而得到两个函数的表达式，再将两函数解析式联立求出交点坐标即可，一个是A点坐标，另一个就是B点坐标； （2）利用交点坐标以及函数图象得出函数值的自变量x的取值范围，即为反比例函数图象在一次函数上面x的取值范围，看图象求出即可． 【详解】解：（1）∵反比例函数（k≠0）的图象与一次函数y2＝x＋b（b为常数）的图象相交于点A（1，3）， ∴， ， 解得：， ∴，， 将两函数联立得： 解得：，， ∴B点坐标为：； 故答案为：；，； （2）利用图象以及A，B点的坐标可得出， 函数值y1＞y2的自变量x的取值范围也就是反比例函数图象在一次函数图象上方（下图红线区域）， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键． 22. 野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．某野兔一次跳跃如图所示，以起跳点O为原点，水平距离为x轴，竖直高度为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，当水平距离为1.4m时，野兔达到本次跳跃的最大竖直高度0.98m． （1）求满足野兔跳跃的抛物线的函数表达式； （2）在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方1.8m处有宽为0.8m的小溪，试说明野兔此次跳跃能否跃过小溪． 【答案】（1）； （2） 解：令，则， 解得，（舍去）， ∴野兔落地点距离起跳点2.8米， ∵， ∴野兔此次跳跃能跃过小溪． 故答案为：能． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，解方程求出x的值，即求出野兔的落地点与比较即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 23. 如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长． 【答案】 （1）∵DE∥BC，DF∥AB， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∵DE∥BC， ∴∠EDB＝∠DBF， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC， ∴∠ABD＝∠EDB， ∴DE＝BE， 又∵四边形BEDF为平行四边形， ∴四边形BEDF是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可证BE＝DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形； （2）过点D作DH⊥BC于H，由直角三角形的性质可求解． 【详解】证明：（1）略 （2）如图，过点D作DH⊥BC于H， ∵DF∥AB， ∴∠ABC＝∠DFC＝60°， ∵DH⊥BC， ∴∠FDH＝30°， ∴FH＝DF，DH＝FH＝DF， ∵∠C＝45°，DH⊥BC， ∴∠C＝∠HDC＝45°， ∴DC＝DH＝DF＝6， ∴DF＝2 ， ∴菱形BEDF的边长为2． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的判定定理是本题的关键． 24. 如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心,在y轴左侧画出的位似,与的相似比为,点对应点分别为点； （2）在(1)的情况下直接写出点的坐标． 【答案】（1） 即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得到点，，的对应点，即可求解； （2）根据位似图形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，位似比为， ∴点坐标为． 25. 图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 【解析】 【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质．如图，过点A作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案． 【详解】解：如图，过点A作于点，过点作于点， ∵ 在中，， ∴， 同理可得，， 又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为， ∴ ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 26. 某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元． 【解析】 【分析】（1）直接用待定系数法，求出一次函数的关系式； （2）根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案． 【小问1详解】 设一次函数的关系式为， 由题图可知，函数图象过点和点． 把这两点的坐标代入一次函数， 得， 解得， ∴一次函数的关系式为； 【小问2详解】 根据题意，则， 整理得：； ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为800； ∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，解题的关键是理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式，从而进行解题． 27. 通常，路灯、台灯、手电筒…的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为　 　 ； 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】数学思考：D；解决问题： 【解析】 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 数学思考：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案； 解决问题：根据题意可得出，，得到，，进而得到，即可求出的长，即可求出的长． 【详解】【数学思考】：解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， ∴y与x之间函数关系的图象大致为D， 故答案为：D； 【解决问题】：解：， ，， ∴，， 又，，，，， ∴， ∴， ，， ∴， 解得：， ∴灯杆的高度为． 28. 如图（1），在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接． 【问题发现】 （1）如图（2），当时，与的数量关系为_________，与的数量关系为_________． 【类比探究】 （2）如图（3），当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请写出线段的长并说明理由． 【答案】（1）； （2）解：与之间的数量关系发生变化，，理由如下： 如图（1）在矩形和矩形中， 当时，， ， ， 如图，连接， 矩形绕点A顺时针旋转， ， ， ， ； （3）解：线段的长为或．理由如下： 如图，当点N在线段上时， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当点M在线段上时， 同理可求， ； 综上所述：线段的长为或． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得四边形和四边形都是正方形，从而得到，进而得到A、N、C三点在同一条直线上，即可解答； （2）根据题意可得，连接，证明，即可解答； （3）分两种情况：当点N在线段上时，当点M在线段上时，结合勾股定理解答，即可． 【详解】解：（1）当时，， ， ， 四边形和四边形都是矩形，且， 四边形和四边形都是正方形， ， ， ， A、N、C三点在同一条直线上， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末试卷 九年级 数学 命题人：孙宝光 审题人：李梅 本卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 有一个角为直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 如图，已知和的相似比是，且的面积为2，则四边形的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 4 D. 2 5. 把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，A为反比例函数图象上一点，轴于点B，若，则k的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. D. 6 7. 在一个不透明的口袋中，放置2个黄球，1个白球，1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率(如图所示)，则的值最可能是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 9. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆轴，点A的坐标为，木杆在x轴上的影长为6，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，某学校计划用的围栏靠墙围成一个面积为的矩形小花园（墙长为），则与墙垂直的边为（ ） A. 或 B. C. D. 11. 如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的面积为______． 14. 若，则_________． 15. 如图，先锋村准备在坡角为α＝30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为_____米． 16. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向C点运动，P、Q两点同时出发，其中一点到达终点时另一点也停止运动．若DP≠DQ，当t=_____s时，△DPQ是等腰三角形． 三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程：5x（x+1）＝2（x+1） 19. 先化简，再求值，其中． 20. 为了增强学生体质，某校在每周二、周四的课后延时服务时段开设了五类拓展课程：A篮球，B足球，C乒乓球，D踢建子，E健美操．为了解学生对这些课程的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题． （1）本次抽取调查的学生共有______人； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A篮球类所对应的圆心角为______°； （4）八（1）班有甲、乙、丙、丁四位同学参加了乒乓球课程，为参加学校组织的乒乓球比赛，班主任从四人中随机抽取两人代表班级出战．利用画树状图或列表的方法求出甲和乙至少有一人被选上的概率． 21. 如图，已知反比例函数（k≠0）的图象与一次函数y2＝x＋b（b为常数）的图象相交于点A（1，3）． （1）求这两个函数的表达式及其图象的另一交点B的坐标； （2）观察图象，写出使函数值y1＞y2的自变量x的取值范围； 22. 野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．某野兔一次跳跃如图所示，以起跳点O为原点，水平距离为x轴，竖直高度为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，当水平距离为1.4m时，野兔达到本次跳跃的最大竖直高度0.98m． （1）求满足野兔跳跃的抛物线的函数表达式； （2）在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方1.8m处有宽为0.8m的小溪，试说明野兔此次跳跃能否跃过小溪． 23. 如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长． 24. 如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心,在y轴左侧画出的位似,与的相似比为,点对应点分别为点； （2）在(1)的情况下直接写出点的坐标． 25. 图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 26. 某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 27. 通常，路灯、台灯、手电筒…的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为　 　 ； 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 28. 如图（1），在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接． 【问题发现】 （1）如图（2），当时，与的数量关系为_________，与的数量关系为_________． 【类比探究】 （2）如图（3），当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请写出线段的长并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $